9.14: Volumen de Prismas Rectangulares
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La mamá de Ben se ha frustrado con la extensa colección de Lego de Ben tirada por todo el piso de su habitación. Ella le da la opción de tres cajas diferentes en las que guardarlas. Ben quiere elegir la caja que contendrá más Legos. Si bien las cajas son diferentes en dimensiones, Ben no puede averiguar cuál aguantará más. Las medidas de la caja son las siguientes:
Caja A: alto = 5 pulgadas, largo = 18 pulgadas, ancho = 10
Caja B: alto = 8 pulgadas, largo = 10 pulgadas, ancho = 12 pulgadas
Caja C: alto = 6 pulgadas, largo = 14 pulgadas, ancho = 10 pulgadas.
¿Qué caja tiene el mayor volumen?
En este concepto, aprenderás a averiguar el volumen de prismas rectanglares.
Encontrar el volumen de un prisma rectangular
El volumen es la medida de cuánto espacio tridimensional ocupa o retiene un objeto.
Imagina un acuario de peces. Su longitud, anchura y altura determinan la cantidad de agua que retendrá el tanque. Si la llenas de agua, la cantidad de agua es el volumen que va a contener el tanque. Mides el volumen en unidades cúbicas, porque estás multiplicando tres dimensiones: largo, ancho y alto.
Una forma de encontrar el volumen de un prisma es considerar cuántos cubos unitarios puede contener. Un cubo unitario es simplemente un cubo que mide una pulgada, un centímetro, un pie o cualquier unidad de medida que esté usando, en todos los lados. Aquí hay algunos cubos unitarios.
Para usar cubos unitarios para calcular el volumen, simplemente cuente el número de cubos unitarios que caben en el prisma. Comience contando el número de cubos que cubren el fondo del prisma, y luego cuente cada capa. Veamos cómo funciona esto.
¿Cuántos cubos ves aquí? Si cuentas todos los cubos, verás que hay 24 cubos en este prisma.
El volumen de este prisma es\(24 \text{ units}^{3}\) o unidades cúbicas.
Encuentra el volumen de la siguiente figura usando cubos unitarios.
¿Cuántos cubos hay en esta cifra? Si cuentas los cubos, obtendrás un total de 48 cubos. El volumen de este prisma es de 48 unidades cúbicas o\(\text{ units}^{3}\).
Si miras con atención, verás que el volumen del prisma rectangular es una función de multiplicar la longitud\ por la anchura\ por la altura. Acabas de descubrir la fórmula para encontrar el volumen de un prisma rectangular. Ahora vamos a refinar esa fórmula un poco más. Aquí está la fórmula.
\(V=Bh\)
El volumen es igual a la B, área base del prisma, multiplicada por la altura del prisma.
Veamos un ejemplo.
Encuentra el volumen del prisma a continuación.
Simplemente ponga los valores para el largo, ancho y alto para las variables apropiadas en la fórmula, luego resuelva para V, volumen.
Primero encuentra el área de la base. Este es el lado rectangular en la parte inferior. Recuerda, para encontrar el área de un rectángulo, multiplica la longitud por el ancho.
\(\begin{aligned} B&=lw \\ B&=16\times 9 \\ B&=144\text{ cm}^{2}\end{aligned}\)
El área base es de 144 centímetros cuadrados. Ahora multiplica esto por la altura.
\(\begin{aligned}V&=Bh \\ V&=144\times 4 \\ V&=576 \text{ cm}^{3}\end{aligned} \)
Puede utilizar la siguiente fórmula para el volumen de un prisma rectangular. Esto combina los dos pasos que completó anteriormente:
\(\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(16)(9)(4) \\V&=576\text{ cm}^{3}\end{aligned}\)
El volumen de este prisma rectangular es de 576 centímetros cúbicos.
Se puede trabajar con el mismo prisma rectangular, pero llenarlo con cubos unitarios.
Aquí puedes contar los cubos unitarios para encontrar el volumen del prisma rectangular. Sin embargo, se ahorra tiempo al usar la fórmula para el volumen.
Veamos otro ejemplo.
Encuentre el volumen de un contenedor con una longitud de 15 pies, un ancho de 12 pies y una altura de 11 pies.
Primero, conecte los valores de las dimensiones en la fórmula para el volumen de un prisma rectangular y multiplique los valores para longitud y ancho:
\(\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(15)(12)(11) \\ V&=(180)(11)\end{aligned}\)
A continuación, multiplique los resultados por el valor para la altura:
\(\begin{aligned} V&=(180)(11) \\V&=1,980\end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta incluyendo la unidad de medida apropiada:
\(V=1,980\text{ ft}^{3}\)
La respuesta es que el contenedor tiene un volumen de 1,980 pies cúbicos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Antes, te dieron un problema sobre Ben, quien está buscando la caja que más Legos tendrá.
Ben necesita averiguar cuál de las siguientes casillas tiene el mayor volumen.
Caja A: alto = 5 pulgadas, largo = 18 pulgadas, ancho = 10 pulgadas
Caja B: alto = 8 pulgadas, largo = 10 pulgadas, ancho = 12 pulgadas
Caja C: alto = 6 pulgadas, largo = 14 pulgadas, ancho = 10 pulgadas
Solución
Primero, conecte los valores de las dimensiones en la fórmula para el volumen de un prisma rectangular y multiplique los valores para longitud y ancho:
Caja A:\(V=(5)(18)(10)\)
\(V=(90)(10) \)
Caja B:\(V=(8)(10)(12)\)
\(V=(80)(12) \)
Caja C:\(V=(6)(14)(10)\)
\(V=(84)(10)\)
A continuación, multiplique los resultados por el valor para la altura:
Caja A:\(V=(90)(10)\)
\(V=900\)
Caja B:\(V=(80)(12)\)
\(V=960\)
Caja C:\(V=(84)(10)\)
\(V=840\)
Luego, registre la respuesta incluyendo la unidad de medida apropiada:
Caja A:\(V=900\text{ in}^{2}\)
Caja B:\(V=960\text{ in}^{2} \)
Caja C:\(V=840\text{ in}^{2}\)
La respuesta es que la Caja B tiene el mayor volumen y por lo tanto puede contener la mayor cantidad de Legos.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Carla está limpiando su pecera, por lo que llenó la bañera hasta el borde con agua para que sus peces nadaran mientras vacía su tanque. Si la bañera mide 5.5 pies de largo, 3.3 pies de ancho y 2.2 pies de profundidad, ¿cuánta agua puede contener?
Solución
Primero, conecte los valores de las dimensiones en la fórmula para el volumen de un prisma rectangular y multiplique los valores para longitud y ancho:
\(\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(5.5)(3.3)(2.2) \\ V&=(18.15)(2.2)\end{aligned}\)
A continuación, multiplique los resultados por el valor para la altura:
\(\begin{aligned} V&=(18.15)(2.2) \\ V&=39.93\end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta incluyendo la unidad de medida apropiada:
\(V=39.93\text{ ft}^{3}\)
La respuesta es que la bañera de Carla puede contener 39.93 pies cúbicos de agua.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra el volumen de un contenedor con una longitud de 10 pulgadas, un ancho de 8 pulgadas y una altura de 6 pulgadas.
Solución
Primero, conecte los valores de las dimensiones en la fórmula para el volumen de un prisma rectangular y multiplique los valores para longitud y ancho:
\(\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(10)(8)(6) \\ V&=(80)(6)\end{aligned}\)
A continuación, multiplique los resultados por el valor para la altura:
\(\begin{aligned} V&=(80)(6) \\ V&=480\end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta incluyendo la unidad de medida apropiada:
\(V=480\text{ in}^{3}\)
La respuesta es que el contenedor tiene un volumen de 480 pulgadas cúbicas.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra el volumen de un contenedor con una longitud de 8 metros, ancho de 7 metros y altura de 3 metros.
Solución
Primero, conecte los valores de las dimensiones en la fórmula para el volumen de un prisma rectangular y multiplique los valores para longitud y ancho:
\(\begin{aligned} V&=lwh \\ V&=(8)(7)(3) \\ V&=(56)(3)\end{aligned}\)
A continuación, multiplique los resultados por el valor para la altura:
\(\begin{aligned} V&=(56)(3) \\ V&=168\end{aligned}\)
Luego, registre la respuesta incluyendo la unidad de medida apropiada:
\(V=168\text{ m}^{3}\)
La respuesta es que el contenedor tiene un volumen de 168 metros cúbicos.
Revisar
Encuentra el volumen de cada prisma rectangular. Recuerda etiquetar tu respuesta en unidades cúbicas.
- Largo = 5 in, ancho = 3 in, alto = 4 in
- Largo = 7 m, ancho = 6 m, alto = 5 m
- Largo = 8 cm, ancho = 4 cm, alto = 9 cm
- Largo = 8 cm, ancho = 4 cm, alto = 12 cm
- Largo = 10 pies, ancho = 5 pies, alto = 6 pies
- Largo = 9 m, ancho = 8 m, alto = 11 m
- Largo = 5.5 in, ancho = 3 in, alto = 5 in
- Largo = 6.6 cm, ancho = 5 cm, alto = 7 cm
- Largo = 7 pies, ancho = 4 pies, alto = 6 pies
- Largo = 15 m, ancho = 8 m, alto = 10 m
- Largo = 10.5 m, ancho = 11 m, alto = 4 m
- Largo = 12 pies, ancho = 12 pies, alto = 8 pies
- Largo = 16 in, ancho = 8 in, alto = 8 in
- Largo = 12 m, ancho = 12 m, alto = 12 m
- Largo = 24 in, ancho = 6 in, alto = 6 in
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 10.10.
Recursos
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Unidades Cúbicas | Las unidades cúbicas son unidades de medida tridimensionales, como en el volumen de una figura sólida. |
| Prisma | Un prisma es un objeto tridimensional con dos bases paralelas congruentes que son polígonos. |
| Volumen | El volumen es la cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto tridimensional. |
Video: Volumen de Geometría Sólida
Práctica: Volumen de prismas rectangulares