6.15: Cuadriláteros Inscritos en Círculos
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Un polígono inscrito es un polígono donde cada vértice está en el círculo, como se muestra a continuación.
Para cuadriláteros inscritos en particular, los ángulos opuestos siempre serán complementarios.
Teorema Cuadrilátero Inscrito: Un cuadrilátero se puede inscribir en círculo si y sólo si los ángulos opuestos son suplementarios.
Si\(ABCD\) está inscrito en\(\bigodot E\), entonces\(m\angle A+m\angle C=180^{\circ}\) y\(m\angle B+m\angle D=180^{\circ}\). Por el contrario, Si\(m\angle A+m\angle C=180^{\circ}\) y\(m\angle B+m\angle D=180^{\circ}\), entonces\(ABCD\) se inscribe en\(\bigodot E\).
¿Y si te dieran un círculo con un cuadrilátero inscrito en él? ¿Cómo podría usar la información sobre los arcos formados por las medidas de ángulo cuadrilátero y/o cuadrilátero para encontrar la medida de los ángulos cuadriláteros desconocidos?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
-
Figura\(\PageIndex{3}\) -
Figura\(\PageIndex{4}\)
Solución
- \ (\ begin {alineado}
x+80^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\ qquad& y+71^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
x&=100^ {\ circ} & y&=109^ {\ circ}
\ end {alineado}\)
- \ (\ begin {alineado}
z+93^ {\ circ} &=180^ {\ circ} & x&=\ frac {1} {2}\ left (58^ {\ circ} +106^ {\ circ}\ derecha) & y+82^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
z &=87^ {\ circ} & x &=82^ {\ circ} & y&=98^ {\ circ}
\ final {alineado}\)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Encuentra\(x\) y\(y\) en la imagen de abajo.
Solución
\ (\ begin {array} {rlrl}
(7 x+1) ^ {\ circ} +105^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & (4 y+14) ^ {\ circ} + (7 y+1) ^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x+106^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & 11 y+15^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x & =74 & 11 y & =165\\
x & ; =10.57 & y&=15
\ end {array}\)
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra los valores de x e y en\(\bigodot A\).
Solución
Utilice el Teorema Cuadrilátero Inscrito. \(x^{\circ}+108^{\circ}=180^{\circ}\)así\(x=72^{\circ}\). Del mismo modo,\(y^{\circ}+88^{\circ}=180^{\circ}\) así\(y=92^{\circ}\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Cuadrilátero\(ABCD\) está inscrito en\(\bigodot E\). Encontrar\(m\angle A\),\(m\angle B\),\(m\angle C\), y\(m\angle D\).
Solución
Primero, tenga en cuenta que\(m\widehat{AD}=105^{\circ}\) debido a que el círculo completo debe sumar hasta\(360^{\circ}\).
\(\begin{aligned}m\angle A&=\dfrac{1}{2}m\widehat{BD}=12(115+86)=100.5^{\circ} \\ m\angle B&=\dfrac{1}{2}m\widehat{AC}=12(86+105)=95.5^{\circ} \\ m\angle C&=180^{\circ}−m\angle A=180^{\circ}−100.5^{\circ}=79.5^{\circ} \\ m\angle D&=180^{\circ}−m\angle B=180^{\circ}−95.5^{\circ}=84.5^{\circ}\end{aligned}\)
Revisar
Rellene los espacios en blanco.
- Un polígono (n) _______________ tiene todos sus vértices en un círculo.
- Los ángulos _____________ de un cuadrilátero inscrito son ________________.
Cuadrilátero\(ABCD\) está inscrito en\(\bigodot E\). Encuentra:
- \(m\angle DBC\)
- \(m\widehat{BC}\)
- \(m\widehat{AB}\)
- \(m\angle ACD\)
- \(m\angle ADC\)
- \(m\angle ACB\)
Encuentra el valor de\(x\) y/o\(y\) en\(\bigodot A\).
-
Figura\(\PageIndex{9}\) -
Figura\(\PageIndex{10}\) -
Figura\(\PageIndex{11}\)
Resolver para\(x\).
-
Figura\(\PageIndex{12}\) -
Figura\(\PageIndex{13}\)
vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| ángulo central | Un ángulo formado por dos radios y cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo. |
| acorde | Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo. |
| círculo | El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro. |
| diámetro | Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio. |
| ángulo inscrito | Un ángulo con su vértice en el círculo y cuyos lados son acordes. |
| arco interceptado | El arco que se encuentra dentro de un ángulo inscrito y cuyos extremos están en el ángulo. |
| radio | La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo. |
| Polígono con Inscritos | Un polígono inscrito es un polígono con cada vértice en un círculo dado. |
| Teorema Cuadrilátero con Inscritos | El Teorema Cuadrilátero Inscrito establece que un cuadrilátero puede ser inscrito en un círculo si y sólo si los ángulos opuestos del cuadrilátero son suplementarios. |
| Cuadriláteros Cíclicos | Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Principios - Básico
Actividades: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Preguntas de Discusión
Ayudas de estudio: Guía de estudio Inscritos en Círculos
Práctica: Cuadriláteros Inscritos en Círculos
Mundo real: Amanecer en Stonehenge