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LibreTexts Español

6.15: Cuadriláteros Inscritos en Círculos

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Cuadriláteros con cada vértice en círculo y ángulos opuestos que son complementarios.

Un polígono inscrito es un polígono donde cada vértice está en el círculo, como se muestra a continuación.

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Figura6.15.1

Para cuadriláteros inscritos en particular, los ángulos opuestos siempre serán complementarios.

Teorema Cuadrilátero Inscrito: Un cuadrilátero se puede inscribir en círculo si y sólo si los ángulos opuestos son suplementarios.

f-d_234aed0c25ab3088ee1539f4f8cbda8d779cd55821268cf106c165f1+image_tiny+image_tiny.png
Figura6.15.2

SiABCD está inscrito enE, entoncesmA+mC=180 ymB+mD=180. Por el contrario, SimA+mC=180 ymB+mD=180, entoncesABCD se inscribe enE.

¿Y si te dieran un círculo con un cuadrilátero inscrito en él? ¿Cómo podría usar la información sobre los arcos formados por las medidas de ángulo cuadrilátero y/o cuadrilátero para encontrar la medida de los ángulos cuadriláteros desconocidos?

Ejemplo6.15.1

  1. f-d_f24b37126d5836fd55db753eeb521107c3754f643667625dacaf1479+imagen_tiny+imagen_tiny.png
    Figura6.15.3
  2. f-d_4e9fa23995200ff2bce5845a55ac0b9a3feedb20776807da7788843c+image_tiny+image_tiny.png
    Figura6.15.4

Solución

  1. \ (\ begin {alineado}
    x+80^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\ qquad& y+71^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
    x&=100^ {\ circ} & y&=109^ {\ circ}
    \ end {alineado}\)
  1. \ (\ begin {alineado}
    z+93^ {\ circ} &=180^ {\ circ} & x&=\ frac {1} {2}\ left (58^ {\ circ} +106^ {\ circ}\ derecha) & y+82^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
    z &=87^ {\ circ} & x &=82^ {\ circ} & y&=98^ {\ circ}
    \ final {alineado}\)

Ejemplo6.15.2

Encuentrax yy en la imagen de abajo.

f-d_64f8d45d7bded8e76a6d0c885eca321e6148062fea389c6837ff75dd+image_tiny+image_tiny.png
Figura6.15.5

Solución

\ (\ begin {array} {rlrl}
(7 x+1) ^ {\ circ} +105^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & (4 y+14) ^ {\ circ} + (7 y+1) ^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x+106^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & 11 y+15^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x & =74 & 11 y & =165\\
x & ; =10.57 & y&=15
\ end {array}\)

Ejemplo6.15.3

Encuentra los valores de x e y enA.

f-d_f2ea4fb83ec882d7580bd9e11efb85d1defafd3b1188c5c7fa7f5ec3+image_tiny+image_tiny.png
Figura6.15.6

Solución

Utilice el Teorema Cuadrilátero Inscrito. x+108=180asíx=72. Del mismo modo,y+88=180 asíy=92.

Ejemplo6.15.4

CuadriláteroABCD está inscrito enE. EncontrarmA,mB,mC, ymD.


F-D_28916D1F401E34988707414ADB44C915487A4F08050767BFFF944C90+Imagen_Tiny+Imagen_Tiny.png
Figura6.15.7

Solución

Primero, tenga en cuenta quem^AD=105 debido a que el círculo completo debe sumar hasta360.

mA=12m^BD=12(115+86)=100.5mB=12m^AC=12(86+105)=95.5mC=180mA=180100.5=79.5mD=180mB=18095.5=84.5

Revisar

Rellene los espacios en blanco.

  1. Un polígono (n) _______________ tiene todos sus vértices en un círculo.
  2. Los ángulos _____________ de un cuadrilátero inscrito son ________________.

CuadriláteroABCD está inscrito enE. Encuentra:

f-d_3bb0b500960d9fbd9502dbf49ab2b3b335d590165bbcc4228e01f369+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png
Figura6.15.8
  1. mDBC
  2. m^BC
  3. m^AB
  4. mACD
  5. mADC
  6. mACB

Encuentra el valor dex y/oy enA.

  1. f-d_e5c6113c5f81b51a1b335af83993babf54f2020eeaedd687d985c21a+image_tiny+image_tiny.png
    Figura6.15.9
  2. f-d_6aeedd2059d1d9ebfc81e7df42693c5f93332a5b3dc846355d840c85+image_tiny+image_tiny.png
    Figura6.15.10
  3. f-d_0652ac7ccf2739e340734a85a42de79c2ce279e0970e3f4844de4115+image_tiny+image_tiny.png
    Figura6.15.11

Resolver parax.

  1. F-D_4C1DF032BF17250331001E38694B77100784E74570D46982B9061952+Image_Tiny+Image_Tiny.png
    Figura6.15.12
  2. f-d_2365c18f60fd2ba0361e3eef433fbd5a400423169540c3c1d6abc3e0+image_tiny+image_tiny.png
    Figura6.15.13

vocabulario

Término Definición
ángulo central Un ángulo formado por dos radios y cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo.
acorde Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo.
círculo El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro.
diámetro Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio.
ángulo inscrito Un ángulo con su vértice en el círculo y cuyos lados son acordes.
arco interceptado El arco que se encuentra dentro de un ángulo inscrito y cuyos extremos están en el ángulo.
radio La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
Polígono con Inscritos Un polígono inscrito es un polígono con cada vértice en un círculo dado.
Teorema Cuadrilátero con Inscritos El Teorema Cuadrilátero Inscrito establece que un cuadrilátero puede ser inscrito en un círculo si y sólo si los ángulos opuestos del cuadrilátero son suplementarios.
Cuadriláteros Cíclicos Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Principios - Básico

Actividades: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio Inscritos en Círculos

Práctica: Cuadriláteros Inscritos en Círculos

Mundo real: Amanecer en Stonehenge


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