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# 6.2: La distribución normal estándar

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## Puntajes Z

La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamada z-scores. Se mide una puntuación z en unidades de la desviación estándar.

Definición: Z-Score

Si$$X$$ es una variable aleatoria normalmente distribuida y$$X \sim N(\mu, \sigma)$$, entonces la puntuación z es:

$z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} \label{zscore}$

La puntuación z te indica cuántas desviaciones estándar$$x$$ está el valor por encima (a la derecha de) o por debajo (a la izquierda de) la media,$$\mu$$. Los valores de$$x$$ eso son mayores que la media tienen$$z$$ puntuaciones positivas, y los valores de$$x$$ que son menores que la media tienen$$z$$ puntuaciones negativas. Si$$x$$ es igual a la media, entonces$$x$$ tiene un$$z$$ -score de cero. Por ejemplo, si la media de una distribución normal es cinco y la desviación estándar es dos, el valor 11 es tres desviaciones estándar por encima (o a la derecha de) la media. El cálculo es el siguiente:

\begin{align*} x &= \mu + (z)(\sigma) \\[5pt] &= 5 + (3)(2) = 11 \end{align*}

La puntuación z es de tres.

Dado que la media para la distribución normal estándar es cero y la desviación estándar es uno, entonces la transformación en Ecuación\ ref {zscore} produce la distribución$$Z \sim N(0, 1)$$. El valor$$x$$ proviene de una distribución normal con media$$\mu$$ y desviación estándar$$\sigma$$.

Se mide una puntuación z en unidades de la desviación estándar.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Supongamos$$X \sim N(5, 6)$$. Esto dice que$$x$$ es una variable aleatoria normalmente distribuida con media$$\mu = 5$$ y desviación estándar$$\sigma = 6$$. Supongamos$$x = 17$$. Luego (vía Ecuación\ ref {zscore}):

$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma} = \dfrac{17-5}{6} = 2 \nonumber$

Esto significa que$$x = 17$$ se encuentran dos desviaciones estándar (2$$\sigma$$) por encima o a la derecha de la media$$\mu = 5$$. La desviación estándar es$$\sigma = 6$$.

Observe que:$$5 + (2)(6) = 17$$ (El patrón es$$\mu + z \sigma = x$$)

Ahora supongamos$$x = 1$$. Entonces:

$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma} = \dfrac{1-5}{6} = -0.67 \nonumber$

Esto significa que$$x = 1$$ se encuentran las desviaciones$$0.67$$ estándar ($$–0.67\sigma$$) por debajo o a la izquierda de la media$$\mu = 5$$. Observe que:$$5 + (–0.67)(6)$$ es aproximadamente igual a uno (Esto tiene el patrón$$\mu + (–0.67)\sigma = 1$$)

Resumiendo, cuando$$z$$ es positivo,$$x$$ está arriba o a la derecha de$$\mu$$ y cuando$$z$$ es negativo,$$x$$ está a la izquierda o abajo$$\mu$$. O, cuando$$z$$ es positivo,$$x$$ es mayor que$$\mu$$, y cuando$$z$$ es negativo$$x$$ es menor que$$\mu$$.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

¿Cuál es la$$z$$ puntuación de$$x$$, cuándo$$x = 1$$ y$$X \sim N(12, 3)$$?

Contestar

$$z = \dfrac{1-12}{3} \approx -3.67$$

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Algunos médicos creen que una persona puede perder cinco libras, en promedio, en un mes al reducir su ingesta de grasa y al hacer ejercicio consistentemente. Supongamos que la pérdida de peso tiene una distribución normal. Dejar$$X =$$ la cantidad de peso perdido (en libras) por una persona en un mes. Use una desviación estándar de dos libras. $$X \sim N(5, 2)$$. Rellene los espacios en blanco.

1. Supongamos que una persona perdió diez libras en un mes. El$$z$$ puntaje -cuando$$x = 10$$ libras es$$x = 2.5$$ (verificar). Esta$$z$$ -puntuación te dice que$$x = 10$$ es ________ desviaciones estándar a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?).
2. Supongamos que una persona ganó tres libras (una pérdida de peso negativa). Después$$z =$$ __________. Esta$$z$$ -score te dice que$$x = -3$$ es ________ desviaciones estándar a la __________ (derecha o izquierda) de la media.

RESPUESTAS

a. Esta$$z$$ puntuación te dice que$$x = 10$$ es 2.5 desviaciones estándar a la derecha de la media cinco.

b. Supongamos que las variables aleatorias$$X$$ y$$Y$$ tienen las siguientes distribuciones normales:$$X \sim N(5, 6)$$ y$$Y \sim N(2, 1)$$. Si$$x = 17$$, entonces$$z = 2$$. (Esto se mostró anteriormente.) Si$$y = 4$$, ¿qué es$$z$$?

$z = \dfrac{y-\mu}{\sigma} = \dfrac{4-2}{1} = 2 \nonumber$

dónde$$\mu = 2$$ y$$\sigma = 1$$.

El$$z$$ -score para$$y = 4$$ es$$z = 2$$. Esto significa que cuatro son desviaciones$$z = 2$$ estándar a la derecha de la media. Por lo tanto,$$x = 17$$ y$$y = 4$$ son ambas dos (propias) desviaciones estándar a la derecha de sus respectivas medias.

El puntaje z nos permite comparar datos que se escalan de manera diferente. Para entender el concepto, supongamos$$X \sim N(5, 6)$$ representa aumentos de peso para un grupo de personas que están tratando de aumentar de peso en un periodo de seis semanas y$$Y \sim N(2, 1)$$ mide el mismo aumento de peso para un segundo grupo de personas. Un aumento de peso negativo sería una pérdida de peso. Dado que$$x = 17$$ y$$y = 4$$ son cada una dos desviaciones estándar a la derecha de sus medias, representan la misma ganancia de peso estandarizada en relación con sus medias.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Rellene los espacios en blanco.

Jerome promedia 16 puntos por juego con una desviación estándar de cuatro puntos. $$X \sim N(16, 4)$$. Supongamos que Jerome anota diez puntos en un juego. El$$z$$ —score cuando$$x = 10$$ es$$-1.5$$. Esta puntuación te dice que$$x = 10$$ es _____ desviaciones estándar a la ______ (derecha o izquierda) de la media______ (¿Cuál es la media?).

Contestar

1.5, izquierda, 16

## La regla empírica

Si$$X$$ es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media$$\mu$$ y desviación estándar$$\sigma$$, entonces la Regla Empírica dice lo siguiente:

• Alrededor del 68% de los$$x$$ valores se encuentran entre —1$$\sigma$$ y +1$$\sigma$$ de la media$$\mu$$ (dentro de una desviación estándar de la media).
• Alrededor del 95% de los$$x$$ valores se encuentran entre —2$$\sigma$$ y +2$$\sigma$$ de la media$$\mu$$ (dentro de dos desviaciones estándar de la media).
• Alrededor del 99.7% de los$$x$$ valores se encuentran entre —3$$\sigma$$ y +3$$\sigma$$ de la media$$\mu$$ (dentro de tres desviaciones estándar de la media). Observe que casi todos los$$x$$ valores se encuentran dentro de tres desviaciones estándar de la media.
• Las$$z$$ puntuaciones -para +1$$\sigma$$ y —1$$\sigma$$ son +1 y —1, respectivamente.
• Las$$z$$ puntuaciones -para +2$$\sigma$$ y —2$$\sigma$$ son +2 y —2, respectivamente.
• Las$$z$$ puntuaciones -para +3$$\sigma$$ y —3$$\sigma$$ son +3 y —3 respectivamente.

La regla empírica también se conoce como la regla 68-95-99.7.

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

La estatura media de los varones de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación estándar de 6.28 cm. Se sabe que las alturas masculinas siguen una distribución normal. Dejar$$X =$$ la estatura de un varón de 15 a 18 años de Chile en 2009 a 2010. Entonces$$X \sim N(170, 6.28)$$.

1. Supongamos que un varón de 15 a 18 años de Chile metió 168 cm de altura entre 2009 y 2010. La$$z$$ puntuación -cuando$$x = 168$$ cm es$$z =$$ _______. Esta$$z$$ -puntuación te dice que$$x = 168$$ es ________ desviaciones estándar a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?).
2. Supongamos que la estatura de un varón de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una$$z$$ -score de$$z = 1.27$$. ¿Cuál es la estatura del macho? El$$z$$ -score ($$z = 1.27$$) te dice que la estatura del macho es ________ desviaciones estándar a la __________ (derecha o izquierda) de la media.

RESPUESTAS

1. —0.32, 0.32, izquierda, 170
2. 177.98, 1.27, derecha

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Utilice la información de Ejemplo$$\PageIndex{3}$$ para responder a las siguientes preguntas.

1. Supongamos que un varón de 15 a 18 años de Chile metió 176 cm de altura entre 2009 y 2010. La$$z$$ puntuación -cuando$$x = 176$$ cm es$$z =$$ _______. Esta$$z$$ -puntuación te dice que$$x = 176$$ cm es ________ desviaciones estándar a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?).
2. Supongamos que la estatura de un varón de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una$$z$$ -score de$$z = –2$$. ¿Cuál es la estatura del macho? El$$z$$ -score ($$z = –2$$) te dice que la estatura del macho es ________ desviaciones estándar a la __________ (derecha o izquierda) de la media.
Contestar

Resuelve la ecuación$$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$$ para$$z$$. $$x = \mu+ (z)(\sigma)$$

$$z = \dfrac{176-170}{6.28}$$, Esta puntuación z te dice que$$x = 176$$ cm es 0.96 desviaciones estándar a la derecha de la media 170 cm.

Contestar

Resuelve la ecuación$$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$$ para$$z$$. $$x = \mu+ (z)(\sigma)$$

$$X = 157.44$$cm, El$$z$$ -score ($$z = –2$$) te dice que la estatura del macho es de dos desviaciones estándar a la izquierda de la media.

Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

De 1984 a 1985, la estatura media de los varones de 15 a 18 años de Chile fue de 172.36 cm y la desviación estándar fue de 6.34 cm. Dejar$$Y =$$ la estatura de varones de 15 a 18 años de edad de 1984 a 1985. Entonces$$Y \sim N(172.36, 6.34)$$.

La estatura media de los varones de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación estándar de 6.28 cm. Se sabe que las alturas masculinas siguen una distribución normal. Dejar$$X =$$ la estatura de un varón de 15 a 18 años de Chile en 2009 a 2010. Entonces$$X \sim N(170, 6.28)$$.

Encuentra las puntuaciones z para$$x = 160.58$$ cm y$$y = 162.85$$ cm. Interpretar cada$$z$$ partitura. ¿Qué puedes decir sobre$$x = 160.58$$ cm y$$y = 162.85$$ cm?

Contestar

• El$$z$$ -score (Ecuación\ ref {zscore}) para$$x = 160.58$$ es$$z = –1.5$$.
• El$$z$$ -score para$$y = 162.85$$ es$$z = –1.5$$.

Ambos$$x = 160.58$$ y$$y = 162.85$$ desvían el mismo número de desviaciones estándar de sus respectivas medias y en la misma dirección.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

En 2012, 1,664,479 alumnos tomaron el examen SAT. La distribución de las puntuaciones en la sección verbal del SAT tuvo una media$$\mu = 496$$ y una desviación estándar$$\sigma = 114$$. Dejar$$X =$$ una calificación de sección verbal del examen SAT en 2012. Entonces$$X \sim N(496, 114)$$.

Encuentra los$$z$$ puntajes para$$x_{1} = 325$$ y$$x_{2} = 366.21$$. Interpretar cada$$z$$ partitura. ¿Qué puedes decir sobre$$x_{1} = 325$$ y$$x_{2} = 366.21$$?

Contestar

La puntuación z (Ecuación\ ref {zscore}) para$$x_{1} = 325$$ es$$z_{1} = –1.15$$.

La puntuación z (Ecuación\ ref {zscore}) para$$x_{2} = 366.21$$ es$$z_{2} = –1.14$$.

Estudiante 2 anotó más cerca de la media que el Estudiante 1 y, como ambos tuvieron$$z$$ puntuaciones negativas, el Estudiante 2 tuvo la mejor puntuación.

Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación estándar 6.

• Alrededor del 68% de los valores x se encuentran dentro de una desviación estándar de la media. Por lo tanto, alrededor del 68% de los valores x se encuentran entre —1σ = (—1) (6) = —6 y 1σ = (1) (6) = 6 de la media 50. Los valores 50 — 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación estándar de la media 50. Las puntuaciones z son —1 y +1 para 44 y 56, respectivamente.
• Alrededor del 95% de los valores x se encuentran dentro de dos desviaciones estándar de la media. Por lo tanto, alrededor del 95% de los valores de x se encuentran entre —2σ = (—2) (6) = —12 y 2σ = (2) (6) = 12. Los valores 50 — 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones estándar de la media 50. Las puntuaciones z son —2 y +2 para 38 y 62, respectivamente.
• Alrededor del 99.7% de los valores x se encuentran dentro de tres desviaciones estándar de la media. Por lo tanto, alrededor del 99.7% de los valores x se encuentran entre —3σ = (—3) (6) = —18 y 3σ = (3) (6) = 18 de la media 50. Los valores 50 — 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de tres desviaciones estándar de la media 50. Las puntuaciones z son —3 y +3 para 32 y 68, respectivamente.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Supongamos que$$X$$ tiene una distribución normal con media 25 y desviación estándar cinco. ¿Entre qué valores de$$x$$ hacer el 68% de los valores se encuentran?

Contestar

entre 20 y 30.

Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

De 1984 a 1985, la estatura media de los varones de 15 a 18 años de Chile fue de 172.36 cm y la desviación estándar fue de 6.34 cm. Dejar$$Y =$$ la altura de los varones de 15 a 18 años de edad en 1984 a 1985. Entonces$$Y \sim N(172.36, 6.34)$$.

1. ¿Alrededor del 68% de los$$y$$ valores se encuentran entre qué dos valores? Estos valores son ________________. Los$$z$$ puntajes -son ________________, respectivamente.
2. ¿Alrededor del 95% de los$$y$$ valores se encuentran entre qué dos valores? Estos valores son ________________. Los$$z$$ puntajes -son ________________ respectivamente.
3. ¿Alrededor del 99.7% de los$$y$$ valores se encuentran entre qué dos valores? Estos valores son ________________. Los$$z$$ puntajes -son ________________, respectivamente.

Contestar

1. Alrededor del 68% de los valores se encuentran entre 166.02 y 178.7. Las$$z$$ puntuaciones -son —1 y 1.
2. Alrededor del 95% de los valores se encuentran entre 159.68 y 185.04. Las$$z$$ puntuaciones -son —2 y 2.
3. Alrededor del 99.7% de los valores se encuentran entre 153.34 y 191.38. Las$$z$$ puntuaciones -son —3 y 3.

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Los puntajes en un examen de ingreso a la universidad tienen una distribución normal aproximada con media,$$\mu = 52$$ puntos y una desviación estándar,$$\sigma = 11$$ puntos.

1. ¿Alrededor del 68% de los$$y$$ valores se encuentran entre qué dos valores? Estos valores son ________________. Los$$z$$ puntajes -son ________________, respectivamente.
2. ¿Alrededor del 95% de los$$y$$ valores se encuentran entre qué dos valores? Estos valores son ________________. Los$$z$$ puntajes -son ________________, respectivamente.
3. ¿Alrededor del 99.7% de los$$y$$ valores se encuentran entre qué dos valores? Estos valores son ________________. Los$$z$$ puntajes -son ________________, respectivamente.
Contestar a

Alrededor del 68% de los valores se encuentran entre los valores 41 y 63. Las$$z$$ puntuaciones -son —1 y 1, respectivamente.

Respuesta b

Alrededor del 95% de los valores se encuentran entre los valores 30 y 74. Las$$z$$ puntuaciones -son —2 y 2, respectivamente.

Respuesta c

Alrededor del 99.7% de los valores se encuentran entre los valores 19 y 85. Las$$z$$ puntuaciones -son —3 y 3, respectivamente.

## Resumen

A$$z$$ -score es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar,$$Z \sim N(0,1)$$. The mean of the $$z$$-scores is zero and the standard deviation is one. If $$y$$ is the z -score para un valor$$x$$ from the normal distribution $$N(\mu, \sigma)$$ then $$z$$ tells you how many standard deviations $$x$$ is above (greater than) or below (less than) $$\mu$$.

## Revisión de Fórmula

$$Z \sim N(0, 1)$$

$$z = a$$valor estandarizado ($$z$$-score)

media = 0; desviación estándar = 1

Para encontrar el percentil$$K$$ th de$$X$$ cuando se conocen los$$z$$ -scores:

$$k = \mu + (z)\sigma$$

$$z$$-puntuación:$$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$$

$$Z =$$la variable aleatoria para z -scores

$$Z \sim N(0, 1)$$

## Glosario

Distribución Normal Estándar
una variable aleatoria continua (RV)$$X \sim N(0, 1)$$; cuando$$X$$ sigue la distribución normal estándar, a menudo se anota como\ (Z\ sim N (0, 1)\.
$$z$$-puntuación
la transformación lineal de la forma$$z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$$; si esta transformación se aplica a cualquier distribución normal$$X \sim N(\mu, \sigma$$ el resultado es la distribución normal estándar$$Z \sim N(0,1)$$. Si esta transformación se aplica a algún valor específico$$x$$ del RV con media$$\mu$$ y desviación estándar$$\sigma$$, el resultado se denomina$$z$$ -score de$$x$$. El$$z$$ -score nos permite comparar datos que normalmente se distribuyen pero que se escalan de manera diferente.

## Referencias

1. “Presión Arterial de Hombres y Hembras”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewre...reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013).
2. “El uso de herramientas epidemiológicas en poblaciones afectadas por conflictos: recursos educativos de acceso abierto para formuladores de políticas: Cálculo de puntuaciones z”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013).
3. “2012 Reporte de Perfil de Grupo Total de Adultos Mayores con destino a la Universidad”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en media.collegedigita... Group-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013).
4. “Digest of Education Statistics: Puntuación ACT promedio y desviaciones estándar por sexo y raza/etnia y porcentaje de tomadores de exámenes ACT, por rangos de puntaje compuestos seleccionados y campos de estudio planificados: Años seleccionados, 1995 a 2009.” Centro Nacional de Estadísticas Educativas. Disponible en línea en nces.ed.gov/programas/digest/d... s/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013).
5. Datos del San Jose Mercury News.
6. Datos de El Almanaque Mundial y Libro de Hechos.
7. “Lista de estadios por aforo”. Wikipedia. Disponible en línea en es.wikipedia.org/wiki/list_o... ms_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013).
8. Datos de la Asociación Nacional de Basquetbol. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013).

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