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Educación Básica
Geometría
6: Círculos
6.21: Círculos en el plano de coordenadas

6.21: Círculos en el plano de coordenadas

Última actualización

30 oct 2022
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- 6.20: Teorema de la Secante Tangente
- 7: Similitud

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Grafica un círculo. Utilizar $(h, k)$ como centro y punto en el círculo. Fórmula: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ donde $(h, k)$ está el centro y $r$ es el radio.

Recordemos que un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a la misma distancia del centro. Esta definición se puede utilizar para encontrar una ecuación de un círculo en el plano de coordenadas.

f-d_887da444c8c39ed09e59c45d97a9f7dc9a6d2475d4c4b4d27de5a07d+imagen_tiny+imagen_tiny.png — Figura $\PageIndex{1}$

Empecemos con el círculo centrado en $(0, 0)$ . Si $(x,y)$ es un punto en el círculo, entonces la distancia desde el centro a este punto sería el radio, r. x es la distancia horizontal e y es la distancia vertical. Esto forma un triángulo rectángulo. Del Teorema de Pitágoras, la ecuación de un círculo centrado en el origen es $x^2+y^2=r^2$ .

El centro no siempre tiene que estar encendido $(0, 0)$ . Si no lo es, entonces etiquetamos el centro $(h,k)$ . Entonces usaríamos la Fórmula de Distancia para encontrar la longitud del radio.

f-d_a2dc1936453ab0b1fa6bcbfc35cbc2b64a1663307b59307a4eff17a7+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{2}$

$r=\sqrt{(x−h)^2+(y−k)^2}$

Si cuadras ambos lados de esta ecuación, entonces tendrías la ecuación estándar de un círculo. La ecuación estándar de un círculo con centro $(h,k)$ y radio $r$ es $r^2=(x−h)^2+(y−k)^2$ .

¿Y si te dieran la longitud del radio de un círculo y las coordenadas de su centro? ¿Cómo se podría escribir la ecuación del círculo en el plano de coordenadas?

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Encuentra el centro y el radio del siguiente círculo.

$(x+2)^2+(y−5)^2=49$

Solución

Reescribe la ecuación como $(x−(−2))^2+(y−5)^2=7^2$ . El centro es $(-2, 5)$ y $r=7$ .

Tenga en cuenta que, debido a los signos menos en la fórmula, las coordenadas del centro tienen los signos opuestos de lo que inicialmente pueden parecer ser.

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Encuentra el centro y el radio del siguiente círculo.

Encuentra la ecuación del círculo con el centro $(4, -1)$ y que pasa a través $(-1, 2)$ .

Solución

Primero enchufa el centro a la ecuación estándar.

$\begin{aligned} (x−4)^2+(y−(−1))^2&=r^2 \\ (x−4)^2+(y+1)^2&=r^2\end{aligned}$

Ahora, conecte (-1, 2) para $x$ y $y$ y resuelva para $r$ .

$\begin{aligned} (−1−4)^2+(2+1)^2=r^2 \\ (−5)^2+(3)^2&=r^2 \\ 25+9&=r^2 \\ 34&=r^2\end{aligned}$

Sustituyendo $34$ por $r^2$ , la ecuación es $(x−4)^2+(y+1)^2=34$ .

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Gráfica $x^2+y^2=9$ .

Solución

El centro es $(0, 0)$ . Su radio es la raíz cuadrada de 9, o 3. Traza el centro, traza los puntos que son 3 unidades a la derecha, izquierda, arriba y abajo desde el centro y luego conecta estos cuatro puntos para formar un círculo.

f-d_51e70ae80bc74863dea7b8627189e0234c3d0fecb4194296dc2ee49b+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{3}$

Ejemplo $\PageIndex{4$

Encuentra la ecuación del círculo a continuación.

f-d_8992dc6e609b09fc1c0bc95ecf4cade58f43c8393e485dbae8ddb910+image_tiny+image_tiny.png — Figura $\PageIndex{4}$

Solución

Primero localice el centro. Dibuje en los diámetros horizontal y vertical para ver dónde se cruzan.

F-D_87d22c3db7f19c42d40b41e60dfeb372f1230addd5ac3dce5b9cd1c7+image_tiny+imagen_tiny.png — Figura $\PageIndex{5}$

A partir de esto, vemos que el centro es $(-3, 3)$ . Si contamos las unidades desde el centro hasta el círculo en cualquiera de estos diámetros, nos encontramos $r=6$ . Conectando esto a la ecuación de un círculo, obtenemos: $(x−(−3))^2+(y−3)^2=6^2$ o $(x+3)^2+(y−3)^2=36$ .

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Determinar si los siguientes puntos están encendidos $(x+1)^2+(y−5)^2=50$ .

Solución

Enchufe los puntos para x e y adentro $(x+1)^2+(y−5)^2=50$ .

$(8, -3)$

$\begin{aligned} (8+1)^2+(−3−5)^2&=50 \\ 9^2+(−8)^2&=50 \\ 81+64 &\neq 50\end{aligned}$

$(8, -3)$ no está en el círculo

$(-2, -2)$

$\begin{aligned} (−2+1)^2+(−2−5)^2&=50 \\ (−1)^2+(−7)^2&=50 \\ 1+49&=50\end{aligned}$

$(-2, -2)$ está en el círculo

Revisar

Encuentra el centro y el radio de cada círculo. Después, grafica cada círculo.

$(x+5)^2+(y−3)^2=16$
\ (x^2+ (y+8) ^2=4
\ ((x−7) ^2+ (y−10) ^2=20
\ ((x+2) ^2+y^2=8

Encuentra la ecuación de los círculos a continuación.

Figura $\PageIndex{6}$
Figura $\PageIndex{7}$
Figura $\PageIndex{8}$
Figura $\PageIndex{9}$
¿Está encendido (-7, 3) $(x+1)^2+(y−6)^2=45$ ?
¿Está encendido (9, -1) $(x−2)^2+(y−2)^2=60$ ?
¿Está encendido (-4, -3) $(x+3)^2+(y−3)^2=37$ ?
¿Está encendido (5, -3) $(x+1)^2+(y−6)^2=45$ ?

Encuentra la ecuación del círculo con el centro dado y el punto en el círculo.

centro: (2, 3), punto: (-4, -1)
centro: (10, 0), punto: (5, 2)
centro: (-3, 8), punto: (7, -2)
centro: (6, -6), punto: (-9, 4)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.12.

El vocabulario

Término	Definición
círculo	El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el *centro*.
radio	La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
Fórmula de distancia	La distancia entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y se $(x_2, y_2)$ puede definir como $d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}$ .
Origen	El origen es el punto de intersección de los ejes x e y en el plano cartesiano. Las coordenadas del origen son (0, 0).

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Graficando Círculos Principios - Básico

Actividades: Círculos en el Plano Coordinado Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Propiedades de una guía de estudio circular

Práctica: Círculos en el plano de coordenadas

Mundo real: Geometría GPS

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