9.7: En Resumen

(Nota: este resumen hace un uso extensivo de productos cruzados, pero no incluye un resumen de las propiedades cruzadas del producto. ¡Por favor refiérase a la Sección 9.3 para eso!)

1. La velocidad angular y la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo pueden tratarse como vectores perpendiculares al plano del círculo,\(\vec \omega\) y\(\vec \alpha\), respectivamente. La dirección de\(\vec \omega\) es tal que la relación\(\vec v = \vec \omega \times \vec r\) siempre se mantiene, donde\(\vec r\) está el vector de posición (instantáneo) de la partícula en el círculo.
2. La energía cinética de la partícula se puede escribir como\(K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2\), donde\(I = mR^2\) está la inercia rotacional o momento de inercia. Para un objeto extendido que gira alrededor de un eje,\(K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2\) también se aplica si\(I\) se define como la suma de las cantidades\(mr^2\) para todas las partículas que componen el objeto, donde\(r\) está la distancia de la partícula al eje de rotación.
3. Para un objeto rígido que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa con velocidad angular\(\omega\) la energía cinética total se puede escribir como\(K = K_{cm} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv^2_{cm} + \frac{1}{2}I\omega^2\). Esto se aplicaría también a un sistema no rígido, siempre que todas las partículas tengan la misma velocidad angular.
4. El momento angular,\(\vec L\), de una partícula alrededor de un punto O se define como\( \vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}=m \vec{r} \times \vec{v} \), donde\(\vec r\) está el vector de posición de la partícula con relación al origen O,\(\vec v\) y\(\vec p\) sus vectores de velocidad e impulso. Para un objeto o sistema extendido,\(\vec L\) se define como la suma de las cantidades\(m \vec{r} \times \vec{v}\) para todas las partículas que componen el sistema.
5. Para un objeto sólido que gira alrededor de un eje de simetría,\(\vec L = I\vec{\omega}\). Esto se aplica también a un objeto esencialmente plano que gira alrededor de un eje perpendicular, incluso si no es un eje de simetría.
6. El par,\(\vec{\tau}\), de una fuerza alrededor de un punto O se define como\(\tau = \vec r \times \vec F\), donde\(\vec r\) está el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza relativa al origen O. Es una medida de la efectividad de la fuerza al provocar una rotación alrededor de ese punto.
7. La tasa de cambio del momento angular de un sistema alrededor de un punto O es igual a la suma de los pares, aproximadamente ese mismo punto, de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema:\(\sum \vec{\tau}_{e x t}=d \vec{L}_{sys}/dt\). Por lo tanto, el momento angular es constante cada vez que desaparecen todos los pares externos (conservación del momento angular).
8. Para los casos considerados en el punto 7 anterior, si el momento de inercia\(I\) es constante, la ecuación se\( \sum \vec{\tau}_{e x t}=d \vec{L}_{s y s} / d t \) puede escribir en la forma\(\sum \vec{\tau}_{e x t}=I \vec{\alpha}\), que se asemeja mucho a lo familiar\(\sum \vec{F}_{e x t}=m \vec{a}\). Obsérvese, sin embargo, que los sistemas deformables donde\(I\) pueden cambiar con el tiempo como resultado de fuerzas internas son relativamente comunes, y para esos sistemas esta ecuación más simple no se aplicaría.
9. Para que un objeto esté en equilibrio estático, requerimos que tanto la suma de las fuerzas externas como de los pares externos sean iguales a cero:\(\sum \vec{F}_{e x t}=0\) y\(\sum \vec{\tau}_{e x t} = 0\). Tenga en cuenta que si se aplica la primera condición, no importa en qué punto calculemos el par, por lo que somos libres de elegir la que sea más conveniente.
10. Para un objeto rígido de radio\(R\) rodando sin deslizarse sobre alguna superficie, las relaciones\(|v_{cm}| = R|\omega|\) y\(|a_{cm}| = R|\alpha|\) mantener. Los signos relativos de, por ejemplo,\(v_{cm}\) y\(\omega\) (entendidos aquí como los componentes relevantes de sus respectivos vectores) deben elegirse de manera que sean consistentes con cualquier convención que se haya adoptado para la dirección positiva del movimiento y la dirección positiva de rotación (típicamente, un la rotación en sentido antihorario se considera positiva).