2.2: Factoraje avanzado

La diferencia de cuadrados perfectos puede generalizarse como técnica de factorización. Por extensión, cualquier diferencia entre términos que se elevan a una potencia par como se\(a^{6}-b^{6}\) puede factorizar usando la técnica de diferencia de cuadrados perfectos. Esto se debe a que incluso los poderes siempre se pueden escribir como cuadrados perfectos:

\[a^{6}-b^{6}=\left(a^{3}\right)^{2}-\left(b^{3}\right)^{2}. \nonumber\]

¿Qué pasa con la suma o diferencia de términos con poderes impares coincidentes? ¿Cómo se pueden factorizar esos?

Más Técnicas de Factoring

Factorizar un trinomio de la forma\(a x^{2}+b x+c\) es mucho más difícil cuando\(a \neq 1\). Existen
cuatro técnicas que se pueden utilizar para factorizar tales expresiones.

Adivina y comprueba

El método de conjetura y verificación educada puede llevar mucho tiempo pero si el primer y último coeficiente solo tienen algunos factores, hay un número finito de posibilidades. Toma la expresión:

\(6 x^{2}-13 x-28\)

Los 6 se pueden factorizar en los siguientes cuatro pares:

1, 6

2, 3

-1, -6

-2, -3

El -28 se puede factorizar en los siguientes doce pares:

1, -28 o -28, 1

-1, 28 o 28, -1

2, -14 o -14, 2

-2, 14 o 14, -2

4, -7 o -7, 4

-4, -7 o -7, -4

La expresión correctamente factorizada necesitará un par de la lista superior y un par de la lista inferior. Se trata de 48 combinaciones posibles para probar.

Si intentas el primer par de cada lista y multiplicas verás que el primer y el último coeficientes son correctos pero el\(b\) coeficiente no.

\((1 x+1)(6 x-28)=6 x^{2}-28 x+6 x-28\)

Un acercamiento sistemático a cada una de las 48 combinaciones posibles es la mejor manera de evitar perder el par correcto. En este caso es:

\((2 x-7)(3 x+4)=6 x^{2}+8 x-21 x-28=6 x^{2}-13 x-28\)

Este método puede ser extremadamente largo y depender en gran medida de buenas adivinanzas, razón por la cual otros métodos son preferibles.

Factorización por Agrupación

La siguiente técnica de factorización es factorizar por agrupación. Supongamos que comienzas con una expresión ya en forma factorizada:

\(12 x^{2}+4 x z+3 x y+y z\)

Observe que los dos primeros términos son divisibles por ambos 4 y\(x\) y los dos últimos términos son divisibles por\(y\). Primero, factorizar estos factores comunes y luego notar que emerge una segunda capa de factores comunes. El binomio\((3 x+z)\) es ahora común a ambos términos y se puede factorizar igual que antes.

\(\begin{aligned} 12 x^{2}+4 x z+3 x y+y z &=4 x(3 x+z)+y(3 x+z) \\ &=(3 x+z)(4 x+y) \end{aligned}\)

Para verificar tu trabajo, multiplica los binomios y compáralo con la expresión original.

\((4 x+y)(3 x+z)=12 x^{2}+4 x z+3 x y+y z\)

Por lo general, cuando multiplicas la forma factorizada de un polinomio, se pueden combinar dos términos porque son como términos. En este caso, no hay términos similares que se puedan combinar.

Fórmula cuadrática

Un método alternativo para factorizar polinomios utiliza la fórmula cuadrática como pista aunque se trata de una expresión y no de una ecuación establecida igual a cero.

\(6 x^{2}-13 x-28\)

\(a=6, b=-13, c=-28\)

\(\begin{aligned} x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{13 \pm \sqrt{169-4 \cdot 6 \cdot-28}}{2 \cdot 6} &=\frac{13 \pm 29}{12} \\=\frac{13+29}{12} &=\frac{42}{12}=\frac{7}{2} \\ &=\frac{13-29}{12}=-\frac{16}{12}=-\frac{4}{3} \end{aligned}\)

Esto significa que cuando se establece igual a cero, esta expresión es equivalente a

\(\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)=0\)

Multiplicar por 2 y multiplicar por 3 solo cambia el lado izquierdo de la ecuación porque el lado derecho permanecerá\(0 .\) Esto tiene el efecto de desplazar el coeficiente del denominador de la fracción para estar delante de la\(x\).

\(6 x^{2}-13 x-28=\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)=(2 x-7)(3 x+4)\)

Algoritmo

Otra técnica útil y eficiente es el algoritmo de factorización procedimental. La prueba del algoritmo está más allá del alcance de este libro, pero es una técnica confiable para manejar preguntas complicadas de factorización de la forma:\(6 x^{2}-13 x-28\)

Vamos a factorizar el\(6 x^{2}-13 x-28\) uso del algoritmo de factorización para presentarlo a usted.

Primero, multiplica el primer coeficiente (6) con el último coeficiente (28) y establece el primer coeficiente a 1:

\(x^{2}-13 x-168\)

Segundo, factoriza como lo harías normalmente con\(a=1\):

\((x-21)(x+8)\)

Tercero, dividir la segunda mitad de cada binomio por el coeficiente que se multiplicó en el paso 1:

\(\left(x-\frac{21}{6}\right)\left(x+\frac{8}{6}\right)\)

Cuarto, simplificar cada fracción completamente:

\(\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)\)

Por último, mover el denominador de cada fracción para convertirse en el coeficiente de\(x\):

\((2 x-7)(3 x+4)\)

Suma o diferencia de potencias impares coincidentes

El último método de factorización avanzada no implica expresiones de la forma.\(a x^{2}+b x+c\) En cambio, involucra los patrones que surgen de factorizar la suma o diferencia de términos con potencias impares coincidentes. Los patrones son:

\(\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \end{aligned}\)

Este método se muestra en los siguientes ejemplos y el patrón se explora completamente en la Revisión.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo se puede factorizar la suma y diferencia de términos con potencias impares coincidentes. La suma o diferencia de términos con potencias impares coincidentes se puede factorizar en un patrón preciso porque cuando se multiplica, todos los términos intermedios se cancelan entre sí.

\(a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{4}-a^{3} b+a^{2} b^{2}-a b^{3}+b^{4}\right)\)

Cuando\(a\) se distribuye:\(a^{5}-a^{4} b+a^{3} b^{2}-a^{2} b^{3}+a b^{4}\)

Cuando\(b\) se distribuye:\(+a^{4} b-a^{3} b^{2}+a^{2} b^{3}-a b^{4}+b^{5}\)

Observe todos los términos internos cancelar:\(a^{5}+b^{5}\)

Ejemplo 2

Mostrar que\(a^{3}-b^{3}\) los factores en el resultado dado en la sección Suma o Diferencia de Poderes Impares Coinciden.

Factoraje,

\(\begin{aligned} a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \\ &=a^{3}+a^{2} b+a b^{2}-a^{2} b-a b^{2}-b^{3} \\ &=a^{3}-b^{3} \end{aligned}\)

Ejemplo 3

Mostrar que\(a^{3}+b^{3}\) los factores en el resultado dado en la sección Suma o Diferencia de Poderes Impares Coinciden.

Factoraje,

\(\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ &=a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+b a^{2}-a b^{2}+b^{3} \\ &=a^{3}+b^{3} \end{aligned}\)

Ejemplo 4

Factorizar la siguiente expresión sin usar la fórmula cuadrática o ensayo y error:

\(8 x^{2}+30 x+27\)

Usando el algoritmo de factorización:

\(\begin{aligned} 8 x^{2}+30 x+27 & \rightarrow x^{2}+30 x+216 \\ & \rightarrow(x+12)(x+18) \\ & \rightarrow\left(x+\frac{12}{8}\right)\left(x+\frac{18}{8}\right) \\ & \rightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{9}{4}\right) \\ & \rightarrow(2 x+3)(4 x+9) \end{aligned}\)

Revisar

Factorizar cada expresión completamente.

1. \(2 x^{2}-5 x-12\)
2. \(12 x^{2}+5 x-3\)
3. \(10 x^{2}+13 x-3\)
4. \(18 x^{2}+9 x-2\)
5. \(6 x^{2}+7 x+2\)
6. \(8 x^{2}+34 x+35\)
7. \(5 x^{2}+23 x+12\)
8. \(12 x^{2}-11 x+2\)

Expanda las siguientes expresiones. ¿Qué notas?

9. \((a+b)\left(a^{8}-a^{7} b+a^{6} b^{2}-a^{5} b^{3}+a^{4} b^{4}-a^{3} b^{5}+a^{2} b^{6}-a b^{7}+b^{8}\right)\)
10. \((a-b)\left(a^{6}+a^{5} b+a^{4} b^{2}+a^{3} b^{3}+a^{2} b^{4}+a b^{5}+b^{6}\right)\)
11. Describir en palabras el patrón de los signos para factorizar la diferencia de dos términos con potencias impares coincidentes.
12. Describir en palabras el patrón de los signos para factorizar la suma de dos términos con potencias impares coincidentes.

Factorizar cada expresión completamente.

13. \(27 x^{3}-64\)
14. \(x^{5}-y^{5}\)
15. \(32 a^{5}-b^{5}\)
16. \(32 x^{5}+y^{5}\)
17. \(8 x^{3}+27\)
18. \(2 x^{2}+2 x y+x+y\)
19. \(8 x^{3}+12 x^{2}+2 x+3\)
20. \(3 x^{2}+3 x y-4 x-4 y\)