6.4: Dualidad

Objetivos de aprendizaje

• Explicar el concepto de dualidad

Dualidad en 3+1 dimensiones

En nuestro ejemplo original$0 + 1$ -dimensional del reloj de cuco y la tierra, teníamos dualidad: las medidas$c\to e = 24$ y$e\to c = 1/24$ realmente proporcionábamos la misma información, y no importaba si hicimos nuestro escalar de covector$c\to$ y vector$\to e$ o covector$e\to$ y vector$\to c$. Todas estas cantidades eran simplemente velocidades de reloj, las cuales podían describirse ya sea por sus frecuencias (covectores) o por sus periodos (vectores).

Para generalizar esto a$3+1$ dimensiones, necesitamos usar la métrica, una pieza de maquinaria que nunca hemos tenido que emplear desde el comienzo del capítulo. Dado un vector$\to r$, supongamos que sabíamos producir su versión de covector$r\to$. Entonces podríamos enganchar la plomería para formar$r\to r$, que es solo un número. ¿Qué número podría ser? La única posibilidad razonable es la magnitud cuadrada de$r$, que calculamos usando la métrica como$r^2 = g(r,r)$. Dado que podemos pensar en los covectores como funciones que llevan vectores a números reales, claramente$r\to$ debería ser la función$f$ definida por$f(x) = g(r,x)$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding the dual of a given vector

Dado el vector$\to v = (3,4)$ en coordenadas$1 + 1$ -dimensionales de Minkowski, encuentra el covector$v\to$, es decir, es dual.

Nuestro objetivo es escribir una expresión explícita para el covector en forma de componente,

$$v\to = (a,b)$$

Para definir estos componentes, tenemos que tener alguna base en mente, consistente en una vez como observador-vector$o$ y un vector espacial de simultaneidad$s$. Ya que estamos haciendo esto en las coordenadas de Minkowski (sección 1.2), vamos a anotar estos como$\to \hat{t}$ y$\to \hat{x}$, donde los sombreros indican que estos son vectores unitarios en el sentido de que$\hat{t}^2 = 1$ y$\hat{x}^2 = -1$. Escribir$v\to$ en términos de$a$ y$b$ significa que nos estamos identificando$v\to$ con la función$f$ definida por$f(x) = g( v,x)$. Por lo tanto

$$f(\to \hat{t}) = a\; \text{and}\; f(\to \hat{x}) = b$$

o

$$g(\to v ,\to \hat{t}) = 3 = a\; \; \text{and}\; \; g(\to v,\to \hat{x}) = -4 = b$$

El resultado del formidable cálculo de aspecto fantasía en Ejemplo$\PageIndex{1}$ fue simplemente tomar el vector$(3,4)$ y flip el signo de su componente espacial para dar el su dual, el covector$(3,-4)$. Mirando hacia atrás a por qué sucedió esto, fue porque estábamos usando las coordenadas de Minkowski, y en las coordenadas de Minkowski la forma de la métrica es

$$g(p,q) = (+1)p_tq_t + (-1)p_xq_x + ....$$

Por lo tanto, siempre podemos encontrar duales de esta manera, siempre que

1. estamos usando las coordenadas de Minkowski, y
2. la firma de la métrica es, como se supone a lo largo de este libro$+---$,, no$-+ ++$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Going both ways

Asume las coordenadas y la firma de Minkowski$+---$. Dado el vector

$$\to e = (8,7)$$

y el covector

$$f \to = (1,2)$$

encontrar$e\to$ y$\to f$.

Solución

Por la regla establecida anteriormente, podemos encontrar$e\to$ simplemente por flipping el signo de la$7$,

$$e \to = (8,-7)$$

Para encontrar$\to f$, tenemos que preguntarnos qué vector$(a,b)$, si volamos el signo de$b$, nos daría$(a,-b) = (1,2)$. Obviamente esto es

$$\to f = (1,-2)$$

En otras palabras, flipping el signo de la parte espacial de un vector es también la receta para cambiar covectores en vectores.

Ejemplo$\PageIndex{2}$ muestra que en las coordenadas de Minkowski, la operación de cambiar un covector al vector correspondiente es la misma que la de cambiar un vector a su covector. Así, el dual de un dual es lo mismo con lo que empezaste. Al respecto, la dualidad es similar a las operaciones aritméticas como$x\to -x$ y$x\to 1/x$. Es decir, la dualidad es una operación autoinversa —se deshace a sí misma, como conseguir dos operaciones de cambio de sexo seguidas, o cambiar de partidos políticos dos veces en un país que tiene un sistema bipartidista. La notación de Birdtracks hace que esta propiedad autoinversa parezca obvia, ya que la dualidad significa cambiar una flecha hacia adentro a una hacia afuera o viceversa, y claramente hacer dos de tales interruptores devuelve la notación original. Esta propiedad se estableció en Ejemplo$\PageIndex{2}$ mediante el uso de coordenadas de Minkowski y asumiendo que la firma sea$+---$, pero se mantiene sin estos supuestos.

En el caso general donde las coordenadas pueden no ser Minkowski, el análisis anterior se desarrolla de la siguiente manera. Los covectores y vectores están representados por vectores de fila y columna. La métrica puede ser especificada por una matriz de$g$ manera que el producto interno de la columna vectores$p$ y$q$ está dado por$p^T gq$, donde$T$ representa la transposición. Recorriendo la misma lógica con estas complicaciones adicionales, encontramos que el dual de un vector$q$ es$(gq)^T$, mientras que el dual de un covector$ω$ es$(ωg^{-1})^T$, donde$g{-1}$ está el inverso de la matriz$g$.

Cambio de base

Vimos en la Sección 6.2 que en$0 + 1$ dimensiones, vectores y covectores tiene propiedades de escalado opuestas bajo un cambio de unidades, por lo que cambiar nuestra unidad base de horas a minutos provocó que nuestros covectores de frecuencia subieran en un factor de$60$, mientras que nuestros vectores de tiempo bajaron por el mismo factor. Este comportamiento fue necesario para mantener los productos escalares iguales. En más de una dimensión, la noción de unidades cambiantes se sustituye por la de un cambio de base. En álgebra lineal, los vectores de fila y los vectores de columna actúan como covectores y vectores; son duales entre sí. Let$B$ Ser una matriz hecha de vectores de columna, que representan una base para el espacio columna-vector. Entonces un cambio de base para un vector de fila$r$ se expresa como$r' = rB$, mientras que el mismo cambio de base para un vector de columna$c$ es$c' = B^{-1} c$. Luego encontramos que el producto escalar no se ve afectado por el cambio de base, ya que$r'c' = rBB^{-1}c = rc$.

En el importante caso especial donde$B$ se encuentra una transformación de Lorentz, esto significa que los covectores se transforman bajo la transformación inversa, que se puede encontrar flipping el signo de$v$. Este hecho será importante en la siguiente sección.