2.4: Otras axiomatizaciones

Objetivos de aprendizaje

• Postulados de Einstein
• Postulados de Laurent

Postulados de Einstein

Einstein utilizó una axiomatización diferente en su trabajo de 1905 sobre la relatividad especial: ¹

E1: Principio de relatividad

Las leyes de la electrodinámica y la óptica son válidas para todos los marcos de referencia para los que las ecuaciones de la mecánica se mantienen buenas.

E2: Propagación de la luz

La luz siempre se propaga en el espacio vacío con una velocidad definida\(c\) que es independiente del estado de movimiento del cuerpo emisor.

Estos deben complementarse con nuestros P2 y P3. El enfoque de Einstein se ha seguido servilmente en muchas presentaciones posteriores de libros de texto, a pesar de que el papel especial que asigna a la luz no es consistente con cómo piensan los físicos modernos sobre la estructura fundamental de las leyes de la física. (En 1905 no hubo otro fenómeno conocido por el que viajar\(c\).) Einstein no declaró explícitamente nada como nuestro P2 (planitud), ya que aún no había desarrollado la teoría de la relatividad general ni la idea de representar la gravedad en la relatividad como curvatura espacio-temporal. Cuando publicó la teoría general, describió la distinción entre relatividad especial y general como una generalización de la clase de marcos de referencia aceptables para incluir marcos acelerados así como inerciales. Esta descripción no ha resistido la prueba del tiempo, y hoy los relativistas utilizan la planitud como criterio distintivo. En particular, no es cierto, como a veces todavía se oye afirmar, que la relatividad especial sea incompatible con los marcos de referencia acelerados.

Tiempo máximo

Otro enfoque, presentado, por ejemplo, por Laurent, ² combina nuestro P2 con lo siguiente:

t1: Métrico

Existe un producto interno. El tiempo adecuado se mide por la raíz cuadrada del producto interno de una línea mundial consigo misma.

T2: Tiempo máximo adecuado

El movimiento inercial da una línea mundial a lo largo de la cual el tiempo adecuado está en un máximo con respecto a pequeños cambios en la línea mundial. El movimiento inercial es modelado por vectores y paralelismo, y este aparato vector-espacio tiene las propiedades algebraicas habituales en relación con el producto interno al que se hace referencia en T1, p. ej.\[a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\]

Conceptualmente, T2 es similar a definir una línea como el camino más corto entre dos puntos, excepto que definimos una geodésica como la más larga (cuatro nuestra\(+---\) firma).

Comparación de los Sistemas

Es útil comparar las axiomatizaciones\(P\),\(E\), y\(T\) de las secciones 2.1 a 2.4 entre sí para obtener una idea de cuánto “margen de maniobra” hay en la construcción de teorías del espacio-tiempo. Al ser lógicamente equivalentes, cualquier afirmación que ocurra en una axiomatización puede ser probada como teorema en cualquiera de las otras. Por ejemplo, podríamos preguntarnos si es posible equipar el espacio-tiempo galileo con una métrica. La respuesta es no, ya que un sistema con una métrica satisfaría los axiomas de sistema\(T\), que lógicamente son equivalentes a nuestro sistema\(P\). La razón subyacente de esto es que en el espacio-tiempo galileo no existe una manera natural de comparar las escalas de distancia y tiempo.

O podríamos preguntarnos si es posible componer variaciones sobre el tema de la relatividad especial, teorías alternativas cuyas propiedades difieren de alguna manera. El sistema\(P\) muestra que sería poco probable que esto tuviera éxito sin violar la simetría del espacio-tiempo. Otro ejemplo interesante es la relatividad doblemente especial de Amelino-Camelia, ³ en la que tenemos tanto una velocidad\(c\) invariante como una longitud\(p\) invariante\(L\), que se supone que es la longitud de Planck:

\[L=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}.\]

La invarianza de esta longitud contradice la existencia de contracción de longitud. Para que su teoría funcione, Amelino-Camelia está obligado a asumir que los vectores energía-impulso (Sección 4.3) tienen su propio producto interno especial que viola las propiedades algebraicas a que se refiere T2.

Referencias

1. Parafraseado de la traducción de W. Perrett y G.B. Jeffery.
2. Bertel Laurent, Introducción al espacio-tiempo: un primer curso sobre relatividad
3. Relatividad en espacio-tiempos con estructura de corta distancia regida por una escala de longitud independiente del observador (Planckian)