9.1: Poliedros
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Un poliedro es una figura tridimensional que está formada por polígonos que encierran una región en el espacio. Cada polígono en un poliedro es una cara . El segmento de línea donde se cruzan dos caras es una arista . El punto de intersección de dos aristas es un vértice .
Los ejemplos de poliedros incluyen un cubo, prisma o pirámide. Los conos, las esferas y los cilindros no son poliedros porque tienen superficies que no son polígonos. Los siguientes son más ejemplos de poliedros:
El número de caras (\(F\)), vértices (\(V\)) y aristas (\(E\)) están relacionados de la misma manera para cualquier poliedro. Su relación fue descubierta por el matemático suizo Leonhard Euler, y se llama Teorema de Euler.
Teorema de Euler:\(F+V=E+2\).
\(Faces+Vertices=Edges+2\)
\(5+6=9+2\)
Un poliedro regular es un poliedro donde todas las caras son polígonos regulares congruentes. Sólo hay cinco poliedros regulares, llamados los sólidos platónicos.
- Tetraedro Regular: Un poliedro de 4 caras y todas las caras son triángulos equiláteros.
- Cubo: Un poliedro de 6 caras y todas las caras son cuadradas.
- Octaedro Regular: Un poliedro de 8 caras y todas las caras son triángulos equiláteros.
- Dodecaedro regular: Un poliedro de 12 caras y todas las caras son pentágonos regulares.
- Icosaedro regular: Un poliedro de 20 caras y todas las caras son triángulos equiláteros.
¿Y si te dieran una figura tridimensional sólida, como una caja de helado? ¿Cómo podría determinar cómo se relacionan las caras, los vértices y los bordes de esa figura?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
-
Figura\(\PageIndex{6}\) -
Figura\(\PageIndex{7}\) -
Figura\(\PageIndex{8}\)
Solución
La base es un triángulo y todos los lados son triángulos, por lo que esta es una pirámide triangular, que también se conoce como tetraedro. Hay 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
En un poliedro de seis caras, hay 10 bordes. ¿Cuántos vértices tiene el poliedro?
Solución
Resolver para\(V\) en el Teorema de Euler.
\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 6+V&=10+2 \\ V&=6\end{aligned} \)
Por lo tanto, hay 6 vértices.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Markus cuenta los bordes, caras y vértices de un poliedro. Se le ocurre 10 vértices, 5 caras y 12 aristas. ¿Cometió un error?
Solución
Enchufa los tres números en el Teorema de Euler.
\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 5+10&=12+2 \\ 15 &\neq 14 \end{aligned}\)
Debido a que las dos partes no son iguales, Markus cometió un error.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra el número de caras, vértices y aristas en un prisma octogonal.
Solución
Hay 10 caras y 16 vértices. Usa el Teorema de Euler, para resolver para\(E\).
\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 10+16&=E+2 \\ 24&=E \end{aligned}\)
Por lo tanto, hay 24 bordes.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Un icosaedro truncado es un poliedro con 12 caras pentagonales regulares, 20 caras hexagonales regulares y 90 bordes. Este icosaedro se parece mucho a un balón de fútbol. ¿Cuántos vértices tiene? Explica tu razonamiento.
Solución
Podemos usar el Teorema de Euler para resolver el número de vértices.
\(\begin{aligned} F+V&=E+2 \\ 32+V&=90+2 \\ V&=60\end{aligned}\)
Por lo tanto, tiene 60 vértices.
Revisar
Completa la tabla usando el Teorema de Euler.
| Nombre | Caras | Bordes | Vértices | |
|---|---|---|---|---|
| 1. | Prisma Rectangular | 6 | 12 | |
| 2. | Pirámide octogonal | 16 | 9 | |
| 3. | Icosaedro regular | 20 | 12 | |
| 4. | Cube | 12 | 8 | |
| 5. | Pirámide Triangular | 4 | 4 | |
| 6. | Octaedro | 8 | 12 | |
| 7. | Prisma Heptagonal | 21 | 14 | |
| 8. | Prisma Triangular | 5 | 9 |
Determinar si las siguientes cifras son poliedros. Si es así, asigne un nombre a la figura y busca el número de caras, aristas y vértices.
-
Figura\(\PageIndex{11}\) -
Figura\(\PageIndex{12}\) -
Figura\(\PageIndex{13}\) -
Figura\(\PageIndex{14}\) -
Figura\(\PageIndex{15}\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.1.
Recursos adicionales
Video: Principios de Poliedros - Básicos
Actividades: Preguntas de discusión sobre poliedros
Ayudas de estudio: Guía de estudio de poliedros
Práctica: Poliedros
Mundo Real: ¡Roly Poly Poliedro!