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6.21: Círculos en el plano de coordenadas

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    Grafica un círculo. Utilizar\((h, k)\) como centro y punto en el círculo. Fórmula:\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) donde\((h, k)\) está el centro y\(r\) es el radio.

    Recordemos que un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a la misma distancia del centro. Esta definición se puede utilizar para encontrar una ecuación de un círculo en el plano de coordenadas.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Empecemos con el círculo centrado en\((0, 0)\). Si\((x,y)\) es un punto en el círculo, entonces la distancia desde el centro a este punto sería el radio, r. x es la distancia horizontal e y es la distancia vertical. Esto forma un triángulo rectángulo. Del Teorema de Pitágoras, la ecuación de un círculo centrado en el origen es\(x^2+y^2=r^2\).

    El centro no siempre tiene que estar encendido\((0, 0)\). Si no lo es, entonces etiquetamos el centro\((h,k)\). Entonces usaríamos la Fórmula de Distancia para encontrar la longitud del radio.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    \(r=\sqrt{(x−h)^2+(y−k)^2}\)

    Si cuadras ambos lados de esta ecuación, entonces tendrías la ecuación estándar de un círculo. La ecuación estándar de un círculo con centro\((h,k)\) y radio\(r\) es\(r^2=(x−h)^2+(y−k)^2\).

    ¿Y si te dieran la longitud del radio de un círculo y las coordenadas de su centro? ¿Cómo se podría escribir la ecuación del círculo en el plano de coordenadas?

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra el centro y el radio del siguiente círculo.

    \((x+2)^2+(y−5)^2=49\)

    Solución

    Reescribe la ecuación como\((x−(−2))^2+(y−5)^2=7^2\). El centro es\((-2, 5)\) y\(r=7\).

    Tenga en cuenta que, debido a los signos menos en la fórmula, las coordenadas del centro tienen los signos opuestos de lo que inicialmente pueden parecer ser.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra el centro y el radio del siguiente círculo.

    Encuentra la ecuación del círculo con el centro\((4, -1)\) y que pasa a través\((-1, 2)\).

    Solución

    Primero enchufa el centro a la ecuación estándar.

    \(\begin{aligned} (x−4)^2+(y−(−1))^2&=r^2 \\ (x−4)^2+(y+1)^2&=r^2\end{aligned}\)

    Ahora, conecte (-1, 2) para\(x\) y\(y\) y resuelva para\(r\).

    \(\begin{aligned} (−1−4)^2+(2+1)^2=r^2 \\ (−5)^2+(3)^2&=r^2 \\ 25+9&=r^2 \\ 34&=r^2\end{aligned}\)

    Sustituyendo\(34\) por\(r^2\), la ecuación es\((x−4)^2+(y+1)^2=34\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Gráfica\(x^2+y^2=9\).

    Solución

    El centro es\((0, 0)\). Su radio es la raíz cuadrada de 9, o 3. Traza el centro, traza los puntos que son 3 unidades a la derecha, izquierda, arriba y abajo desde el centro y luego conecta estos cuatro puntos para formar un círculo.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{4\)

    Encuentra la ecuación del círculo a continuación.

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Solución

    Primero localice el centro. Dibuje en los diámetros horizontal y vertical para ver dónde se cruzan.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    A partir de esto, vemos que el centro es\((-3, 3)\). Si contamos las unidades desde el centro hasta el círculo en cualquiera de estos diámetros, nos encontramos\(r=6\). Conectando esto a la ecuación de un círculo, obtenemos:\((x−(−3))^2+(y−3)^2=6^2\) o\((x+3)^2+(y−3)^2=36\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Determinar si los siguientes puntos están encendidos\((x+1)^2+(y−5)^2=50\).

    Solución

    Enchufe los puntos para x e y adentro\((x+1)^2+(y−5)^2=50\).

    1. \((8, -3)\)

    \(\begin{aligned} (8+1)^2+(−3−5)^2&=50 \\ 9^2+(−8)^2&=50 \\ 81+64 &\neq 50\end{aligned}\)

    \((8, -3)\)no está en el círculo

    1. \((-2, -2)\)

    \(\begin{aligned} (−2+1)^2+(−2−5)^2&=50 \\ (−1)^2+(−7)^2&=50 \\ 1+49&=50\end{aligned}\)

    \( (-2, -2)\)está en el círculo

    Revisar

    Encuentra el centro y el radio de cada círculo. Después, grafica cada círculo.

    1. \((x+5)^2+(y−3)^2=16\)
    2. \ (x^2+ (y+8) ^2=4
    3. \ ((x−7) ^2+ (y−10) ^2=20
    4. \ ((x+2) ^2+y^2=8

    Encuentra la ecuación de los círculos a continuación.

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      Figura\(\PageIndex{6}\)
    2. F-D_91874ad62deb56cf5de3da3a229caec161c2c47ae4de8347e3821ba0+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{7}\)
    3. F-D_5575c301f6d1fe43a5e82233d84c8fb6cd73281da9ec880ca69b5ff6+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{8}\)
    4. f-d_4b66d6a5d2e17861cb2a0a2477d4890e635c88e47f9cdf6bbe501adc+imagen_tiny+imagen_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)
    5. ¿Está encendido (-7, 3)\((x+1)^2+(y−6)^2=45\)?
    6. ¿Está encendido (9, -1)\((x−2)^2+(y−2)^2=60\)?
    7. ¿Está encendido (-4, -3)\((x+3)^2+(y−3)^2=37\)?
    8. ¿Está encendido (5, -3)\((x+1)^2+(y−6)^2=45\)?

    Encuentra la ecuación del círculo con el centro dado y el punto en el círculo.

    1. centro: (2, 3), punto: (-4, -1)
    2. centro: (10, 0), punto: (5, 2)
    3. centro: (-3, 8), punto: (7, -2)
    4. centro: (6, -6), punto: (-9, 4)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.12.

    El vocabulario

    Término Definición
    círculo El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro.
    radio La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
    Fórmula de distancia La distancia entre dos puntos\((x_1, y_1)\) y se\((x_2, y_2)\) puede definir como\(d=\sqrt{(x_2−x_1)^2+(y_2−y_1)^2}\).
    Origen El origen es el punto de intersección de los ejes x e y en el plano cartesiano. Las coordenadas del origen son (0, 0).

    Recursos adicionales

    Elemento Interactivo

    Video: Graficando Círculos Principios - Básico

    Actividades: Círculos en el Plano Coordinado Preguntas de Discusión

    Ayudas de estudio: Propiedades de una guía de estudio circular

    Práctica: Círculos en el plano de coordenadas

    Mundo real: Geometría GPS

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