4.2: Distribución binomial

Una función de densidad de probabilidad más valiosa con muchas aplicaciones es la distribución binomial. Esta distribución calculará las probabilidades para cualquier proceso binomial. Un proceso binomial, a menudo llamado proceso de Bernoulli después de la primera persona en desarrollar plenamente sus propiedades, es cualquier caso donde solo hay dos posibles resultados en cualquier ensayo, llamados éxitos y fracasos. Obtiene su nombre del sistema de números binarios donde todos los números se reducen a 1 o 0, que es la base para la tecnología informática y las grabaciones de música en CD.

Fórmula binomial

\[b(x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\nonumber\]

donde\(b(x)\) es la probabilidad de\(X\) éxitos en\(n\) ensayos cuando la probabilidad de éxito en CUALQUIER TRIAL es\(p\). Y claro\(q=(1-p)\) y es la probabilidad de un fracaso en cualquier juicio.

Podemos ver ahora por qué la fórmula combinatoria también se llama el coeficiente binomial porque reaparece aquí de nuevo en la función de probabilidad binomial. Para que la fórmula binomial funcione, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo debe ser la misma de un ensayo a otro, o en otras palabras, los resultados de cada ensayo deben ser independientes. Voltear una moneda es un proceso binomial porque la probabilidad de obtener una cabeza en una vuelta no depende de lo que haya sucedido en los volteos ANTERIORES. (En este momento cabe señalar que usar\(p\) para el parámetro de la distribución binomial es una violación de la regla de que los parámetros de población se designan con letras griegas. En muchos libros de texto\(\theta\) (pronunciado theta) se usa en lugar de p y así es como debería ser.

Al igual que un conjunto de datos, una función de densidad de probabilidad tiene una media y una desviación estándar que describe el conjunto de datos. Para la distribución binomial estas vienen dadas por las fórmulas:

\[\mu=np\nonumber\]

\[\sigma=\sqrt{n p q}\nonumber\]

Observe que p es el único parámetro en estas ecuaciones. Se considera que la distribución binomial proviene de la familia de distribuciones de probabilidad de un parámetro. En definitiva, sabemos todo lo que hay que saber sobre el binomio una vez que conocemos p, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo.

En la teoría de la probabilidad, bajo ciertas circunstancias, una distribución de probabilidad puede ser utilizada para aproximarse a otra. Decimos que uno es la distribución limitante del otro. Si se va a extraer un número pequeño de una población grande, aunque no haya reemplazo, todavía podemos usar el binomio aunque esto no sea un proceso binomial. Si no hay reemplazo viola la regla de independencia del binomio. Sin embargo, podemos usar el binomio para aproximar una probabilidad que es realmente una distribución hipergeométrica si estamos dibujando menos del 10 por ciento de la población, es decir, n es menos del 10 por ciento de N en la fórmula para la función hipergeométrica. El fundamento de este argumento es que al dibujar un pequeño porcentaje de la población no alteramos la probabilidad de éxito de dibujar a dibujar de ninguna manera significativa. Imagínese dibujar de no una baraja de 52 cartas sino de 6 barajas de cartas. La probabilidad de decir dibujar un as no cambia la probabilidad condicional de lo que sucede en un segundo empate de la misma manera que lo haría si solo hubiera 4 ases en lugar de los 24 ases ahora de los que sacar. Esta capacidad de usar una distribución de probabilidad para estimar otras nos resultará muy valiosa más adelante.

Hay tres características de un experimento binomial.

1. Hay un número fijo de juicios. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra\(n\) denota el número de juicios.
2. La variable aleatoria,\(x\), número de éxitos, es discreta.
3. Solo hay dos resultados posibles, llamados “éxito” y “fracaso”, para cada ensayo. La letra\(p\) denota la probabilidad de éxito en cualquier ensayo, y\(q\) denota la probabilidad de un fracaso en cualquier juicio. \(p + q = 1\).
4. Los n ensayos son independientes y se repiten usando condiciones idénticas. Piense en esto como un dibujo CON reemplazo. Debido a que los n ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es que para cada juicio individual, la probabilidad,\(p\), de un éxito y probabilidad,\(q\), de un fracaso siguen siendo las mismas. Por ejemplo, adivinar aleatoriamente una pregunta estadística verdadero-falsa tiene solo dos resultados. Si un éxito es adivinar correctamente, entonces un fracaso es adivinar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre adivina correctamente sobre cualquier estadística pregunta verdadero-falsa con una probabilidad\(p = 0.6\). Entonces,\(q = 0.4\). Esto significa que por cada pregunta estadística verdadero-falsa que responde Joe, su probabilidad de éxito (\(p = 0.6\)) y su probabilidad de fracaso (\(q = 0.4\)) siguen siendo las mismas.

Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria\(X\) = el número de éxitos obtenidos en los ensayos\(n\) independientes.

La media,\(\mu\), y varianza,\(\sigma^2\), para la distribución binomial de probabilidad son\(\mu = np\) y\(\sigma^2 = npq\). La desviación estándar,\(\sigma\), es entonces\ sigma =\(\sqrt{n p q}\).

Cualquier experimento que tenga características tres y cuatro y donde\(n = 1\) se llame un Juicio de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli quien, a finales del 1600, los estudió extensamente). Se realiza un experimento binomial cuando se cuenta el número de éxitos en uno o más Ensayos de Bernoulli.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que juegas un juego que solo puedes ganar o perder. La probabilidad de que ganes cualquier juego es del 55%, y la probabilidad de que pierdas es del 45%. Cada juego que juegas es independiente. Si juegas el juego 20 veces, escribe la función que describe la probabilidad de que ganes 15 de las 20 veces. Aquí, si\(X\) se define como el número de victorias, entonces\(X\) toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 20. La probabilidad de un éxito es\(p = 0.55\). La probabilidad de un fallo es\(q = 0.45\). El número de juicios es\(n = 20\). La pregunta de probabilidad puede ser planteada matemáticamente como\(P(x = 15)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín realice el truco con éxito es del 35%, y la probabilidad de que el delfín no realice el truco con éxito es del 65%. De 20 intentos, quieres encontrar la probabilidad de que el delfín tenga éxito 12 veces. Encuentra el\(P(X=12)\) usando el binomio Pdf

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Una moneda justa es volteada 15 veces. Cada volteo es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez cabezas? Let\(X\) = el número de cabezas en 15 volteretas de la moneda justa. \(X\)toma los valores 0, 1, 2, 3,..., 15. Dado que la moneda es justa,\(p = 0.5\) y\(q = 0.5\). El número de juicios es\(n = 15\). Declarar matemáticamente la pregunta de probabilidad.

Responder

\(P (x > 10)\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Aproximadamente el 70% de los estudiantes de estadística hacen su tarea a tiempo para que sea recopilada y calificada. Cada alumno hace la tarea de forma independiente. En una clase de estadística de 50 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 hagan su tarea a tiempo? Los alumnos son seleccionados aleatoriamente.

a. se trata de un problema binomial porque solo hay un éxito o un __________, hay un número fijo de ensayos, y la probabilidad de éxito es de 0.70 para cada ensayo.

Responder

a. fracaso

b. Si nos interesa el número de alumnos que hacen su tarea a tiempo, entonces ¿cómo definimos\(X\)?

Responder

b.\(X\) = el número de estudiantes de estadística que hacen su tarea a tiempo

c. ¿Qué\(x\) valores adquiere?

Responder

c. 0, 1, 2,..., 50

d. ¿Qué es un “fracaso”, en palabras?

Responder

d. El fracaso se define como un estudiante que no completa su tarea a tiempo.

La probabilidad de un éxito es\(p = 0.70\). El número de juicios es\(n = 50\).

e. Si\(p + q = 1\), entonces ¿qué es\(q\)?

Responder

e.\(q = 0.30\)

f. las palabras “al menos” se traducen como qué tipo de desigualdad para la pregunta de probabilidad\(P(x\) ____ 40).

Responder

f. mayor o igual a (\(\geq\))
La pregunta de probabilidad es\(P(x \geq 40)\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueban el examen de conducir estatal en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 individuos que han realizado el examen de conducir. Dar dos razones por las que esto es un problema binomial

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Durante la temporada regular de la NBA 2013, DeAndre Jordan de los Clippers de Los Ángeles tuvo la tasa de finalización de goles de campo más alta de la liga. DeAndre anotó con 61.3% de sus tiros. Supongamos que eliges una muestra aleatoria de 80 tomas realizadas por DeAndre durante la temporada 2013. Let\(X\) = el número de tiros que anotaron puntos.

1. ¿Para qué sirve la distribución de probabilidad\(X\)?
2. Usando las fórmulas, calcule la (i) media y (ii) la desviación estándar de\(X\).
3. Encuentra la probabilidad de que DeAndre anotó con 60 de estos tiros.
4. Encuentra la probabilidad de que DeAndre haya anotado con más de 50 de estos tiros.