Capítulo 12 Ejercicios de revisión
Secuencias
En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.
- \(a_{n}=7 n-5\)
- \(a_{n}=3^{n}+4\)
- \(a_{n}=2^{n}+n\)
- \(a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}\)
- \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\)
- Responder
-
2. \(7,13,31,85,247\)
4. \(\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}\)
En los siguientes ejercicios, encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.
- \(9,18,27,36,45, \dots\)
- \(-5,-4,-3,-2,-1, \dots\)
- \(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots\)
- \(1,-8,27,-64,125, \ldots\)
- \(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots\)
- Responder
-
1. \(a_{n}=9 n\)
3. \(a_{n}=e^{n-4}\)
5. \(a_{n}=-\frac{n}{n+2}\)
En los siguientes ejercicios, utilizando notación factorial, escribir los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.
- \(a_{n}=4 n !\)
- \(a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}\)
- \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}\)
- Responder
-
2. \(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}\)
En los siguientes ejercicios, expande la suma parcial y encuentra su valor.
- \(\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)\)
- \(\sum_{i=1}^{3} 5^{i}\)
- \(\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}\)
- \(\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)\)
- Responder
-
1. \(\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}\)
3. \(4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}\)
En los siguientes ejercicios, escribe cada suma utilizando la notación de suma.
- \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}\)
- \(4-8+12-16+20-24\)
- \(4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}\)
- Responder
-
1. \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}\)
3. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}\)
Secuencias Aritméticas
En los siguientes ejercicios, determine si cada secuencia es aritmética, y si es así, indique la diferencia común.
- \(1,2,4,8,16,32, \dots\)
- \(-7,-1,5,11,17,23, \dots\)
- \(13,9,5,1,-3,-7, \dots\)
- Responder
-
2. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=6\) .
En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común.
- \(a_{1}=5\) y \(d=3\)
- \(a_{1}=8\) y \(d=-2\)
- \(a_{1}=-13\) y \(d=6\)
- Responder
-
1. \(5,8,11,14,17\)
3. \(-13,-7,-1,5,11\)
En los siguientes ejercicios, encuentre el término descrito utilizando la información proporcionada.
- Encuentra el vigésimo quinto término de una secuencia donde el primer término es cinco y la diferencia común es tres.
- Encuentra el trigésimo término de una secuencia donde está el primer término \(16\) y la diferencia común es \(−5\) .
- Encuentra el decimoséptimo término de una secuencia donde el primer término es \(−21\) y la diferencia común es dos.
- Responder
-
2. \(-129\)
En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado y da la fórmula para el término general.
- Encuentra el decimoctavo término de una secuencia donde el quinto término es \(12\) y la diferencia común es siete.
- Encuentra el vigésimo primer término de una secuencia donde está el séptimo término \(14\) y la diferencia común es \(−3\) .
- Responder
-
1. \(a_{18}=103 .\) El término general es \(a_{n}=7 n-23\) .
En los siguientes ejercicios, encuentra el primer término y diferencia común de la secuencia con los términos dados. Dar la fórmula para el término general.
- El quinto término es \(17\) y el decimocuarto es \(53\) .
- El tercer término es \(−26\) y el decimosexto es \(−91\) .
- Responder
-
1. \(a_{1}=1, d=4 .\) El término general es \(a_{n}=4 n-3\) .
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros \(30\) términos de cada secuencia aritmética.
- \(7,4,1,-2,-5, \dots\)
- \(1,6,11,16,21, \ldots\)
- Responder
-
1. \(-430\)
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de la secuencia aritmética cuyo término general se da.
- \(a_{n}=4 n+7\)
- \(a_{n}=-2 n+19\)
- Responder
-
1. \(585\)
En los siguientes ejercicios, encuentra cada suma.
- \(\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)\)
- \(\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)\)
- \(\sum_{i=1}^{35}(i+10)\)
- Responder
-
1. \(4850\)
3. \(980\)
Secuencias geométricas y series
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica, y si es así, indique la relación común.
- \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
- \(5,10,15,20,25,30, \dots\)
- \(112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots\)
- \(9,-18,36,-72,144,-288, \dots\)
- Responder
-
2. La secuencia no es geométrica.
4. La secuencia es geométrica con relación común \(r=−2\) .
En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común.
- \(a_{1}=-3\) y \(r=5\)
- \(a_{1}=128\) y \(r=\frac{1}{4}\)
- \(a_{1}=5\) y \(r=-3\)
- Responder
-
2. \(128,32,8,2, \frac{1}{2}\)
En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de una secuencia donde se da el primer término y la razón común.
- Encuentra \(a_{9}\) dado \(a_{1}=6\) y \(r=2\)
- Encuentra \(a_{11}\) dado \(a_{1}=10,000,000\) y \(r=0.1\)
- Responder
-
1. \(1,536\)
En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de la secuencia dada. Encuentra el término general de la secuencia.
- Hallar \(a_{12}\) de la secuencia, \(6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots\)
- Hallar \(a_{9}\) de la secuencia, \(4374,1458,486,162,54,18, \ldots\)
- Responder
-
1. \(a_{12}=-25,165,824 .\) El término general es \(a_{n}=6(-4)^{n-1}\)
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de cada secuencia geométrica.
- \(-4,8,-16,32,-64,128 \ldots\)
- \(3,12,48,192,768,3072 \ldots\)
- \(3125,625,125,25,5,1 \ldots\)
- Responder
-
1. \(5,460\)
3. \(\approx 3906.25\)
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma
- \(\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
- Responder
-
2. \(\frac{189}{8}=23.625\)
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de cada serie geométrica infinita.
- \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots\)
- \(49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots\)
- Responder
-
2. \(\frac{343}{6} \approx 57.167\)
En los siguientes ejercicios, escribe cada decimal repetido como fracción.
- \(0 . \overline{8}\)
- \(0 . \overline{36}\)
- Responder
-
2. \(\frac{4}{11}\)
En los siguientes ejercicios, resuelve el problema.
- ¿Cuál es el efecto total en la economía de una rebaja de impuestos gubernamentales de $ \(360\) a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar gastará \(60\) % de la rebaja en bienes y servicios?
- Adam acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la secundaria a los 17 años. Decidió invertir $ \(300\) al mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es \(7\) % el cual se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adán cuando se retire en su sexagésimo séptimo cumpleaños?
- Responder
-
2. \(\$ 1,634,421.27\)
Teorema Binomial
En los siguientes ejercicios, expande cada binomio usando el Triángulo de Pascal.
- \((a+b)^{7}\)
- \((x-y)^{4}\)
- \((x+6)^{3}\)
- \((2 y-3)^{5}\)
- \((7 x+2 y)^{3}\)
- Responder
-
2. \(x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}\)
4. \(\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}\)
En los siguientes ejercicios, evalúe.
-
- \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)\)
-
- \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)\)
-
- \(\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)\)
- Responder
-
1.
- \(11\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(56\)
3.
- \(1\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(55\)
En los siguientes ejercicios, expande cada binomio, utilizando el Teorema Binomial.
- \((p+q)^{6}\)
- \((t-1)^{9}\)
- \((2 x+1)^{4}\)
- \((4 x+3 y)^{4}\)
- \((x-3 y)^{5}\)
- Responder
-
2. \(\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}\)
4. \(\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)
En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado en la expansión del binomio.
- Séptimo periodo de \((a+b)^{9}\)
- Tercer periodo de \((x-y)^{7}\)
- Responder
-
1. \(84a^{6} b^{3}\)
En los siguientes ejercicios, encontrar el coeficiente del término indicado en la expansión del binomio.
- \(y^{4}\) plazo de \((y+3)^{6}\)
- \(x^{5}\) plazo de \((x-2)^{8}\)
- \(a^{3} b^{4}\) plazo de \((2 a+b)^{7}\)
- Responder
-
1. \(135\)
3. \(280\)
Prueba de práctica
En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.
- \(a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}\)
- \(a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}\)
- Encuentre un término general para la secuencia, \(-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots\)
- Expandir la suma parcial y encontrar su valor. \(\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}\)
- Escribe lo siguiente usando notación de suma. \(-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\)
- Escribir los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común. \(a_{1}=-13\) y \(d=3\)
- Encuentra el vigésimo término de una secuencia aritmética donde el primer término es dos y la diferencia común es \(−7\) .
- Encuentra el vigésimo tercer término de una secuencia aritmética cuyo séptimo término es \(11\) y diferencia común es tres. Después encuentra una fórmula para el término general.
- Encuentra el primer término y diferencia común de una secuencia aritmética cuyo noveno término es \(−1\) y el decimosexto término es \(−15\) . Después encuentra una fórmula para el término general.
- Encuentra la suma de los primeros \(25\) términos de la secuencia aritmética, \(5,9,13,17,21, \dots\)
- Encuentra la suma de los primeros \(50\) términos de la secuencia aritmética cuyo término general es \(a_{n}=-3 n+100\) .
- Encuentra la suma. \(\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)\)
- Responder
-
2. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}\)
4. \(-4+16-64+256=204\)
6. \(-13,-10,-7,-4,-1\)
8. \(a_{23}=59 .\) El término general es \(a_{n}=3 n-10\) .
10. \(1,325\)
12. \(3,260\)
En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética, geométrica o ninguna de las dos. Si la aritmética, entonces encuentra la diferencia común. Si es geométrico, entonces encuentra la relación común.
- \(14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots\)
- \(324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots\)
- Escribir los primeros cinco términos de la secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común. \(a_{1}=6\) y \(r=−2\) .
- En la secuencia geométrica cuyo primer término y relación común son \(a_{1}=5\) y \(r=4\) , encontrar \(a_{11}\) .
-
Encuentra
\(a_{10}\)
de la secuencia geométrica,
\(1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots\)
Luego encuentra una
fórmula para el término general. - Encuentra la suma de los primeros trece términos de la secuencia geométrica, \(2,-6,18,-54,162,-486 \ldots\)
- Responder
-
2. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{3}\) .
4. \(5,242,880\)
6. \(797,162\)
En los siguientes ejercicios, encuentra la suma.
- \(\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}\)
- \(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots\)
- Escribe el decimal repetitivo como fracción. \(0 . \overline{81}\)
- Dave acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la secundaria a los 18 años. Decidió invertir $ \(450\) al mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es \(6\) % el cual se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adam cuando se retire en su sexagésimo quinto cumpleaños?
- Expandir el binomio usando el Triángulo de Pascal. \((m-2 n)^{5}\)
-
Evaluar cada coeficiente binomial.
- \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)\)
- Ampliar el binomio utilizando el Teorema Binomial. \((4 x+5 y)^{3}\)
- Responder
-
2. \(\frac{5}{6}\)
4. \(\$ 1,409,344.19\)
6.
- \(8\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(210\)