Capítulo 12 Ejercicios de revisión

Secuencias

Ejercicio $\PageIndex{1}$ Escribir los primeros términos de una secuencia

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

1. $a_{n}=7 n-5$
2. $a_{n}=3^{n}+4$
3. $a_{n}=2^{n}+n$
4. $a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}$
5. $a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$

Responder

2. $7,13,31,85,247$

4. $\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}$

Ejercicio $\PageIndex{2}$ Encuentra una Fórmula para el Término General ($n$th Término de una Secuencia

En los siguientes ejercicios, encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

1. $9,18,27,36,45, \dots$
2. $-5,-4,-3,-2,-1, \dots$
3. $\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots$
4. $1,-8,27,-64,125, \ldots$
5. $-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots$

Responder

1. $a_{n}=9 n$

3. $a_{n}=e^{n-4}$

5. $a_{n}=-\frac{n}{n+2}$

Ejercicio $\PageIndex{3}$ Uso Notación Factorial

En los siguientes ejercicios, utilizando notación factorial, escribir los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

1. $a_{n}=4 n !$
2. $a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}$
3. $a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}$

Responder

2. $\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$ Encuentra la suma parcial

En los siguientes ejercicios, expande la suma parcial y encuentra su valor.

1. $\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)$
2. $\sum_{i=1}^{3} 5^{i}$
3. $\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}$
4. $\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)$

Responder

1. $\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}$

3. $4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}$

Ejercicio $\PageIndex{5}$ Use la notación de suma para escribir una suma

En los siguientes ejercicios, escribe cada suma utilizando la notación de suma.

1. $-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}$
2. $4-8+12-16+20-24$
3. $4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}$

Responder

1. $\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}$

3. $\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}$

Secuencias Aritméticas

Ejercicio $\PageIndex{6}$ Determinar si una secuencia es aritmética

En los siguientes ejercicios, determine si cada secuencia es aritmética, y si es así, indique la diferencia común.

1. $1,2,4,8,16,32, \dots$
2. $-7,-1,5,11,17,23, \dots$
3. $13,9,5,1,-3,-7, \dots$

Responder

2. La secuencia es aritmética con diferencia común $d=6$.

Ejercicio $\PageIndex{7}$ Determinar si una secuencia es aritmética

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común.

1. $a_{1}=5$ y $d=3$
2. $a_{1}=8$ y $d=-2$
3. $a_{1}=-13$ y $d=6$

Responder

1. $5,8,11,14,17$

3. $-13,-7,-1,5,11$

Ejercicio $\PageIndex{8}$ Encuentra el Término General ($n$th Término) de una Secuencia Aritmética

En los siguientes ejercicios, encuentre el término descrito utilizando la información proporcionada.

1. Encuentra el vigésimo quinto término de una secuencia donde el primer término es cinco y la diferencia común es tres.
2. Encuentra el trigésimo término de una secuencia donde está el primer término $16$ y la diferencia común es $−5$.
3. Encuentra el decimoséptimo término de una secuencia donde el primer término es $−21$ y la diferencia común es dos.

Responder

2. $-129$

Ejercicio $\PageIndex{9}$ Encuentra el Término General ($n$th Término) de una Secuencia Aritmética

En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado y da la fórmula para el término general.

1. Encuentra el decimoctavo término de una secuencia donde el quinto término es $12$ y la diferencia común es siete.
2. Encuentra el vigésimo primer término de una secuencia donde está el séptimo término $14$ y la diferencia común es $−3$.

Responder

1. $a_{18}=103 .$ El término general es $a_{n}=7 n-23$.

Ejercicio $\PageIndex{10}$ Encuentra el Término General ($n$th Término) de una Secuencia Aritmética

En los siguientes ejercicios, encuentra el primer término y diferencia común de la secuencia con los términos dados. Dar la fórmula para el término general.

1. El quinto término es $17$ y el decimocuarto es $53$.
2. El tercer término es $−26$ y el decimosexto es $−91$.

Responder

1. $a_{1}=1, d=4 .$ El término general es $a_{n}=4 n-3$.

Ejercicio $\PageIndex{11}$ Encuentra la suma de los primeros $n$ términos de una secuencia aritmética

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros $30$ términos de cada secuencia aritmética.

1. $7,4,1,-2,-5, \dots$
2. $1,6,11,16,21, \ldots$

Responder

1. $-430$

Ejercicio $\PageIndex{12}$ Encuentra la suma de los primeros $n$ términos de una secuencia aritmética

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de la secuencia aritmética cuyo término general se da.

1. $a_{n}=4 n+7$
2. $a_{n}=-2 n+19$

Responder

1. $585$

Ejercicio $\PageIndex{13}$ Encuentra la suma de los primeros $n$ términos de una secuencia aritmética

En los siguientes ejercicios, encuentra cada suma.

1. $\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)$
2. $\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)$
3. $\sum_{i=1}^{35}(i+10)$

Responder

1. $4850$

3. $980$

Secuencias geométricas y series

Ejercicio $\PageIndex{14}$ Determinar si una secuencia es geométrica

En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica, y si es así, indique la relación común.

1. $3,12,48,192,768,3072, \dots$
2. $5,10,15,20,25,30, \dots$
3. $112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots$
4. $9,-18,36,-72,144,-288, \dots$

Responder

2. La secuencia no es geométrica.

4. La secuencia es geométrica con relación común $r=−2$.

Ejercicio $\PageIndex{15}$ Determinar si una secuencia es geométrica

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común.

1. $a_{1}=-3$ y $r=5$
2. $a_{1}=128$ y $r=\frac{1}{4}$
3. $a_{1}=5$ y $r=-3$

Responder

2. $128,32,8,2, \frac{1}{2}$

Ejercicio $\PageIndex{16}$ Encuentra el Término General ($n$th Término) de una Secuencia Geométrica

En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de una secuencia donde se da el primer término y la razón común.

1. Encuentra $a_{9}$ dado $a_{1}=6$ y $r=2$
2. Encuentra $a_{11}$ dado $a_{1}=10,000,000$ y $r=0.1$

Responder

1. $1,536$

Ejercicio $\PageIndex{17}$ Encuentra el Término General ($n$th Término) de una Secuencia Geométrica

En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de la secuencia dada. Encuentra el término general de la secuencia.

1. Hallar $a_{12}$ de la secuencia, $6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots$
2. Hallar $a_{9}$ de la secuencia, $4374,1458,486,162,54,18, \ldots$

Responder

1. $a_{12}=-25,165,824 .$ El término general es $a_{n}=6(-4)^{n-1}$

Ejercicio $\PageIndex{18}$ Encuentra la suma de los primeros $n$ términos de una secuencia geométrica

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de cada secuencia geométrica.

1. $-4,8,-16,32,-64,128 \ldots$
2. $3,12,48,192,768,3072 \ldots$
3. $3125,625,125,25,5,1 \ldots$

Responder

1. $5,460$

3. $\approx 3906.25$

Ejercicio $\PageIndex{19}$ encontrar la Suma de los Primeros $n$ términos de una Secuencia Geométrica

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma

1. $\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}$
2. $\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}$

Responder

2. $\frac{189}{8}=23.625$

Ejercicio $\PageIndex{20}$ Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de cada serie geométrica infinita.

1. $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots$
2. $49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots$

Responder

2. $\frac{343}{6} \approx 57.167$

Ejercicio $\PageIndex{21}$ Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

En los siguientes ejercicios, escribe cada decimal repetido como fracción.

1. $0 . \overline{8}$
2. $0 . \overline{36}$

Responder

2. $\frac{4}{11}$

Ejercicio $\PageIndex{22}$ Aplicar Secuencias Geométricas y Series en el Mundo Real

En los siguientes ejercicios, resuelve el problema.

1. ¿Cuál es el efecto total en la economía de una rebaja de impuestos gubernamentales de $$360$ a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar gastará $60$% de la rebaja en bienes y servicios?
2. Adam acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la secundaria a los 17 años. Decidió invertir $$300$ al mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es $7$% el cual se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adán cuando se retire en su sexagésimo séptimo cumpleaños?

Responder

2. $\$ 1,634,421.27$

Teorema Binomial

Ejercicio $\PageIndex{23}$ Usa el Triángulo de Pascal para Expandir un Binomial

En los siguientes ejercicios, expande cada binomio usando el Triángulo de Pascal.

1. $(a+b)^{7}$
2. $(x-y)^{4}$
3. $(x+6)^{3}$
4. $(2 y-3)^{5}$
5. $(7 x+2 y)^{3}$

Responder

2. $x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}$

4. $\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}$

Ejercicio $\PageIndex{24}$ Evaluar un Coeficiente Binomial

En los siguientes ejercicios, evalúe.

1. 1. $\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)$
2. 1. $\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)$
3. 1. $\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)$

Responder

1.

1. $11$
2. $1$
3. $1$
4. $56$

3.

1. $1$
2. $1$
3. $1$
4. $55$

Ejercicio $\PageIndex{25}$ Utilizar el Teorema Binomial para Expandir un Binomial

En los siguientes ejercicios, expande cada binomio, utilizando el Teorema Binomial.

1. $(p+q)^{6}$
2. $(t-1)^{9}$
3. $(2 x+1)^{4}$
4. $(4 x+3 y)^{4}$
5. $(x-3 y)^{5}$

Responder

2. $\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}$

4. $\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}$

Ejercicio $\PageIndex{26}$ Utilizar el Teorema Binomial para Expandir un Binomial

En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado en la expansión del binomio.

1. Séptimo periodo de $(a+b)^{9}$
2. Tercer periodo de $(x-y)^{7}$

Responder

1. $84a^{6} b^{3}$

Ejercicio $\PageIndex{27}$ Utilizar el Teorema Binomial para Expandir un Binomial

En los siguientes ejercicios, encontrar el coeficiente del término indicado en la expansión del binomio.

1. $y^{4}$ plazo de $(y+3)^{6}$
2. $x^{5}$ plazo de $(x-2)^{8}$
3. $a^{3} b^{4}$ plazo de $(2 a+b)^{7}$

Responder

1. $135$

3. $280$

Prueba de práctica

Ejercicio $\PageIndex{28}$

En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

1. $a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}$
2. $a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}$
3. Encuentre un término general para la secuencia, $-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots$
4. Expandir la suma parcial y encontrar su valor. $\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}$
5. Escribe lo siguiente usando notación de suma. $-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}$
6. Escribir los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común. $a_{1}=-13$ y $d=3$
7. Encuentra el vigésimo término de una secuencia aritmética donde el primer término es dos y la diferencia común es $−7$.
8. Encuentra el vigésimo tercer término de una secuencia aritmética cuyo séptimo término es $11$ y diferencia común es tres. Después encuentra una fórmula para el término general.
9. Encuentra el primer término y diferencia común de una secuencia aritmética cuyo noveno término es $−1$ y el decimosexto término es $−15$. Después encuentra una fórmula para el término general.
10. Encuentra la suma de los primeros $25$ términos de la secuencia aritmética, $5,9,13,17,21, \dots$
11. Encuentra la suma de los primeros $50$ términos de la secuencia aritmética cuyo término general es $a_{n}=-3 n+100$.
12. Encuentra la suma. $\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)$

Responder

2. $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}$

4. $-4+16-64+256=204$

6. $-13,-10,-7,-4,-1$

8. $a_{23}=59 .$ El término general es $a_{n}=3 n-10$.

10. $1,325$

12. $3,260$

Ejercicio $\PageIndex{29}$

En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética, geométrica o ninguna de las dos. Si la aritmética, entonces encuentra la diferencia común. Si es geométrico, entonces encuentra la relación común.

1. $14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots$
2. $324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots$
3. Escribir los primeros cinco términos de la secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común. $a_{1}=6$ y $r=−2$.
4. En la secuencia geométrica cuyo primer término y relación común son $a_{1}=5$ y $r=4$, encontrar $a_{11}$.
5. Encuentra $a_{10}$ de la secuencia geométrica, $1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots$ Luego encuentra una
   fórmula para el término general.
6. Encuentra la suma de los primeros trece términos de la secuencia geométrica, $2,-6,18,-54,162,-486 \ldots$

Responder

2. La secuencia es geométrica con relación común $r=\frac{1}{3}$.

4. $5,242,880$

6. $797,162$

Ejercicio $\PageIndex{30}$

En los siguientes ejercicios, encuentra la suma.

1. $\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}$
2. $1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots$
3. Escribe el decimal repetitivo como fracción. $0 . \overline{81}$
4. Dave acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la secundaria a los 18 años. Decidió invertir $$450$ al mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es $6$% el cual se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adam cuando se retire en su sexagésimo quinto cumpleaños?
5. Expandir el binomio usando el Triángulo de Pascal. $(m-2 n)^{5}$
6. Evaluar cada coeficiente binomial.
   1. $\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)$
7. Ampliar el binomio utilizando el Teorema Binomial. $(4 x+5 y)^{3}$

Responder

2. $\frac{5}{6}$

4. $\$ 1,409,344.19$

6.

1. $8$
2. $1$
3. $1$
4. $210$