10.2: Peso, Aceleración y Principio de Equivalencia

Ya sea que lo escribamos como\(mg\) o como\(GMm/r^2\), la fuerza de gravedad sobre un objeto de masa\(m\) tiene la notable propiedad, no compartida por ninguna otra fuerza conocida, de ser proporcional a la masa inercial del objeto. Esto significa que, si la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un sistema compuesto por muchas partículas, cuando divides la fuerza sobre cada partícula por la masa de la partícula para encontrar la aceleración de la partícula, obtienes el mismo valor de\(a\) para cada partícula (al menos, asumiendo que todas están aproximadamente al misma distancia del objeto ejerciendo la fuerza en primer lugar). Así, todas las partes que componen el objeto se acelerarán juntas, en su conjunto.

Supongamos que estás sosteniendo un objeto, mientras que en caída libre (recuerda que “caída libre” significa que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre ti), y lo sueltas, como en la Figura\(\PageIndex{1}\) siguiente. Como la gravedad te dará a ti y al objeto la misma aceleración, encontrarás que no “cae” en relación contigo, es decir, no caerá más rápido ni más lentamente que tú mismo. Desde tu propio marco de referencia, solo lo verás flotando inmóvil frente a ti, en la misma posición (relativa a ti) que ocupaba antes de soltarlo. Esto es exactamente lo que se ve en los videos filmados a bordo de la Estación Espacial Internacional. El resultado es una impresión de ingravidez, o “gravedad cero”, aunque la gravedad es muy distinta de cero; la estación espacial, y todo lo que está dentro de ella, está constantemente “cayendo” a la tierra, simplemente no la golpea porque tiene alguna velocidad lateral (o momento angular) para empezar, y el tirón de la tierra simplemente dobla su trayectoria lo suficiente como para mantenerlo en movimiento en círculo. Pero la gravedad es la única fuerza que actúa sobre ella, y sobre todo lo que hay en ella (al menos hasta que alguien se empuje contra una pared, o algo así).

Entonces, el tipo de aceleración que obtienes de la gravedad es, paradójicamente, tal que, si cedes a ella por completo, sientes que no hay gravedad.

Figura\(\PageIndex{1}\): Si estás sosteniendo algo mientras estás en caída libre (a) y lo sueltas, ya que todos están acelerando al mismo ritmo, se queda en la misma posición relativa a ti (b), por lo que parece ser ingrávido.

La sensación familiar de peso, en cambio, proviene precisamente de no ceder, y más bien, alistar a otras fuerzas para luchar contra la gravedad. Cuando haces esto, cuando simplemente te paras en la superficie de la tierra, por ejemplo, tus pies están sostenidos por el suelo debajo de ti, pero cada otra parte de tu cuerpo está soportada por alguna otra parte de tu cuerpo, inmediatamente arriba o debajo de él, que puedes pensar como una especie de resorte que es algo estirada o algo comprimida. Es principalmente tu esqueleto, y sobre todo tu columna vertebral, el que soporta la mayor parte de la carga compresiva. (Ver Figura 10.9, página siguiente.) La sensación de peso es tu respuesta a esta carga. Curiosamente, aunque este aplastamiento constante pueda resultar en que pierdas un poco de altura en el transcurso de un día (que recuperas por la noche, cuando te acuestas horizontalmente), no es algo malo, más bien lo contrario: tus huesos han evolucionado para que necesiten esta presión constante para crecer y reemplazar la masa que de otro modo perderían en un ambiente “ingrávido”.

Por otro lado, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (c), la misma compresión (o extensión, por ejemplo, para los músculos de tus brazos, ya que cuelgan a tu lado) resultaría de una situación en la que estabas, digamos, parado inmóvil dentro de un cohete que está acelerando hacia arriba con\(a = g\), pero muy lejos de cualquier fuente de gravedad. En la Figura\(\PageIndex{2}\) (b), el “resorte” que representa tu esqueleto necesita ser comprimido para que pueda ejercer una fuerza ascendente\(F^{spr} = m_{u}g\) para soportar el peso de la parte superior de tu cuerpo (simplificado aquí como una sola masa\(m_u\)). En la Figura\(\PageIndex{2}\) (c), necesita ser comprimido en la misma cantidad, por lo que puede ejercer la fuerza ascendente\(F^{spr} = m_{u}a\) necesaria para darle una aceleración a la parte superior del cuerpo\(a = g\). La igualdad de las dos expresiones es consecuencia directa del hecho de que la fuerza de gravedad es proporcional a la masa inercial de un objeto (ya que la segunda expresión es solo la segunda ley de Newton).

Figura\(\PageIndex{2}\): (a) En caída libre, tu esqueleto (representado aquí por un resorte relajado) no necesita sostener la parte superior de tu cuerpo, por lo que no hay sensación de peso. Al estar parado en el suelo inmóvil bajo la influencia de la gravedad, sin embargo (b), cada parte de su cuerpo necesita comprimirse un poco para soportar el peso de las partes por encima de él (como se muestra aquí por el resorte comprimido). La misma compresión, y de ahí la misma sensación subjetiva de peso, resulta si te estás moviendo hacia arriba con una aceleración\(a = g\), pero en ausencia de gravedad (c). (Los subíndices\(u\) y\(l\) en las fuerzas representan cuerpo “superior” e “inferior”, respectivamente).

En general, entonces, cuando todo tu cuerpo está sometido a una aceleración ascendente\(a\), siente como si tu peso se incrementara en una cantidad\(ma\). Lo mismo se sostiene independientemente de la dirección: la aceleración hacia adelante\(a\) en el cuerpo de un piloto a reacción se siente como un “peso” que la\(ma\) empuja contra su asiento. Es por ello que estas “fuerzas efectivas” (o, más precisamente, las aceleraciones que las provocan) se miden en\(g\)'s: una “fuerza” de, digamos,\(5g\), significa que la piloto se siente empujada contra su asiento con una “fuerza” igual a 5 veces su peso. Lo que realmente está sucediendo, por supuesto, es lo contrario: su asiento la está empujando hacia adelante, pero sus órganos internos están siendo comprimidos (para proporcionar esa misma aceleración hacia adelante) de la manera que lo harían bajo una fuerza de gravedad cinco veces más fuerte que en la superficie terrestre.

Los paralelismos entre estar en un marco de referencia en constante aceleración y estar en reposo bajo la influencia de una fuerza de gravedad constante van más allá de la sensación subjetiva de peso. La figura\(\PageIndex{3}\) ilustra lo que sucede cuando dejas caer algo mientras viajas en el cohete de aceleración ascendente, en ausencia de gravedad. Desde el punto de vista de un observador inercial, el objeto que dejas caer simplemente mantiene la velocidad ascendente que tuvo en el momento en que dejó tu mano; pero, como estás en contacto con el cohete, tu propia velocidad aumenta constantemente, y como resultado de eso ves que el objeto cae, relativo a ti.

Figura\(\PageIndex{3}\): “Lanzar” un objeto dentro de un cohete en constante aceleración, lejos de cualquier gravedad.

Desde un punto de vista práctico, esto sugiere un par de formas de proporcionar una “gravedad artificial” a los astronautas que algún día podrían tener que pasar mucho tiempo en el espacio, ya sea bajo gravedad extremadamente débil (por ejemplo, durante un viaje a Marte), o, lo que equivale esencialmente a lo mismo, en caída libre (como en un estación espacial orbitando un planeta). El que más se ve en las películas consiste en que la estación espacial (o nave espacial) gire constantemente alrededor de un eje con cierta velocidad angular\(\omega\). Entonces cualquier objeto que se mueva con la estación, a una\(R\) distancia del eje, experimentará una aceleración centrípeta de magnitud\(\omega^2R\), que se sentirá como una fuerza de gravedad\(m\omega^2R\) dirigida en sentido contrario, es decir, alejada del centro. La gente entonces básicamente “caminaría sobre las paredes” (es decir, de lado como se ve desde arriba, con los pies alejados del eje de rotación y sus cabezas hacia el eje de rotación). Si alguien soltaba algo que sostenía, el objeto “caería hacia la pared”. Desafortunadamente, si bien la idea podría funcionar para una estación espacial, probablemente sería poco práctica para una nave espacial, ya que se necesitaría una tasa de rotación bastante grande\(R\) y/o bastante grande para obtener\(\omega^2R \simeq g\). (Por otro lado, probablemente hasta algo así como\(\frac{1}{5}g\) es mejor que nada, entonces quién sabe...)

A nivel fundamental, la equivalencia entre un marco de referencia constantemente acelerado, y un marco inercial con un campo gravitacional uniforme (como, aproximadamente, la superficie de la tierra), fue elevada por Einstein a un principio básico de la física, que se convirtió en el fundamento de su teoría general de relatividad. Este principio de equivalencia afirma que es absolutamente imposible distinguir, por cualquier tipo de experimento físico, entre las dos situaciones que acabamos de mencionar: se postula que un marco de referencia constantemente acelerado es completamente equivalente en todos los sentidos a un marco inercial con un uniforme campo gravitacional.

Una consecuencia notable del principio de equivalencia es que la luz, a pesar de tener técnicamente “masa de reposo cero”, debe doblar su trayectoria bajo la influencia de la gravedad. Esto se puede ver de la siguiente manera. Imagínese disparar un proyectil horizontalmente dentro del cohete en la Figura\(\PageIndex{3}\). Si bien un observador inercial, mirando desde el exterior, vería al proyectil viajar en línea recta, el observador dentro del cohete vería su trayectoria doblada hacia abajo, al igual que para los proyectiles que estudiamos en el Capítulo 8. Esto es por la misma razón que vería caer el objeto, relativo a él, en la Figura\(\PageIndex{3}\): el proyectil tiene una velocidad constante, por lo que recorre la misma distancia en cada intervalo de tiempo igual, pero el cohete está acelerando, por lo que la distancia que recorre en intervalos de tiempo iguales aumenta constantemente. Básicamente de la misma manera, entonces, un haz de luz enviado horizontalmente dentro del cohete, y viajando con velocidad constante (y, por lo tanto, en línea recta) en un marco inercial, sería visto como doblado hacia abajo en el marco de referencia del cohete.

No obstante, si el principio de equivalencia es cierto, y los fenómenos físicos se ven igual en un marco en constante aceleración que en un marco inercial con un campo gravitacional constante, se deduce que la luz también debe doblar su trayectoria en este último sistema, de la misma manera que lo haría un proyectil. (Digo “de la misma manera” porque el efecto no es tan simple como darle a la luz una “masa efectiva”; hay otros efectos relativistas, como la contracción del espacio y la dilatación del tiempo, que también hay que tener en cuenta). Esta flexión gravitacional fue una de las predicciones tempranas más importantes de la teoría de la Relatividad General de Einstein, y sin duda la más espectacular. Dado que se necesita que los rayos de luz pasen varien cerca de una gran masa para obtener un efecto observable, la forma en que se verificó la predicción fue observando la posición aparente de las estrellas que se puede ver cerca del borde del disco del sol durante un eclipse solar. El ligero (aparente) cambio de posición predicho por Einstein fue observado por Sir Arthur Eddington durante el eclipse solar de 1919 (para ello se enviaron dos expediciones a rincones remotos de la tierra), y fue el principal responsable de la repentina fama de Einstein entre el público en general de su época.

Hoy en día, con los telescopios modernos, este llamado efecto de “lente gravitacional” se ha convertido en una herramienta importante en la astronomía, lo que nos permite interpretar las imágenes tomadas de galaxias distantes, que a menudo se desplazan y/o distorsionan por la gravedad de las galaxias que se encuentran entre ellas y nosotros.

Incluso se ha hecho posible imaginar un objeto tan denso que “capturaría” la luz, atrayéndola con tanta fuerza que no podría salir del vecindario del objeto. Tal objeto ha llegado a llamarse agujero negro. Si estableces la velocidad de escape de la Ecuación (10.1.15) igual a la velocidad de la luz en vacío\(c\),\(r_i\), y resuelves para, obtienes lo que se llama el radio Schwarzschild\(r_s\),, para un agujero negro de masa\(M\); siendo la idea que, para ser un agujero negro, el objeto tiene que ser tan denso que toda su masa\(M\) esté dentro de una esfera de radio menor que\(r_s\). Los físicos de hoy creen en la existencia (e incluso en lo que se podría llamar la ubicuidad) de los agujeros negros, de los cuales la solución de Schwarzschild fue sólo el primer ejemplo calculado. Tenga en cuenta que\(r_s\) no define la superficie física real del objeto; sí, sin embargo, localiza lo que se conoce como horizonte de eventos del agujero negro. Nada se puede saber, a través de la observación, sobre cualquier cosa que pueda ocurrir más cerca del centro del agujero negro que la distancia\(r_s\), ya que ninguna información puede transmitirse más rápido que la luz, y ninguna luz puede escapar de una distancia\(r_i\) <\(r_s\).