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LibreTexts Español

Capítulo 12 Ejercicios de revisión

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    Secuencias

    Ejercicio \(\PageIndex{1}\) Escribir los primeros términos de una secuencia

    En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

    1. \(a_{n}=7 n-5\)
    2. \(a_{n}=3^{n}+4\)
    3. \(a_{n}=2^{n}+n\)
    4. \(a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}\)
    5. \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\)
    Responder

    2. \(7,13,31,85,247\)

    4. \(\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{2}\) Encuentra una Fórmula para el Término General (\(n\)th Término de una Secuencia

    En los siguientes ejercicios, encuentre un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran.

    1. \(9,18,27,36,45, \dots\)
    2. \(-5,-4,-3,-2,-1, \dots\)
    3. \(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots\)
    4. \(1,-8,27,-64,125, \ldots\)
    5. \(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots\)
    Responder

    1. \(a_{n}=9 n\)

    3. \(a_{n}=e^{n-4}\)

    5. \(a_{n}=-\frac{n}{n+2}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{3}\) Uso Notación Factorial

    En los siguientes ejercicios, utilizando notación factorial, escribir los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

    1. \(a_{n}=4 n !\)
    2. \(a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}\)
    3. \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}\)
    Responder

    2. \(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{4}\) Encuentra la suma parcial

    En los siguientes ejercicios, expande la suma parcial y encuentra su valor.

    1. \(\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)\)
    2. \(\sum_{i=1}^{3} 5^{i}\)
    3. \(\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}\)
    4. \(\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)\)
    Responder

    1. \(\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}\)

    3. \(4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{5}\) Use la notación de suma para escribir una suma

    En los siguientes ejercicios, escribe cada suma utilizando la notación de suma.

    1. \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}\)
    2. \(4-8+12-16+20-24\)
    3. \(4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}\)
    Responder

    1. \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}\)

    3. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}\)

    Secuencias Aritméticas

    Ejercicio \(\PageIndex{6}\) Determinar si una secuencia es aritmética

    En los siguientes ejercicios, determine si cada secuencia es aritmética, y si es así, indique la diferencia común.

    1. \(1,2,4,8,16,32, \dots\)
    2. \(-7,-1,5,11,17,23, \dots\)
    3. \(13,9,5,1,-3,-7, \dots\)
    Responder

    2. La secuencia es aritmética con diferencia común \(d=6\).

    Ejercicio \(\PageIndex{7}\) Determinar si una secuencia es aritmética

    En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común.

    1. \(a_{1}=5\) y \(d=3\)
    2. \(a_{1}=8\) y \(d=-2\)
    3. \(a_{1}=-13\) y \(d=6\)
    Responder

    1. \(5,8,11,14,17\)

    3. \(-13,-7,-1,5,11\)

    Ejercicio \(\PageIndex{8}\) Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Aritmética

    En los siguientes ejercicios, encuentre el término descrito utilizando la información proporcionada.

    1. Encuentra el vigésimo quinto término de una secuencia donde el primer término es cinco y la diferencia común es tres.
    2. Encuentra el trigésimo término de una secuencia donde está el primer término \(16\) y la diferencia común es \(−5\).
    3. Encuentra el decimoséptimo término de una secuencia donde el primer término es \(−21\) y la diferencia común es dos.
    Responder

    2. \(-129\)

    Ejercicio \(\PageIndex{9}\) Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Aritmética

    En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado y da la fórmula para el término general.

    1. Encuentra el decimoctavo término de una secuencia donde el quinto término es \(12\) y la diferencia común es siete.
    2. Encuentra el vigésimo primer término de una secuencia donde está el séptimo término \(14\) y la diferencia común es \(−3\).
    Responder

    1. \(a_{18}=103 .\) El término general es \(a_{n}=7 n-23\).

    Ejercicio \(\PageIndex{10}\) Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Aritmética

    En los siguientes ejercicios, encuentra el primer término y diferencia común de la secuencia con los términos dados. Dar la fórmula para el término general.

    1. El quinto término es \(17\) y el decimocuarto es \(53\).
    2. El tercer término es \(−26\) y el decimosexto es \(−91\).
    Responder

    1. \(a_{1}=1, d=4 .\) El término general es \(a_{n}=4 n-3\).

    Ejercicio \(\PageIndex{11}\) Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros \(30\) términos de cada secuencia aritmética.

    1. \(7,4,1,-2,-5, \dots\)
    2. \(1,6,11,16,21, \ldots\)
    Responder

    1. \(-430\)

    Ejercicio \(\PageIndex{12}\) Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de la secuencia aritmética cuyo término general se da.

    1. \(a_{n}=4 n+7\)
    2. \(a_{n}=-2 n+19\)
    Responder

    1. \(585\)

    Ejercicio \(\PageIndex{13}\) Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia aritmética

    En los siguientes ejercicios, encuentra cada suma.

    1. \(\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)\)
    2. \(\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)\)
    3. \(\sum_{i=1}^{35}(i+10)\)
    Responder

    1. \(4850\)

    3. \(980\)

    Secuencias geométricas y series

    Ejercicio \(\PageIndex{14}\) Determinar si una secuencia es geométrica

    En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica, y si es así, indique la relación común.

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(5,10,15,20,25,30, \dots\)
    3. \(112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots\)
    4. \(9,-18,36,-72,144,-288, \dots\)
    Responder

    2. La secuencia no es geométrica.

    4. La secuencia es geométrica con relación común \(r=−2\).

    Ejercicio \(\PageIndex{15}\) Determinar si una secuencia es geométrica

    En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de cada secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común.

    1. \(a_{1}=-3\) y \(r=5\)
    2. \(a_{1}=128\) y \(r=\frac{1}{4}\)
    3. \(a_{1}=5\) y \(r=-3\)
    Responder

    2. \(128,32,8,2, \frac{1}{2}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{16}\) Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Geométrica

    En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de una secuencia donde se da el primer término y la razón común.

    1. Encuentra \(a_{9}\) dado \(a_{1}=6\) y \(r=2\)
    2. Encuentra \(a_{11}\) dado \(a_{1}=10,000,000\) y \(r=0.1\)
    Responder

    1. \(1,536\)

    Ejercicio \(\PageIndex{17}\) Encuentra el Término General (\(n\)th Término) de una Secuencia Geométrica

    En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado de la secuencia dada. Encuentra el término general de la secuencia.

    1. Hallar \(a_{12}\) de la secuencia, \(6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots\)
    2. Hallar \(a_{9}\) de la secuencia, \(4374,1458,486,162,54,18, \ldots\)
    Responder

    1. \(a_{12}=-25,165,824 .\) El término general es \(a_{n}=6(-4)^{n-1}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{18}\) Encuentra la suma de los primeros \(n\) términos de una secuencia geométrica

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los primeros quince términos de cada secuencia geométrica.

    1. \(-4,8,-16,32,-64,128 \ldots\)
    2. \(3,12,48,192,768,3072 \ldots\)
    3. \(3125,625,125,25,5,1 \ldots\)
    Responder

    1. \(5,460\)

    3. \(\approx 3906.25\)

    Ejercicio \(\PageIndex{19}\) encontrar la Suma de los Primeros \(n\) términos de una Secuencia Geométrica

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma

    1. \(\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    Responder

    2. \(\frac{189}{8}=23.625\)

    Ejercicio \(\PageIndex{20}\) Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma de cada serie geométrica infinita.

    1. \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots\)
    2. \(49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots\)
    Responder

    2. \(\frac{343}{6} \approx 57.167\)

    Ejercicio \(\PageIndex{21}\) Encuentra la suma de una serie geométrica infinita

    En los siguientes ejercicios, escribe cada decimal repetido como fracción.

    1. \(0 . \overline{8}\)
    2. \(0 . \overline{36}\)
    Responder

    2. \(\frac{4}{11}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{22}\) Aplicar Secuencias Geométricas y Series en el Mundo Real

    En los siguientes ejercicios, resuelve el problema.

    1. ¿Cuál es el efecto total en la economía de una rebaja de impuestos gubernamentales de $\(360\) a cada hogar con el fin de estimular la economía si cada hogar gastará \(60\)% de la rebaja en bienes y servicios?
    2. Adam acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la secundaria a los 17 años. Decidió invertir $\(300\) al mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es \(7\)% el cual se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adán cuando se retire en su sexagésimo séptimo cumpleaños?
    Responder

    2. \(\$ 1,634,421.27\)

    Teorema Binomial

    Ejercicio \(\PageIndex{23}\) Usa el Triángulo de Pascal para Expandir un Binomial

    En los siguientes ejercicios, expande cada binomio usando el Triángulo de Pascal.

    1. \((a+b)^{7}\)
    2. \((x-y)^{4}\)
    3. \((x+6)^{3}\)
    4. \((2 y-3)^{5}\)
    5. \((7 x+2 y)^{3}\)
    Responder

    2. \(x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}\)

    4. \(\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{24}\) Evaluar un Coeficiente Binomial

    En los siguientes ejercicios, evalúe.

      1. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)\)
    Responder

    1.

    1. \(11\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(56\)

    3.

    1. \(1\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(55\)
    Ejercicio \(\PageIndex{25}\) Utilizar el Teorema Binomial para Expandir un Binomial

    En los siguientes ejercicios, expande cada binomio, utilizando el Teorema Binomial.

    1. \((p+q)^{6}\)
    2. \((t-1)^{9}\)
    3. \((2 x+1)^{4}\)
    4. \((4 x+3 y)^{4}\)
    5. \((x-3 y)^{5}\)
    Responder

    2. \(\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{26}\) Utilizar el Teorema Binomial para Expandir un Binomial

    En los siguientes ejercicios, encuentra el término indicado en la expansión del binomio.

    1. Séptimo periodo de \((a+b)^{9}\)
    2. Tercer periodo de \((x-y)^{7}\)
    Responder

    1. \(84a^{6} b^{3}\)

    Ejercicio \(\PageIndex{27}\) Utilizar el Teorema Binomial para Expandir un Binomial

    En los siguientes ejercicios, encontrar el coeficiente del término indicado en la expansión del binomio.

    1. \(y^{4}\) plazo de \((y+3)^{6}\)
    2. \(x^{5}\) plazo de \((x-2)^{8}\)
    3. \(a^{3} b^{4}\) plazo de \((2 a+b)^{7}\)
    Responder

    1. \(135\)

    3. \(280\)

    Prueba de práctica

    Ejercicio \(\PageIndex{28}\)

    En los siguientes ejercicios, escribe los primeros cinco términos de la secuencia cuyo término general se da.

    1. \(a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}\)
    2. \(a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}\)
    3. Encuentre un término general para la secuencia, \(-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots\)
    4. Expandir la suma parcial y encontrar su valor. \(\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}\)
    5. Escribe lo siguiente usando notación de suma. \(-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\)
    6. Escribir los primeros cinco términos de la secuencia aritmética con el primer término dado y la diferencia común. \(a_{1}=-13\) y \(d=3\)
    7. Encuentra el vigésimo término de una secuencia aritmética donde el primer término es dos y la diferencia común es \(−7\).
    8. Encuentra el vigésimo tercer término de una secuencia aritmética cuyo séptimo término es \(11\) y diferencia común es tres. Después encuentra una fórmula para el término general.
    9. Encuentra el primer término y diferencia común de una secuencia aritmética cuyo noveno término es \(−1\) y el decimosexto término es \(−15\). Después encuentra una fórmula para el término general.
    10. Encuentra la suma de los primeros \(25\) términos de la secuencia aritmética, \(5,9,13,17,21, \dots\)
    11. Encuentra la suma de los primeros \(50\) términos de la secuencia aritmética cuyo término general es \(a_{n}=-3 n+100\).
    12. Encuentra la suma. \(\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)\)
    Responder

    2. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}\)

    4. \(-4+16-64+256=204\)

    6. \(-13,-10,-7,-4,-1\)

    8. \(a_{23}=59 .\) El término general es \(a_{n}=3 n-10\).

    10. \(1,325\)

    12. \(3,260\)

    Ejercicio \(\PageIndex{29}\)

    En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética, geométrica o ninguna de las dos. Si la aritmética, entonces encuentra la diferencia común. Si es geométrico, entonces encuentra la relación común.

    1. \(14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots\)
    2. \(324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots\)
    3. Escribir los primeros cinco términos de la secuencia geométrica con el primer término dado y la relación común. \(a_{1}=6\) y \(r=−2\).
    4. En la secuencia geométrica cuyo primer término y relación común son \(a_{1}=5\) y \(r=4\), encontrar \(a_{11}\).
    5. Encuentra \(a_{10}\) de la secuencia geométrica, \(1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots\) Luego encuentra una
      fórmula para el término general.
    6. Encuentra la suma de los primeros trece términos de la secuencia geométrica, \(2,-6,18,-54,162,-486 \ldots\)
    Responder

    2. La secuencia es geométrica con relación común \(r=\frac{1}{3}\).

    4. \(5,242,880\)

    6. \(797,162\)

    Ejercicio \(\PageIndex{30}\)

    En los siguientes ejercicios, encuentra la suma.

    1. \(\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}\)
    2. \(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots\)
    3. Escribe el decimal repetitivo como fracción. \(0 . \overline{81}\)
    4. Dave acaba de conseguir su primer trabajo de tiempo completo después de graduarse de la secundaria a los 18 años. Decidió invertir $\(450\) al mes en una IRA (una anualidad). El interés de la anualidad es \(6\)% el cual se compone mensualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta de Adam cuando se retire en su sexagésimo quinto cumpleaños?
    5. Expandir el binomio usando el Triángulo de Pascal. \((m-2 n)^{5}\)
    6. Evaluar cada coeficiente binomial.
      1. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)\)
    7. Ampliar el binomio utilizando el Teorema Binomial. \((4 x+5 y)^{3}\)
    Responder

    2. \(\frac{5}{6}\)

    4. \(\$ 1,409,344.19\)

    6.

    1. \(8\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(210\)

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