4.E: Dinámica (Ejercicios)

Q1

Criticar el siguiente razonamiento.

La temperatura es una medida de la energía por átomo. En la física no relativista, hay una temperatura mínima, que corresponde a cero energía por átomo, pero no máxima. En la relatividad, debería haber una temperatura máxima, que sería la temperatura a la que se mueven todos los átomos\(c\).

Q2

En una televisión anticuada de tubo de rayos catódicos (CRT), los electrones se aceleran a través de una diferencia de voltaje que normalmente es aproximadamente\(20\: kV\). ¿A qué fracción de la velocidad de la luz se mueven los electrones?

Q3

En la desintegración beta nuclear, un electrón o antielectrón se emite típicamente con una energía del orden de\(1\: MeV\). En desintegración alfa, la partícula alfa normalmente tiene una energía de aproximadamente\(5\: MeV\). En cada caso, hacer una estimación aproximada de si la partícula es no relativista, relativista o ultrarelativista.

Q4

Supongamos que la nave estelar Enterprise de Star Trek tiene una masa de\(8.0 × 10^7\: kg\), aproximadamente la misma que la Reina Isabel 2. Calcular la energía cinética que tendría que tener si se estuviera moviendo a la mitad de la velocidad de la luz. Compare con el contenido total de energía de los arsenales nucleares del mundo, que se trata\(10^{21}\: J\).

Q5

Los neutrinos de rayos cósmicos pueden ser las partículas materiales más rápidas del universo. En 2013 el detector de neutrinos IceCube en la Antártida detectó dos neutrinos, ¹ apodado Bert y Ernie, después de los personajes de Barrio Sésamo, con energías en el barrio de\(1\: PeV = 10^{15}\: eV\). La mayor energía era la de Ernie\(1.14±0.17\: PeV\). No se sabe qué tipo de neutrino era, ni tenemos masas exactas para neutrinos, pero supongamos\(m = 1\: eV\). Encuentra la rapidez de Ernie.

Q6

Las historias de ciencia ficción suelen representar naves espaciales viajando a través de sistemas solares a velocidades relativistas. El espacio interplanetario contiene un número significativo de pequeñas partículas de polvo, y una nave así barría estas partículas de polvo fuera de un gran volumen de espacio, impactándolas a altas velocidades. Un experimento de 1975 a bordo de la estación espacial Skylab midió la frecuencia de impactos de tales objetos y encontró que un metro cuadrado de superficie expuesta experimentó un impacto de una partícula con una masa de\(\sim 10^{-15}\: kg\) aproximadamente cada pocas horas. Un objeto relativista, barriendo el espacio mucho más rápidamente, experimentaría tales impactos a velocidades de más como uno cada pocos segundos. (Las partículas más grandes son significativamente más raras, con la frecuencia cayendo como algo así como\(m^{-8}\).) Estas partículas no dañaron a Skylab, porque a velocidades relativas de\(\sim 10^{4}\: m/s\) sus energías cinéticas estaban en el orden de los microjulios. A velocidades relativistas sería una historia diferente. Las naves espaciales del mundo real son livianas y bastante frágiles, por lo que probablemente habría graves consecuencias por cualquier impacto que tenga una energía cinética de aproximadamente\(10^2\: J\) (comparable a una bala de una pistola pequeña).

1. Encuentra la velocidad a la que una nave espacial podría atravesar un sistema solar si se aceptaran\(10^2\: J\) colisiones frecuentes, asumiendo que ningún objeto con una masa de más de\(10^{-15}\: kg\). Expresa tu resultado relativo a\(c\).
2. Encuentra la velocidad bajo los parámetros más conservadores de\(10\: J\) y\(10^{-14}\: kg\).

Q7

Ejemplo 3.5.1 deriva la ecuación

\[x = \frac{1}{a} \cosh a\tau\]

para una partícula que se mueve con aceleración constante. (Obsérvese que una constante de integración se tomó como cero, por lo que\(x \neq 0\) en\(τ = 0\).)

1. Reescribir esta ecuación en unidades métricas insertando los factores necesarios de\(c\).
2. Si tuviéramos un cohete capaz de acelerar indefinidamente en\(g\), ¿cuánto tiempo se necesitaría para recorrer la distancia\(∆x = 27,000\) años luz hasta el centro galáctico? (Esto será un flyby, por lo que el barco acelera todo el camino en lugar de desacelerar para detenerse en su destino). Respuesta: 11 años
3. Un observador en reposo relativo a la galaxia explica el tiempo sorprendentemente corto calculado en la parte b como debido a la dilatación temporal experimentada por el viajero. ¿Cómo lo explica el viajero?

Q8

Demostrar, como se afirma en la sección 4.7, que si existen taquiones, entonces es posible tener dos taquiones cuyos vectores de impulso suman cero.

Q9

1. Un neutrón libre (a diferencia de un neutrón unido a un núcleo atómico) es inestable y sufre una desintegración radiactiva espontánea en un protón, un electrón y un antineutrino. Las masas de las partículas involucradas son las siguientes:

neutrones	\(1.67495×10^{-27}\) kg
protón	\(1.67265×10^{-27}\) kg
electrón	\(0.00091×10^{-27}\) kg
antineutrino	\ (< 10^ {-35} kg

Encuentra la energía liberada en la descomposición de un neutrón libre.

2. Los neutrones y protones constituyen esencialmente toda la masa de la materia ordinaria que nos rodea. Observamos que el universo que nos rodea no tiene neutrones libres, sino muchos protones libres (los núcleos de hidrógeno, que es el elemento\(90\%\) del que está hecho el universo). Encontramos neutrones solo dentro de núcleos junto con otros neutrones y protones, no por su cuenta. Si hay procesos que pueden convertir neutrones en protones, podríamos imaginar que también podría haber conversiones protón a neutrón, y de hecho tal proceso ocurre a veces en núcleos que contienen tanto neutrones como protones: un protón puede descomponerse en un neutrón, un positrón y un neutrino. Un positrón es una partícula con las mismas propiedades que un electrón, excepto que su carga eléctrica es positiva. Un neutrino, como un antineutrino, tiene una masa insignificante. Si bien tal proceso puede ocurrir dentro de un núcleo, explique por qué no puede sucederle a un protón libre. (Si pudiera, el hidrógeno sería radiactivo, ¡y tú no existirías!)

Q10

1. Encontrar una ecuación relativista para la velocidad de un objeto en términos de su masa e impulso (eliminando\(γ\)).
2. Demuestra que tu resultado es aproximadamente el mismo que el valor clásico\(p/m\),, a bajas velocidades.
3. Demuestre que momentos muy grandes dan como resultado velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Q11

Expandir la ecuación para la energía cinética relativista\(K = m(γ - 1)\) en una serie de Taylor y encontrar los dos primeros términos que no se desvanecen. Mostrar que el primer término es la expresión no relativista.

Q12

Expande la ecuación\(p = mγv\) en una serie de Taylor y encuentra los dos primeros términos que no se desvanecen. Demostrar que el primer término es la expresión clásica.

Q13

Un átomo en estado excitado emite un fotón, terminando en un estado inferior. El estado inicial tiene masa\(m_1\), el último\(m_2\). A una muy buena aproximación, esperamos que la energía\(E\) del fotón sea igual\(m_1 - m_2\). Sin embargo, la conservación del impulso dicta que el átomo debe retroceder de la emisión, y por lo tanto se lleva una pequeña cantidad de energía cinética que no está disponible para el fotón. Encuentra la energía exacta del fotón, en el marco en el que el átomo estaba inicialmente en reposo.

Q14

Las siguientes son las tres formas más comunes en las que los rayos gamma interactúan con la materia:

• Efecto fotoeléctrico: El rayo gamma golpea un electrón, es aniquilado y le da toda su energía al electrón.
• Dispersión de Compton: El rayo gamma rebota en un electrón, saliendo en alguna dirección con cierta cantidad de energía.
• Producción de pares: El rayo gamma es aniquilado, creando un electrón y un positrón.

El Ejemplo 4.3.5 muestra que la producción de pares no puede ocurrir en vacío debido a la conservación del cuatro vector energía-impulso. ¿Y los otros dos procesos? ¿Puede ocurrir el efecto fotoeléctrico sin la presencia de alguna tercera partícula como un núcleo atómico? ¿Puede ocurrir la dispersión de Compton sin una tercera partícula?

Q15

Este problema supone que conoces alguna física cuántica básica. El objetivo de este problema es estimar si un neutrón o protón en un núcleo atómico es o no altamente relativista. Los núcleos suelen tener diámetros de unos pocos\(fm\) (\(1\; fm = 10^{-15}\: m\)). Tomar un neutrón o protón para que sea una partícula en una caja de este tamaño. En el estado base, la mitad de una longitud de onda cabría en la caja. Utilice la relación de Broglie para estimar su impulso típico y, por lo tanto, su velocidad típica. ¿Qué tan relativista es?

Q16

Mostrar, como se afirma en el Ejemplo 4.3.6, que si una partícula sin masa se descomponía, la invarianza de Lorentz requiere que la escala de tiempo\(τ\) para el proceso sea proporcional a la energía de la partícula. ¿Qué unidades tendría la constante de proporcionalidad?

Q17

Derivar la ecuación

\[T = \sqrt{\frac{3\pi }{G\rho }}\]

dada en la sección 4.6, para el periodo de un objeto esférico giratorio que dé como resultado una gravedad aparente cero en su superficie.

Q18

Los neutrinos con energías de\(\sim 1\: MeV\) (la típica escala energética de la física nuclear) constituyen una parte significativa de la materia en nuestro universo. Si un neutrino y un antineutrino se aniquilan entre sí, el producto son dos fotones consecutivos cuyas energías son iguales en el marco del centro de masa. ¿Deberían los astrónomos ser capaces de detectar estos fotones seleccionando solo aquellos con la energía correcta?

Q19

En cierto marco de referencia, un rayo gamma con energía\(E_1\) se mueve hacia la derecha, mientras que una segunda vía gamma con\(E_2\) energía se desplaza hacia la izquierda.

1. Encuentra la masa del sistema.
2. Encuentra la velocidad del cuadro de centro de masa, es decir, el marco de referencia en el que el impulso total es cero.

Q20

En la sección 4.5 probamos la relación trabajo-energía\(dE/dx = F\) en el contexto de la relatividad. Recapitular la derivación en el contexto de la mecánica newtoniana pura.

Q21

En la sección 4.3 se discute la posibilidad de que el fotón tenga una masa pequeña pero distinta de cero\(m\). Una de las consecuencias es que está el campo eléctrico de un plano infinito, cargado uniformemente\(E_x = \pm 2\pi k\sigma exp(-\mu |x|)\), donde\(k\) está la constante de Coulomb,\(σ\) es la carga por unidad de área\(\mu = mc/\hbar\),, y\(x\) es la distancia desde el plano. Cuando\(m = 0\), recuperamos el resultado del electromagnetismo estándar. El propósito de este problema es analizar un experimento de laboratorio que pueda poner un límite superior\(m\).

Considera una caja rectangular, hueca, conductora con carga colocada sobre ella. Si\(m = 0\), entonces la ley de Gauss se mantiene, y el campo interior es exactamente cero. Consideramos ahora la posibilidad de eso\(m > 0\). Hacemos la caja muy delgada en la\(x\) dirección, con lados localizados en\(x = ±a\). Nos referimos a estos dos lados como las “placas”. La extensión de la caja en las\(z\) direcciones\(y\) y es mucho mayor que a, por lo que la densidad de carga σ en cada una de las dos placas es casi constante siempre y cuando nos mantengamos alejados de los campos marginales en los bordes. Considera un punto ubicado en\(x = b\), con\(0 < b < a\), y lejos de los bordes. Demostrar que existe un campo interior que no se desvanece, que se puede medir en este experimento por la diferencia fraccionaria en el potencial eléctrico

\[\frac{V(a) - V(b)}{V(a)} \approx \frac{1}{2}m^2(a^2 - b^2) + \cdots\]

donde... indica términos de orden superior.

Observación: El experimento es más práctico cuando se lleva a cabo utilizando una geometría esférica, ya que no hay campos de flecos de los que preocuparse. El análisis sale igual salvo que el factor de\(1/2\) se convierte\(1/6\). Experimentos de este tipo fueron realizados por primera vez por Cavendish en 1722, y luego con un seris de mejoras de precisión en orden de magnitud por Plimpton en 1936 y Williams en 1971.

Q22

El potasio\(40\) es la fuente más fuerte de radiactividad beta natural en nuestro entorno. Se desintegra según

\[^{40}\textrm{K} \rightarrow ^{40}\textrm{Ca} + e^{-} + \bar{v}\]

La energía liberada en la decadencia es\(1.33\: MeV\). La energía se comparte aleatoriamente entre los productos, sujeta a la restricción impuesta por la conservación del impulso energético, que dicta que muy poca de la energía es transportada por el núcleo de calcio en retroceso. Determinar la energía máxima del calcio, y comparar con la energía típica de un enlace químico, que es de unos pocos\(eV\). Si el potasio es parte de una molécula, ¿esperamos que la molécula sobreviva? Realizar el cálculo primero asumiendo que el electrón es ultrarelativista, luego sin la aproximación, y comentar lo buena que es la aproximación.

Q23

Los productos de una cierta desintegración radiactiva son una partícula masiva y un rayo gamma.

1. Demostrar que, en el marco del centro de masa, la energía de la gamma es menor que la masa-energía de la partícula masiva.
2. Demostrar que la desigualdad opuesta se mantiene si comparamos la energía cinética de la partícula masiva con la energía de la gamma.
3. Supongamos que alguien le dice que cierta partícula masiva tiene un modo de desintegración radiactiva en el que desaparece, y el único producto es un rayo gamma —no existe ninguna partícula masiva residual. Usa el resultado de la parte a para demostrar que esto es imposible, y luego ver si puedes encontrar un argumento más simple para demostrar lo mismo.

Referencias

¹ arxiv.org/abs/1304.5356