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4.40: Aplicaciones de la Fórmula de Distancia

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    Largo entre dos puntos basado en un triángulo rectángulo.

    Fórmula de distancia en el plano de coordenadas

    La distancia entre dos puntos\((x_1, y_1)\) y se\((x_2,y_2)\) puede definir como\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\). Esto se llama fórmula de distancia. ¡Recuerda que las distancias son siempre positivas!

    ¿Y si te dieran las coordenadas de dos puntos? ¿Cómo podrías encontrar lo lejos que están estos dos puntos?

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra la distancia entre\((-2, -3)\) y\((3, 9)\).

    Solución

    Utilice la fórmula de distancia, conecte los puntos y simplifique.

    \(\begin{align*}d&=\sqrt{(3−(−2))^2+(9−(−3))^2} \\ &=\sqrt{(5)^2+(12)^2} \\ &= \sqrt{25+144} \\ &= \sqrt{169}=13\text{ units }\end{align*}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra la distancia entre\((12, 26)\) y\((8, 7)\).

    Solución

    Utilice la fórmula de distancia, conecte los puntos y simplifique.

    \(\begin{align*}d&=\sqrt{(8−12)^2+(7−26)^2} \\ &= \sqrt{(−4)^2+(−19)^2} \\ &= \sqrt{16+361} \\ &= \sqrt{377}\approx 19.42\text{ units }\end{align*}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra la distancia entre\((4, -2)\) y\((-10, 3)\).

    Solución

    Enchufe\((4, -2)\) para\((x_1, y_1)\) y\((-10, 3)\) para\((x_2,y_2)\) y simplificar.

    \(\begin{align*}d&=\sqrt{(−10−4)^2+(3+2)^2} \\ &= \sqrt{(−14)^2+(5)^2} \\ &= \sqrt{196+25} \\ &= \sqrt{221}\approx 14.87\text{ units }\end{align*}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra la distancia entre\((3, 4)\) y\((-1, 3)\).

    Solución

    Enchufe (3, 4)\) para\((x_1, y_1)\) y\((-1, 3)\) para\((x_2,y_2)\) y simplificar.

    \(\begin{align*}d &=\sqrt{(−1−3)^2+(3−4)^2} \\ &= \sqrt{(−4)^2+(−1)^2} \\ &= \sqrt{16+1} \\ &= \sqrt{17} \approx 4.12\text{ units }\end{align*}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra la distancia entre\((4, 23)\) y\((8, 14)\).

    Solución

    Enchufe\((4, 23)\) para\((x_1, y_1)\) y\((8, 14)\) para\((x_2,y_2)\) y simplificar.

    \(\begin{align*} d&=\sqrt{(8−4)^2+(14−23)^2} \\ &=\sqrt{(4)^2+(−9)^2} \\ &=\sqrt{16+81} \\ & =\sqrt{97} \approx 9.85\text{ units }\end{align*} \)

    Revisar

    Encuentra la distancia entre cada par de puntos. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.

    1. \((4, 15)\)y\((-2, -1)\)
    2. \((-6, 1)\)y\((9, -11)\)
    3. \((0, 12)\)y\((-3, 8)\)
    4. \((-8, 19)\)y\((3, 5)\)
    5. \((3, -25)\)y\((-10, -7)\)
    6. \((-1, 2)\)y\((8, -9)\)
    7. \((5, -2)\)y\((1, 3)\)
    8. \((-30, 6)\)y\((-23, 0)\)
    9. \((2, -2)\)y\((2, 5)\)
    10. \((-9, -4)\)y\((1, -1) \)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 3.10.

    Recurso

    El vocabulario

    Término Definición
    Fórmula de distancia La distancia entre dos puntos\((x_1, y_1)\) y se\((x_2,y_2)\) puede definir como\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\).
    Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras es una relación matemática entre los lados de un triángulo rectángulo\(a^2+b^2=c^2\), dada por, donde\(a\) y\(b\) son patas del triángulo y c es la hipotenusa del triángulo.

    Recursos adicionales

    Elemento interactivo

    Video: La fórmula de la distancia

    Actividades: Fórmula de distancia en el plano de coordenadas Preguntas de discusión

    Ayudas de estudio: Guía de estudio de segmentos

    Práctica: Aplicaciones de la Fórmula de Distancia

    Mundo real: Fórmula de distancia en el plano de coordenadas


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