4.30: Triples pitagóricos

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Triples enteros que hacen triángulos rectos.

Mientras trabaja como asistente de arquitecto, se le pide que utilice su conocimiento del Teorema de Pitágoras para determinar si las longitudes de un soporte triangular en particular califican como Triple Pitágoras. Mides los lados del corsé y encuentras que son de 7 pulgadas, 24 pulgadas y 25 pulgadas. ¿Se puede determinar si las longitudes de los lados de la ortesis triangular califican como Triple Pitágoras?

Triples pitagóricos

Las triples pitagóricas son conjuntos de números enteros para los que el Teorema de Pitágoras es cierto. El triple más conocido es 3, 4, 5. Esto significa que 3 y 4 son las longitudes de las piernas y 5 es la hipotenusa. La longitud más grande es siempre la hipotenusa. Si tuviéramos que multiplicar cualquier triple por una constante, este nuevo triple seguiría representando lados de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, 6, 8, 10 y 15, 20, 25, entre innumerables otros, representarían lados de un triángulo rectángulo.

Identificación de triples pitagóricos

Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras.

7, 24, 25

Enchufa los números dados en el Teorema de Pitágoras.

\(7^2+24^2\stackrel{?}{=}25^2\)

\(49+576=625\)

\(625=625\)

Sí, 7, 24, 25 es un Triple Pitagórico y lados de un triángulo rectángulo.

9, 40, 41

Enchufa los números dados en el Teorema de Pitágoras.

\(9^2+40^2\stackrel{?}{=}41^2\)

\(81+1600=1681\)

\(1681=1681\)

Sí, 9, 40, 41 es un Triple Pitagórico y lados de un triángulo rectángulo.

11, 56, 57

Enchufa los números dados en el Teorema de Pitágoras.

\(11^2+56^2\stackrel{?}{=}57^2\)

\(121+3136=3249\)

\(3257\neq 3249\)

No, 11, 56, 57 no representan los lados de un triángulo rectángulo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Anteriormente, se le pidió que utilizara sus conocimientos del Teorema de Pitágoras para determinar si las longitudes de un soporte de corsé triangular en particular califican como Triple Pitágoras.

Solución

Ya que sabes que los lados del corsé tienen longitudes de 7, 24 y 25 pulgadas, puedes sustituir estos valores en el Teorema de Pitágoras. Si el Teorema de Pitágoras está satisfecho, entonces sabes con certeza que estos son de hecho lados de un triángulo con ángulo recto:

\(7^2+24^2\stackrel{?}{=}25^2\)

\(49+576=625\)

\(625=625\)

El Teorema de Pitágoras está satisfecho con estos valores como longitudes de lados de un triángulo rectángulo. Dado que cada uno de los lados es un número entero, este es efectivamente un conjunto de Triples pitagóricos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras.

5, 10, 13

Solución

Enchufa los números dados en el Teorema de Pitágoras.

\(5^2+10^2\stackrel{?}{=}13^2\)

\(25+100=169\)

\(125\neq 169\)

No, 5, 10, 13 no es un Triple pitagórico y no los lados de un triángulo rectángulo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras.

8, 15, 17

Solución

Enchufa los números dados en el Teorema de Pitágoras.

\(8^2+15^2\stackrel{?}{=}17^2\)

\(64+225=289\)

\(289=289\)

Sí, 8, 15, 17 es un Triple Pitagórico y lados de un triángulo rectángulo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras.

11, 60, 61

Solución

Enchufa los números dados en el Teorema de Pitágoras.

\(11^2+60^2\stackrel{?}{=}61^2\)

\(121+3600=3721\)

\(3721=3721\)

Sí, 11, 60, 61 es un Triple Pitagórico y lados de un triángulo rectángulo.

Revisar

Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 9, 12, 15.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 10, 24, 36.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 4, 6, 8.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 20, 99, 101.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 21, 99, 101.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 65, 72, 97.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 15, 30, 62.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 9, 39, 40.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 48, 55, 73.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 8, 15, 17.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 13, 84, 85.
Determinar si las siguientes longitudes son Triples Pitágoras: 15, 16, 24.
Explique por qué podría ser útil conocer algunas de las triples pitagóricas básicas.
Demostrar que cualquier múltiplo de 5, 12, 13 será un Triple pitagórico.
Demostrar que cualquier múltiplo de 3, 4, 5 será un triple pitagórico.

vocabulario

Término	Definición
Triple Pitágoras	Un Triple Pitágoras es un conjunto de tres números enteros a, b y c que satisfacen el Teorema de Pitágoras,\(a^2+b^2=c^2\).

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Triples pitagóricos