6.15: Cuadriláteros Inscritos en Círculos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Cuadriláteros con cada vértice en círculo y ángulos opuestos que son complementarios.
Un polígono inscrito es un polígono donde cada vértice está en el círculo, como se muestra a continuación.

Para cuadriláteros inscritos en particular, los ángulos opuestos siempre serán complementarios.
Teorema Cuadrilátero Inscrito: Un cuadrilátero se puede inscribir en círculo si y sólo si los ángulos opuestos son suplementarios.

SiABCD está inscrito en\bigodot E, entoncesm\angle A+m\angle C=180^{\circ} ym\angle B+m\angle D=180^{\circ}. Por el contrario, Sim\angle A+m\angle C=180^{\circ} ym\angle B+m\angle D=180^{\circ}, entoncesABCD se inscribe en\bigodot E.
¿Y si te dieran un círculo con un cuadrilátero inscrito en él? ¿Cómo podría usar la información sobre los arcos formados por las medidas de ángulo cuadrilátero y/o cuadrilátero para encontrar la medida de los ángulos cuadriláteros desconocidos?
Ejemplo\PageIndex{1}
-
Figura\PageIndex{3} -
Figura\PageIndex{4}
Solución
- \ (\ begin {alineado}
x+80^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\ qquad& y+71^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
x&=100^ {\ circ} & y&=109^ {\ circ}
\ end {alineado}\)
- \ (\ begin {alineado}
z+93^ {\ circ} &=180^ {\ circ} & x&=\ frac {1} {2}\ left (58^ {\ circ} +106^ {\ circ}\ derecha) & y+82^ {\ circ} &=180^ {\ circ}\\
z &=87^ {\ circ} & x &=82^ {\ circ} & y&=98^ {\ circ}
\ final {alineado}\)
Ejemplo\PageIndex{2}
Encuentrax yy en la imagen de abajo.

Solución
\ (\ begin {array} {rlrl}
(7 x+1) ^ {\ circ} +105^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & (4 y+14) ^ {\ circ} + (7 y+1) ^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x+106^ {\ circ} & =180^ {\ circ} & 11 y+15^ {\ circ} & =180^ {\ circ}\\
7 x & =74 & 11 y & =165\\
x & ; =10.57 & y&=15
\ end {array}\)
Ejemplo\PageIndex{3}
Encuentra los valores de x e y en\bigodot A.

Solución
Utilice el Teorema Cuadrilátero Inscrito. x^{\circ}+108^{\circ}=180^{\circ}asíx=72^{\circ}. Del mismo modo,y^{\circ}+88^{\circ}=180^{\circ} asíy=92^{\circ}.
Ejemplo\PageIndex{4}
CuadriláteroABCD está inscrito en\bigodot E. Encontrarm\angle A,m\angle B,m\angle C, ym\angle D.

Solución
Primero, tenga en cuenta quem\widehat{AD}=105^{\circ} debido a que el círculo completo debe sumar hasta360^{\circ}.
\begin{aligned}m\angle A&=\dfrac{1}{2}m\widehat{BD}=12(115+86)=100.5^{\circ} \\ m\angle B&=\dfrac{1}{2}m\widehat{AC}=12(86+105)=95.5^{\circ} \\ m\angle C&=180^{\circ}−m\angle A=180^{\circ}−100.5^{\circ}=79.5^{\circ} \\ m\angle D&=180^{\circ}−m\angle B=180^{\circ}−95.5^{\circ}=84.5^{\circ}\end{aligned}
Revisar
Rellene los espacios en blanco.
- Un polígono (n) _______________ tiene todos sus vértices en un círculo.
- Los ángulos _____________ de un cuadrilátero inscrito son ________________.
CuadriláteroABCD está inscrito en\bigodot E. Encuentra:

- m\angle DBC
- m\widehat{BC}
- m\widehat{AB}
- m\angle ACD
- m\angle ADC
- m\angle ACB
Encuentra el valor dex y/oy en\bigodot A.
-
Figura\PageIndex{9} -
Figura\PageIndex{10} -
Figura\PageIndex{11}
Resolver parax.
-
Figura\PageIndex{12} -
Figura\PageIndex{13}
vocabulario
Término | Definición |
---|---|
ángulo central | Un ángulo formado por dos radios y cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo. |
acorde | Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo. |
círculo | El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro. |
diámetro | Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio. |
ángulo inscrito | Un ángulo con su vértice en el círculo y cuyos lados son acordes. |
arco interceptado | El arco que se encuentra dentro de un ángulo inscrito y cuyos extremos están en el ángulo. |
radio | La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo. |
Polígono con Inscritos | Un polígono inscrito es un polígono con cada vértice en un círculo dado. |
Teorema Cuadrilátero con Inscritos | El Teorema Cuadrilátero Inscrito establece que un cuadrilátero puede ser inscrito en un círculo si y sólo si los ángulos opuestos del cuadrilátero son suplementarios. |
Cuadriláteros Cíclicos | Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Principios - Básico
Actividades: Cuadriláteros Inscritos en Círculos Preguntas de Discusión
Ayudas de estudio: Guía de estudio Inscritos en Círculos
Práctica: Cuadriláteros Inscritos en Círculos
Mundo real: Amanecer en Stonehenge