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4.2: Movimiento Circular y Análisis Dimensional

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

La conversión entre unidades es esencial para las matemáticas y las ciencias en general. Los radianes son muy potentes porque proporcionan un vínculo entre la velocidad lineal y la angular. Un radián es un ángulo que siempre corresponde a una longitud de arco de un radio. Esto te permitirá convertir la velocidad a la que pedaleas una bicicleta a la velocidad real que puedas recorrer.

1 revolución=2πr

El engranaje cerca de los pedales en una bicicleta tiene un radio de 5 pulgadas y gira una vez cada segundo. Está conectado por una cadena a un segundo engranaje que tiene un radio de 3 pulgadas. Si la segunda rueda está conectada a una llanta con un radio de 17 pulgadas, ¿qué tan rápido se mueve la bicicleta en millas por hora?

Movimiento Circular y Análisis Dimensional

El análisis dimensional solo significa convertir de una unidad a otra. En ocasiones se debe hacer en varios pasos en cuyo caso lo mejor es escribir la cantidad original a la izquierda y luego multiplicarla por todas las diferentes conversiones requeridas. Para convertir 3 millas a pulgadas escribe:

3 mile 15280 feet1 mile 12 inches 1 foot =3528012 inches1=190080pulgadas

Observe cómo se pueden usar millas y pies/pie para convertir millas a la unidad deseada de pulgadas. Las unidades, al igual que los números, pueden resolverse a una cuando existen tanto en el numerador como en el denominador(33=1 yfeetfeet=1). también observe que cada factor de conversión es la misma distancia en el numerador y denominador, recién escrito con diferentes unidades.

El movimiento circular se refiere al hecho de que en una rueda giratoria los puntos cercanos al centro de la rueda realmente viajan muy lentamente y los puntos cerca del borde de la rueda en realidad viajan mucho más rápido. La velocidad angular es la relación de revoluciones que ocurren por unidad de tiempo y la velocidad lineal es la relación de distancia por unidad de tiempo. Si bien los dos puntos tienen la misma velocidad angular, su velocidad lineal es muy diferente.

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le dio la siguiente pregunta: El engranaje cerca de los pedales en la bicicleta tiene un radio de 5 pulgadas y gira una vez cada segundo. Está conectado por una cadena a un segundo engranaje que tiene un radio de 3 pulgadas. Si la segunda rueda está conectada a una llanta con un radio de 17 pulgadas, ¿qué tan rápido se mueve la bicicleta en millas por hora?

Una bicicleta tiene pedales que hacen girar una marcha a una velocidad circular. El engranaje traduce esta velocidad a una velocidad lineal en la cadena. Luego, la cadena mueve una segunda marcha, que es una conversión a velocidad angular para el neumático trasero. Este neumático luego convierte la velocidad angular en velocidad lineal, que es la rapidez con la que se está moviendo. En lugar de hacer todos estos cálculos en un solo paso, es más fácil hacer cada conversión en trozos pequeños.

Primero convierte el engranaje original en la velocidad lineal de la cadena.

1 revolution1 second 2π5 inches 1 revolution =10πinsec

Luego convierte la velocidad de la cadena en velocidad angular de la marcha trasera que es la misma que la velocidad angular de la llanta trasera.

10π inches1 second 1 revolution2π3 inches=106revsec

Por último, convierta la velocidad angular de la llanta trasera a la velocidad lineal de la llanta en millas por hora.

10rev6sec2π17in1rev1ft12in1mile5280ft60sec1 min60 min1hour
=102π1760606125280mileshour
10.1mileshour

Ejemplo 2

Supongamos que Summit High School tiene una pista circular con dos carriles para correr. El carril interior está a 30 metros del centro del círculo y el carril hacia el exterior está a 32 metros del centro del círculo. Si dos personas corren 4 vueltas juntas, ¿cuánto más va la persona de afuera?

Calcula la distancia que corrió cada persona por separado usando 1 vuelta para ser 1 circunferencia y encontrar la diferencia.

4 laps 12π30 meters 1 lap 754metros
4 laps 12π32 meters 1 lap 804 metros

El que corría por el exterior de la pista corrió unos 50 metros más.

Ejemplo 3

Andrés corre en una bicicleta con llantas que tienen un radio de 17 pulgadas. Cuando viaja a una velocidad de 30 pies por segundo, ¿qué tan rápido están girando las ruedas en revoluciones por minuto?

Busque formas de convertir pies en revoluciones y segundos a minutos.

30 feet1 second 60 seconds 1 minute 12 inches 1 foot 1 revolution 2π17 inches =306012 revolutions2π17 minute 202.2revmin

Ejemplo 4

Cuando un automóvil viaja a 60 millas por hora, ¿qué tan rápido están girando las llantas si tienen 30 pulgadas de diámetro?

60 miles 1 hour 5280 feet 1 mile 12 inches 1 foot 1 revolution 2π15 inches 1 hour 60 minute 
=60528012 revolutions 2π1560 minute672.3 rev min

Ejemplo 5

Mike monta una bicicleta con llantas que tienen un radio de 15 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones debe hacer Mike para recorrer una milla?

1rev2π15in12in1ft5280ft1mi672.3revmile

Revisar

Para110, usar los valores dados en cada fila para encontrar el valor desconocido(x) en las unidades especificadas en la fila.

Número de problema Radio Velocidad Angular Velocidad Lineal
1. 5 pulgadas 60 rpm xinmin
2. xpies 20 rpm 2insec
3. 15 cm xrpm 12cmsec
4. xpies 40 rpm 8ftsec
5. 12 pulgadas 32 rpm xinsec
6. 8 cm xrpm 12cmmin
7. 18 pies 4 rpm xmihr
8. xpies 800 rpm 60mihr
9. 15 en xrpm 60mihr
10 2 en xrpm 13insec

11. Un motor hace girar una rueda con radio de 5 pulgadas a 800 rpm. ¿Qué tan rápido gira esta rueda en millas por hora?

12. Una bicicleta tiene llantas con un radio de 10 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones debe hacer la llanta para recorrer una milla?

13. Un motor hace girar una rueda con radio de 6 pulgadas a 600 rpm. ¿Qué tan rápido esta rueda gira en pulgadas por segundo?

14. Bob tiene un auto con llantas que tienen un radio de 15 pulgadas. Cuando viaja a una velocidad de 30 millas por hora, ¿qué tan rápido están girando las ruedas en revoluciones por minuto?

15. Una vía circular tiene dos carriles. El carril interior está a 25 pies del centro del círculo y el carril hacia el exterior está a 30 pies del centro del círculo. Si trotas 6 vueltas, ¿cuánto más vas a trotar en el carril exterior en lugar del carril interior?


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