2.1:2.1 Revisión de factorización

Factorizar significa escribir una expresión como un producto en lugar de una suma. La factorización es particularmente útil a la hora de resolver ecuaciones establecidas iguales a cero porque entonces lógicamente al menos un factor debe ser igual a cero. En Precálculo, deberías ser capaz de factorizar incluso cuando no hay un factor común más grande obvio o la diferencia no es entre dos cuadrados perfectos.

¿Cómo se utiliza la diferencia de la técnica de factorización de cuadrados perfectos en polinomios que no contienen cuadrados perfectos y por qué sería útil esto?

Funciones de factorización

Un polinomio es la suma de un número finito de términos. Cada término consiste en una constante que multiplica una variable. La variable solo puede elevarse a un exponente no negativo. Las letras\(a, b, c \ldots\) en la siguiente expresión polinómica general representan números regulares como\(0,5,-\frac{1}{4}, \sqrt{2}\) y\(x\) representa la variable.

\(a x^{n}+b x^{n-1}+\ldots+f x^{2}+g x+h\)

Ya has aprendido muchas propiedades de los polinomios. Por ejemplo, conoce la propiedad conmutativa que establece que los términos de un polinomio pueden reorganizarse para crear un polinomio equivalente. Cuando se suman dos polinomios, restan o multiplican el resultado es siempre un polinomio. Esto significa que los polinomios se cierran bajo adición, y es una de las propiedades que hace posible la factorización de polinomios. Los polinomios no se cierran bajo división porque dividir dos polinomios podría resultar en una variable en el denominador, que es una expresión racional (no un polinomio).

Existen tres métodos de factorización que son esenciales para dominar.

Método de factor común más grande

El primer método que siempre debes probar es factorizar el mayor factor común (GCF) de la expresión.

Para factorizar la siguiente expresión, primero aplique el método GCF:

\(-\frac{1}{2} x^{4}+\frac{7}{2} x^{2}-6\)

Para encontrar el GCF, es común tratar de factorizar el\(a\) valor. En este caso, intente factorizar\(-\frac{1}{2}\)

\(-\frac{1}{2} x^{4}+\frac{7}{2} x^{2}-6=-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\)

Para verificar que se trata de una expresión equivalente, es necesario distribuir la\(-\frac{1}{2}\). Al distribuir, el primer coeficiente coincide porque simplemente se multiplica por 1, el segundo término se convierte\(\frac{7}{2}\) y el tercer término se vuelve -\(6 .\) Tenga en cuenta que esta expresión aún no está completamente factorizada sino que se simplifica tanto como puede ser con solo el método GCF.

Factorización en el método de binomios

El segundo método que debes probar es ver si puedes factorizar la expresión en el producto de dos binomios.

Para continuar factorizando la expresión de la sección Factor Común Mayor, factorizar la siguiente expresión en el producto de dos binomios y una constante:

\(-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\)

Muchos estudiantes familiarizados con el factoraje básico pueden estar inicialmente atrapados en un problema como este. Sin embargo, debes reconocer que debajo del\(4^{t h}\) grado y\(-\frac{1}{2}\) el problema se reduce a poder factorizar\(u^{2}-7 u+12\) lo que es justo\((u-3)(u-4)\).

Comience por reescribir el problema:\(-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\)

Después elige una sustitución temporal: Vamos\(u=x^{2}\).

Después sustituya y factorizar. Recuerda sustituir de nuevo al final.

\(\begin{aligned}-\frac{1}{2}\left(u^{2}-7 u+12\right) &=-\frac{1}{2}(u-3)(u-4) \\ &=-\frac{1}{2}\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-4\right) \end{aligned}\)

Este tipo de sustitución temporal que permite ver la estructura subyacente de una expresión es muy común en el cálculo. La expresión aún no está completamente factorizada y como ya no hay trinomios, se debe aplicar el último método.

Método de Diferencia de Cuadrados

El tercer método de factorización básica es la diferencia de cuadrados. Es reconocible como un monomio cuadrado restado de otro monomio cuadrado.

Para terminar de factorizar la expresión resultante de la sección Factorizar en binomios, factorizar la expresión en cuatro factores lineales y una constante:

\(-\frac{1}{2}\left(x^{2}-3\right)\left(x^{2}-4\right)\)

Muchos estudiantes pueden reconocer que\(x^{2}-4\) inmediatamente factores por la diferencia de cuadrados método para ser\((x-2)(x+2)\). Este problema pide más porque a veces el método de diferencia de cuadrados se puede aplicar a expresiones como\(x^{2}-3\) donde cada término no es un cuadrado perfecto. El número 3 en realidad es un cuadrado.

\(3=(\sqrt{3})^{2}\)

Entonces la expresión totalmente factorizada sería:

\(-\frac{1}{2}(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-2)(x+2)\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le preguntó cómo se utiliza la diferencia de la técnica de factorización de cuadrados perfectos en polinomios que no contienen cuadrados perfectos y por qué sería útil. Una razón por la que podría ser útil factorizar completamente una expresión como\(-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\) en factor lineal es si querías encontrar las raíces de la función\(f(x)=-\frac{1}{2}\left(x^{4}-7 x^{2}+12\right)\). Las raíces son\(x=\pm \sqrt{3},\pm 2\)

Debes reconocer que todavía se\(x^{2}-3\) puede considerar como la diferencia de cuadrados perfectos porque el número 3 se puede expresar como\((\sqrt{3})^{2}\). Reescribir el número 3 para que se ajuste a un patrón de factorización que ya conoces es un ejemplo del uso de las técnicas básicas de factorización a nivel Precálculo.

Ejemplo 2

Factorizar la siguiente expresión en factores estrictamente lineales si es posible. Si no es posible, explique por qué.

\(\begin{aligned} \frac{x^{5}}{3}-\frac{11 x^{3}}{3}+6 x &=\frac{1}{3} x\left(x^{4}-11 x^{2}+18\right) \\ &=\frac{1}{3} x\left(x^{2}-2\right)\left(x^{2}-9\right) \\ &=\frac{1}{3} x(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+3)(x-3) \end{aligned}\)

Ejemplo 3

Factorizar la siguiente expresión en factores estrictamente lineales si es posible. Si no es posible, explique por qué.

\(-\frac{2}{7} x^{4}+\frac{74}{63} x^{2}-\frac{8}{63}\)

Para\(-\frac{2}{7} x^{4}+\frac{74}{63} x^{2}-\frac{8}{63},\) dejar\(u=x^{2}\).

\(=-\frac{2}{7} u^{2}+\frac{74}{63} u-\frac{8}{63}\)
\(=-\frac{2}{7}\left(u^{2}-\frac{37}{9} u+\frac{4}{9}\right)\)

Factorizar a través de fracciones como esta puede ser extremadamente complicado. Se debe reconocer eso\(-\frac{1}{9}\) y -4 sumar\(-\frac{37}{9}\) y multiplicar a\(\frac{4}{9}\).

\(=-\frac{2}{7}\left(u-\frac{1}{9}\right)(u-4)\)
\(=-\frac{2}{7}\left(x^{2}-\frac{1}{9}\right)\left(x^{2}-4\right)\)
\(=-\frac{2}{7}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)(x+2)\)

Ejemplo 4

Factorizar la siguiente expresión en factores estrictamente lineales si es posible. Si no es posible, explique por qué.

\(x^{4}+x^{2}-72\)

\(x^{4}+x^{2}-72=\left(x^{2}-8\right)\left(x^{2}+9\right)\)

\(x^{4}+x^{2}-72=\left(x^{2}-8\right)\left(x^{2}+9\right)\)

Observe que se\(\left(x^{2}-8\right)\) puede escribir como la diferencia de cuadrados perfectos porque\(8=(\sqrt{8})^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}\). Por otro lado,\(x^{2}+9\) no se puede escribir como la diferencia entre cuadrados porque el\(x^{2}\) y el 9 se están sumando no restando. Este polinomio no puede ser factorizado en factores estrictamente lineales.

\(x^{4}+x^{2}-72=(x-2 \sqrt{2})(x+2 \sqrt{2})\left(x^{2}+9\right)\)

Revisar

Factorizar cada polinomio en factores estrictamente lineales si es posible. Si no es posible, explique por qué no.

1. \(x^{2}+5 x+6\)

2. \(x^{4}+5 x^{2}+6\)

3. \(x^{4}-16\)

4. \(2 x^{2}-20\)

5. \(3 x^{2}+9 x+6\)

6. \(\frac{x^{4}}{2}-5 x^{2}+\frac{9}{2}\)

7. \(\frac{2 x^{4}}{3}-\frac{34 x^{2}}{3}+\frac{32}{3}\)

8. \(x^{2}-\frac{1}{4}\)

9. \(x^{4}-\frac{37 x^{2}}{4}+\frac{9}{4}\)

10. \(\frac{3}{4} x^{4}-\frac{87}{4} x^{2}+75\)

11. \(\frac{1}{2} x^{4}-\frac{29}{2} x^{2}+50\)

12. \(\frac{x^{4}}{2}-\frac{5 x^{2}}{9}+\frac{1}{18}\)

13. \(x^{4}-\frac{13}{36} x^{2}+\frac{1}{36}\)

14. ¿Cómo se relaciona el grado de un polinomio con el número de factores lineales?

15. Si un polinomio no tiene factores estrictamente lineales, ¿qué implica esto sobre el tipo de raíces que tiene el polinomio?