4.43:30-60-90 Triángulos Rectos
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Uno de los dos triángulos rectos especiales se llama triángulo 30-60-90, después de sus tres ángulos.
30-60-90 Teorema: Si un triángulo tiene medidas de ángulo\(30^{\circ}\),\(60^{\circ}\) y\(90^{\circ}\), entonces los lados están en la relación\(x:x\sqrt{3}:2x\).
La pierna más corta es siempre x, la pierna más larga es siempre\(x\sqrt{3}\), y la hipotenusa es siempre\(2x\). Si alguna vez olvidas estos teoremas, aún puedes usar el Teorema de Pitágoras.
¿Y si te dieran un triángulo rectángulo 30-60-90 y la longitud de uno de sus lados? ¿Cómo pudiste averiguar las longitudes de sus otros lados?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentra el valor de\(x\) y\(y\).
Solución
Se nos da la pierna más larga.
\(\begin{aligned} &x\sqrt{3} =12 \\ &x=\dfrac{12}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3} \\ &\text{The hypotenuse is} \\ &y=2(4\sqrt{3})=8\sqrt{3}\end{aligned}\)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Encuentra el valor de\(x\) y\(y\).
Solución
Nos dan la hipotenusa.
\(\begin{aligned}&2x=16 \\ &x=8 \\ &\text{The longer leg is} \\ &y=8\cdot \sqrt{3}=8\sqrt{3}\end{aligned}\)
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra la longitud de los lados faltantes.
Solución
Nos dan la pierna más corta. Si\(x=5\), entonces la pierna más larga,\(b=5\sqrt{3}\), y la hipotenusa,\(c=2(5)=10\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra la longitud de los lados faltantes.
Solución
Nos dan la hipotenusa. \(2x=20\), entonces la pierna más corta,\(f=\dfrac{20}{2}=10\), y la pierna más larga,\(g=10\sqrt{3}\).
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Un rectángulo tiene lados 4 y\(4\sqrt{3}\). ¿Cuál es la longitud de la diagonal?
Solución
Las dos longitudes son\(x\),\(x\sqrt{3}\), entonces la diagonal sería\(2x\), o\(2(4)=8\).
Si no reconociste que este es un triángulo 30-60-90, también puedes usar el Teorema de Pitágoras.
\(\begin{aligned} 4^2+(4\sqrt{3})^2&=d^2 \\ 16+48&=d^2 \\ d&=\sqrt{64}=8\end{aligned}\)
Revisar
- En un triángulo 30-60-90, si la pierna más corta es 5, entonces la pierna más larga es __________ y la hipotenusa es ___________.
- En un triángulo 30-60-90, si la pierna más corta es x, entonces la pierna más larga es __________ y la hipotenusa es ___________.
- Un rectángulo tiene lados de longitud 6 y\(6\sqrt{3}\). ¿Cuál es la longitud de la diagonal?
- Dos lados (opuestos) de un rectángulo son 10 y la diagonal es 20. ¿Cuál es la longitud de los otros dos lados?
Para las preguntas 5-12, encuentra los largos de los lados faltantes. Simplifica todos los radicales.
-
Figura\(\PageIndex{6}\) -
Figura\(\PageIndex{7}\) -
Figura\(\PageIndex{8}\) -
Figura\(\PageIndex{9}\) -
Figura\(\PageIndex{10}\) -
Figura\(\PageIndex{11}\) -
Figura\(\PageIndex{12}\) -
Figura\(\PageIndex{13}\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.6.
Recursos
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Teorema 30-60-90 | Si un triángulo tiene medidas de ángulo de 30, 60 y 90 grados, entonces los lados están en la proporción\(x : x \sqrt{3} : 2x\) |
| Triángulo 30-60-90 | Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo especial con ángulos de\(30^{\circ}\),\(60^{\circ}\), y\(90^{\circ}\). |
| Hipotenusa | La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más largo del triángulo rectángulo. Está frente al ángulo recto. |
| Patas de un Triángulo Recto | Las patas de un triángulo rectángulo son los dos lados más cortos del triángulo rectángulo. Las patas están adyacentes al ángulo recto. |
| Teorema de Pitágoras | El Teorema de Pitágoras es una relación matemática entre los lados de un triángulo rectángulo\(a^2+b^2=c^2\), dada por, donde a y b son patas del triángulo y c es la hipotenusa del triángulo. |
| Radical | El signo\(\sqrt\), o raíz cuadrada,. |
Recursos adicionales
Elemento interactivo
Video: Resolviendo triángulos rectos especiales
Actividades: 30-60-90 Triángulos Rectos Preguntas de Discusión
Ayudas de estudio: Guía de estudio de triángulos rectos especiales
Práctica: Triángulos Rectos 30-60-90
Mundo real: Combatiendo la guerra contra las drogas usando geometría y triángulos especiales