2.1: Una vista previa de Cálculo

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objetivos de aprendizaje

Describir el problema tangente y cómo condujo a la idea de un derivado.
Explique cómo la idea de un límite está involucrada en la solución del problema tangente.
Reconocer una tangente a una curva en un punto como el límite de las líneas secantes.
Identificar la velocidad instantánea como el límite de velocidad promedio en un pequeño intervalo de tiempo.
Describir el problema del área y cómo fue resuelto por la integral.
Explique cómo la idea de un límite está involucrada en la solución del problema del área.
Reconocer cómo las ideas de límite, derivada e integral llevaron a los estudios de series infinitas y cálculo multivariable.

A medida que nos embarcamos en nuestro estudio del cálculo, veremos cómo su desarrollo surgió de soluciones comunes a problemas prácticos en áreas como la física de ingeniería, como el problema de los viajes espaciales planteados en el abridor de capítulos. Dos problemas clave llevaron a la formulación inicial del cálculo: (1) el problema de la tangente, o cómo determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto; y (2) el problema del área, o cómo determinar el área bajo una curva.

El problema de la tangente y el cálculo diferencial

La tasa de cambio es uno de los conceptos más críticos en el cálculo. Comenzamos nuestra investigación de las tasas de cambio observando las gráficas de las tres líneas\(f(x)=−2x−3,\; g(x)=\dfrac{1}{2}x+1\), y\(h(x)=2\), mostradas en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Tres gráficas de línea recta. Uno, etiquetado “f (x) = -2x - 3”, disminuye, cruzando el eje x en -1.5 y el eje y en -3; otro, etiquetado “g (x) = x/2 + 1”, aumenta, cruzando el eje x en -2 y el eje y en 1; el tercero, etiquetado “h (x) = 2”, es plano en la coordenada y 2 — Figura\(\PageIndex{1}\): La tasa de cambio de una función lineal es constante en cada una de estas tres gráficas, con la constante determinada por la pendiente.

A medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de la gráfica de\(f(x)=−2x−3\), vemos que la gráfica disminuye a un ritmo constante. Por cada\(1\) unidad que nos movemos a la derecha a lo largo del\(x\) eje, la\(y\) coordenada -disminuye por\(2\) unidades. Esta tasa de cambio viene determinada por la pendiente (\(−2\)) de la línea. De igual manera, la pendiente de\(1/2\) en la función nos\(g(x)\) dice que por cada cambio en\(x\) de\(1\) unidad hay un cambio correspondiente en\(y\) de\(1/2\) unidad. La función\(h(x)=2\) tiene una pendiente de cero, lo que indica que los valores de la función permanecen constantes. Vemos que la pendiente de cada función lineal indica la tasa de cambio de la función.

Compara las gráficas de estas tres funciones con la gráfica de\(k(x)=x^2\) (Figura\(\PageIndex{2}\)). La gráfica de\(k(x)=x^2\) comienza desde la izquierda disminuyendo rápidamente, luego comienza a disminuir más lentamente y a nivelarse, y luego finalmente comienza a aumentar—lentamente al principio, seguido de una tasa creciente de aumento a medida que se mueve hacia la derecha. A diferencia de una función lineal, ningún número representa la tasa de cambio para esta función. Naturalmente nos preguntamos: ¿Cómo medimos la tasa de cambio de una función no lineal?

Una gráfica de la parábola k (x) = x^2, que se abre y tiene su vértice en el origen. — Figura\(\PageIndex{2}\): La función\(k(x)=x^2\) no tiene una tasa de cambio constante.

Podemos aproximar la tasa de cambio de una función\(f(x)\) en un punto\((a,f(a))\) de su gráfica tomando otro punto\((x,f(x))\) en la gráfica de\(f(x)\), dibujando una línea a través de los dos puntos, y calculando la pendiente de la línea resultante. Tal línea se llama línea secante. La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una línea secante a una función\(f(x)\) en un punto\((a,f(a))\).

Un gráfico que muestra una función curva genérica pasando por los puntos (0,0), (a, fa.), y (x, f (x)). Una línea recta llamada línea secante se dibuja a través de los puntos (a, fa.), y (x, f (x)), yendo por debajo de la función curva entre a y x y yendo por encima de la función curva en valores mayores que x o menores que a. la función curva y la línea secante se cruzan una vez más en algún punto del tercer cuadrante. La pendiente de la línea secante es (f (x) — fa.)/(x — a). — Figura\(\PageIndex{3}\): La pendiente de una línea secante a través de un punto\((a,f(a))\) estima la tasa de cambio de la función en el punto\((a,f(a))\).

Formalmente definimos una línea secante de la siguiente manera:

Definición: Línea Secante

La secante a la función\(f(x)\) a través de los puntos\((a,f(a))\) y\((x,f(x))\) es la línea que pasa por estos puntos. Su pendiente viene dada por

\[m_{sec}=\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}. \label{secantslope} \]

La precisión de aproximar la tasa de cambio de la función con una línea secante depende de lo cerca que\(x\) esté de\(a\). Como vemos en la Figura\(\PageIndex{4}\), si\(x\) está más cerca de\(a\), la pendiente de la línea secante es una mejor medida de la tasa de cambio de\(f(x)\) at\(a\).

Esta gráfica es la misma que la línea secante anterior y la gráfica genérica de función curva. Sin embargo, se agrega otro punto x, esta vez trazado más cerca de a en el eje x. Como tal, se dibuja otra línea secante a través de los puntos (a, fa.) y la nueva, más cercana (x, f (x)). La línea se mantiene mucho más cerca de la función curva genérica alrededor (a, fa.). La pendiente de esta línea secante se ha convertido en una mejor aproximación de la tasa de cambio de la función genérica. — Figura\(\PageIndex{4}\): A medida que\(x\) se acerca\(a\), la pendiente de la línea secante se convierte en una mejor aproximación a la tasa de cambio de la función\(f(x)\) at\(a\).

Las propias líneas secantes se acercan a una línea que se llama la tangente a la función\(f(x)\) en\(a\) (Figura\(\PageIndex{5}\)). La pendiente de la línea tangente a la gráfica\(a\) mide la velocidad de cambio de la función a\(a\). Este valor también representa la derivada de la función\(f(x)\) at\(a\), o la tasa de cambio de la función at\(a\). Esta derivada se denota por\(f′(a)\). El cálculo diferencial es el campo del cálculo que se ocupa del estudio de los derivados y sus aplicaciones.

Esta gráfica es una continuación de las dos anteriores. Esta vez, la gráfica contiene la función curva, las dos líneas secantes y una línea tangente. A medida que x se acerca a, las líneas secantes se acercan a la línea tangente. — Figura\(\PageIndex{5}\): Resolviendo el problema tangente: A medida que\(x\) se aproxima\(a\), las líneas secantes se acercan a la línea tangente.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\) ilustra cómo encontrar pendientes de líneas secantes. Estas pendientes estiman la pendiente de la línea tangente o, de manera equivalente, la tasa de cambio de la función en el punto en el que se calculan las pendientes.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Finding Slopes of Secant Lines

Estimar la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a\(f(x)=x^2\) at\(x=1\) encontrando pendientes de líneas secantes a través\((1,1)\) y cada uno de los siguientes puntos en la gráfica de\(f(x)=x^2\).

\((2,4)\)
\(\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4}\right)\)

Solución:

Utilice la fórmula para la pendiente de una línea secante (Ecuación\ ref {pendiente secante}).

\(m_{sec}=\dfrac{4−1}{2−1}=3\)
\(m_{sec}=\dfrac{\dfrac{9}{4}−1}{\dfrac{3}{2}−1}=\dfrac{5}{2}=2.5\)

El punto en la parte b. está más cerca del punto\((1,1)\), por lo que la pendiente de\(2.5\) está más cerca de la pendiente de la línea tangente. Una buena estimación para la pendiente de la tangente estaría en el rango de\(2\) a\(2.5\) (Figura\(\PageIndex{6}\)).

Se muestran dos gráficas de la parábola f (x) = x^2. El primero tiene una línea secante dibujada, que cruza la parábola en (1,1) y (2,4). El segundo tiene una línea secante dibujada, intersecando la parábola en (1,1) y (3/2, 9/4). Estas líneas proporcionan aproximaciones sucesivamente más cercanas a la línea tangente a la función en (1,1). — Figura\(\PageIndex{6}\): Las líneas secantes a\(f(x)=x^2\) a\((1,1)\) través de (a)\((2,4)\) y (b)\((\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})\) proporcionan aproximaciones sucesivamente más cercanas a la línea tangente a\(f(x)=x^2\) at\((1,1)\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Estimar la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a\(f(x)=x^2\) at\(x=1\) mediante la búsqueda de pendientes de líneas secantes a través\((1,1)\) y el punto\((\dfrac{5}{4},\dfrac{25}{16})\) en la gráfica de\(f(x)=x^2\).

Contestar: \(2.25\)

Continuamos nuestra investigación explorando una pregunta relacionada. Teniendo en cuenta que la velocidad puede pensarse como la velocidad de cambio de posición, supongamos que tenemos una función,\(s(t)\), que da la posición de un objeto a lo largo de un eje de coordenadas en un momento dado\(t\). ¿Podemos usar estas mismas ideas para crear una definición razonable de la velocidad instantánea en un momento dado\(t=a?\)? Comenzamos aproximando la velocidad instantánea con una velocidad promedio. En primer lugar, recordemos que la velocidad de un objeto que viaja a una velocidad constante es la relación entre la distancia recorrida y la duración del tiempo que ha recorrido. Definimos la velocidad promedio de un objeto a lo largo de un período de tiempo como el cambio en su posición dividido por la duración del período de tiempo.

Definición: Velocidad promedio

Dejar\(s(t)\) ser la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en el momento\(t\). La velocidad promedio del objeto a lo largo de un intervalo de tiempo\([a,t]\) donde\(a<t\) (o\([t,a]\) si\(t<a)\) es

\[v_{ave}=\dfrac{s(t)−s(a)}{t−a}. \label{avgvel} \]

A medida\(t\) que se elige más cerca\(a\), la velocidad promedio se vuelve más cercana a la velocidad instantánea. Tenga en cuenta que encontrar la velocidad promedio de una función de posición durante un intervalo de tiempo es esencialmente lo mismo que encontrar la pendiente de una línea secante a una función. Además, para encontrar la pendiente de una línea tangente en un punto\(a\), dejamos que los\(x\) -valores se acerquen\(a\) en la pendiente de la línea secante. De manera similar, para encontrar la velocidad instantánea en el tiempo\(a\), dejamos que los\(t\) -valores se\(a\) aproximen en la velocidad promedio. Este proceso de dejar\(x\) o\(t\) acercarse\(a\) en una expresión se llama tomar un límite. Así, podemos definir la velocidad instantánea de la siguiente manera.

Definición: Velocidad instantánea

Para una función de posición\(s(t)\), la velocidad instantánea a la vez\(t=a\) es el valor al que se aproximan las velocidades promedio a intervalos de la forma\([a,t]\) y a\([t,a]\) medida que los valores de\(t\) se acercan\(a\), siempre que exista tal valor.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\) ilustra este concepto de límites y velocidad media.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding Average Velocity

Una roca se deja caer desde una altura de 64 pies. Se determina que su altura (en pies) sobre el suelo t segundos después (for\(0≤t≤2\)) viene dada por\(s(t)=−16t^2+64\). Encuentra la velocidad promedio de la roca en cada uno de los intervalos de tiempo dados. Usa esta información para adivinar la velocidad instantánea de la roca en el momento\(t=0.5\).

[\(0.49,0.5\)]
[\(0.5,0.51\)]

Solución

Sustituya los datos en Ecuación\ ref {avgvel} para la definición de velocidad promedio.

\[v_{ave}=\dfrac{s(0.49)−s(0.5)}{0.49−0.5}=−15.84 \nonumber \]
\[v_{ave}=\dfrac{s(0.51)−s(0.5)}{0.51−0.5}=−16.016 \nonumber \]

La velocidad instantánea está en algún lugar entre −15.84 y −16.16 pies/seg. Una buena conjetura podría ser −16 pies/seg.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de manera que su posición en el tiempo\(t\) viene dada por\(s(t)=t^3\). Estimar su velocidad instantánea en el tiempo\(t=2\) calculando su velocidad promedio a lo largo del intervalo de tiempo [\(2,2.001\)].

Pista: Utilice la ecuación\ ref {avgvel} con\(v_{ave}=\dfrac{s(2.001)−s(2)}{2.001−2}\).

Contestar: 12.006001

El problema del área y el cálculo integral

Ahora dirigimos nuestra atención a una pregunta clásica a partir del cálculo. Muchas cantidades en la física, por ejemplo, cantidades de trabajo, pueden interpretarse como el área bajo una curva. Esto nos lleva a hacer la pregunta: ¿Cómo podemos encontrar el área entre la gráfica de una función y el\(x\) eje -sobre un intervalo (Figura\(\PageIndex{7}\))?

Se muestra una gráfica de una función curva genérica f (x) con forma de colina en el cuadrante uno. Un área debajo de la función está sombreada por encima del eje x y entre x=a y x=b. — Figura\(\PageIndex{7}\): El problema del área: ¿Cómo encontramos el área de la región sombreada?

Al igual que en la respuesta a nuestras preguntas anteriores sobre velocidad, primero tratamos de aproximar la solución. Aproximamos el área dividiendo el intervalo\([a,b]\) en intervalos más pequeños en forma de rectángulos. La aproximación del área proviene de sumar las áreas de estos rectángulos (Figura\(\PageIndex{8}\)).

La gráfica es la misma que la imagen anterior, con una diferencia. En lugar del área completamente sombreada bajo la función curva, el intervalo [a, b] se divide en intervalos más pequeños en forma de rectángulos. Los rectángulos tienen el mismo ancho pequeño. La altura de cada rectángulo es la altura de la función en el punto medio de la base de ese rectángulo específico. — Figura\(\PageIndex{8}\): El área de la región bajo la curva se aproxima sumando las áreas de rectángulos delgados.

A medida que los anchos de los rectángulos se hacen más pequeños (se acercan a cero), las sumas de las áreas de los rectángulos se acercan al área entre la gráfica\(f(x)\) y el\(x\) eje sobre el intervalo\([a,b]\). Una vez más, nos encontramos tomando un límite. Límites de este tipo sirven de base para la definición de la integral definida. El cálculo integral es el estudio de las integrales y sus aplicaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Estimation Using Rectangles

Estimar el área entre el\(x\) eje y la gráfica de\(f(x)=x^2+1\) sobre el intervalo\([0,3]\) utilizando los tres rectángulos que se muestran en la Figura\(\PageIndex{9}\).

Gráfico de una parábola que se abre hacia arriba con el punto más bajo en (0,1). Un rectángulo de altura 1 que se extiende de x=0 a x=1 toca la parábola en el punto (0,1); un rectángulo de altura 2 de x=1 a x=2 la toca en el punto (1,2); un rectángulo de altura 5 de x=2 a x=3 la toca en el punto (2,5) — Figura\(\PageIndex{9}\): El área de la región bajo la curva de se\(f(x)=x^2+1\) puede estimar usando rectángulos.

Solución

Las áreas de los tres rectángulos son 1 unidad ², ² unidad y 5 unidad ². Usando estos rectángulos, nuestra estimación de área es de 8 unidad ².

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Estimar el área entre el\(x\) eje y la gráfica de\(f(x)=x^2+1\) sobre el intervalo\([0,3]\) utilizando los tres rectángulos que se muestran en la Figura\(\PageIndex{10}\).

Gráfica de una parábola que se abre hacia arriba, con su punto más bajo en el punto (0,1). Un rectángulo de altura 2 y que se extiende de x=0 a x=1 toca la parábola en el punto (1,2); un rectángulo de altura 5 de x=1 a x=2 la toca en el punto (2,5); un rectángulo de altura 10 de x=2 a x=3 la toca en el punto (3,10) — Figura\(\PageIndex{10}\): El área de la región bajo la curva de se\(f(x)=x^2+1\) puede estimar usando rectángulos.

Pista: Use el ejemplo\(\PageIndex{3}\) como guía

Contestar: 17\(\mathrm{unit}^2\)

Otros aspectos del cálculo

Hasta el momento, hemos estudiado funciones de una sola variable. Dichas funciones se pueden representar visualmente usando gráficas en dos dimensiones; sin embargo, no hay una buena razón para restringir nuestra investigación a dos dimensiones. Supongamos, por ejemplo, que en lugar de determinar la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, queremos determinar la velocidad de una roca disparada desde una catapulta en un momento dado, o de un avión que se mueve en tres dimensiones. Podríamos querer graficar funciones de valor real de dos variables o determinar volúmenes de sólidos del tipo que se muestra en la Figura\(\PageIndex{11}\). Estos son solo algunos de los tipos de preguntas que se pueden hacer y responder mediante cálculo multivariable. Informalmente, el cálculo multivariable puede caracterizarse como el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables. Sin embargo, antes de explorar estas y otras ideas, primero debemos sentar las bases para el estudio del cálculo en una variable explorando el concepto de límite.

Un diagrama en el espacio tridimensional, sobre los ejes x, y y z donde z = f (x, y). La base es el eje x, y y la altura es el eje z. La base es un rectángulo contenido en el plano del eje x, y. La parte superior es una superficie de altura cambiante con esquinas ubicadas directamente por encima de las del rectángulo en el plano x, y.. El punto más alto está por encima de la esquina en x=0, y=0. El punto más bajo está en la esquina en algún lugar del primer cuadrante del plano x, y. Los otros dos puntos tienen aproximadamente la misma altura y se encuentran por encima de las esquinas en el eje x y el eje y. Se dibujan líneas conectando las esquinas del rectángulo con las de la superficie. — Figura\(\PageIndex{11}\): Podemos usar cálculo multivariable para encontrar el volumen entre una superficie definida por una función de dos variables y un plano.

Conceptos clave

El cálculo diferencial surgió al tratar de resolver el problema de determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto. La pendiente de la línea tangente indica la tasa de cambio de la función, también llamada derivada. El cálculo de una derivada requiere encontrar un límite.
El cálculo integral surgió al tratar de resolver el problema de encontrar el área de una región entre la gráfica de una función y el\(x\) eje -eje. Podemos aproximar el área dividiéndola en rectángulos delgados y sumando las áreas de estos rectángulos. Esta suma conduce al valor de una función llamada integral. La integral también se calcula encontrando un límite y, de hecho, se relaciona con la derivada de una función.
El cálculo multivariable nos permite resolver problemas en el espacio tridimensional, incluyendo la determinación del movimiento en el espacio y la búsqueda de volúmenes de sólidos.

Ecuaciones Clave

Pendiente de una Línea Secante

\(m_{sec}=\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}\)

Velocidad media a lo largo del intervalo [a, t]

\(v_{ave}=\dfrac{s(t)−s(a)}{t−a}\)

Glosario

velocidad media: el cambio en la posición de un objeto dividido por la duración de un período de tiempo; la velocidad promedio de un objeto a lo largo de un intervalo de tiempo [\(t,a\)] (si\(t<a\) o [\(a,t\)] si\(t>a\)), con una posición dada por\(s(t)\), es decir\(v_{ave}=\dfrac{s(t)−s(a)}{t−a}\)

cálculo diferencial: el campo del cálculo relacionado con el estudio de los derivados y sus aplicaciones

velocidad instantánea: La velocidad instantánea de un objeto con una función de posición que viene dada por\(s(t)\) es el valor que las velocidades promedio en intervalos de la forma [\(t,a\)] y [\(a,t\)] se aproximan a medida que los valores de se\(t\) acercan\(a\), siempre que exista tal valor

cálculo integral: el estudio de las integrales y sus aplicaciones

límite: el proceso de dejar que x o t se acerquen a a en una expresión; el límite de una función\(f(x)\) como\(x\) enfoques\(a\) es el valor que se\(f(x)\) acerca como\(x\) enfoques\(a\)

cálculo multivariable: el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables

secante: Una línea secante a una función\(f(x)\) en\(a\) es una línea a través del punto (\(a,f(a)\)) y otro punto en la función; la pendiente de la línea secante viene dada por\(m_{sec}=\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}\)

tangente: Una línea tangente a la gráfica de una función en un punto (\(a,f(a)\)) es la línea que las líneas secantes a través de (\(a,f(a)\)) se acercan a medida que se toman a través de puntos en la función con\(x\) -valores que se acercan\(a\); la pendiente de la línea tangente a una gráfica\(a\) mide la velocidad de cambio de la función en\(a\)