6.1: Frecuencia

Objetivos de aprendizaje

• Explicar la hora y el reloj

Este capítulo y el anterior tienen títulos físicos buenos y sólidos. Inercia. Olas. Pero subyacente al contenido físico hay un hilo de matemáticas diseñado para enseñarte un lenguaje para describir el espacio-tiempo. Sin este lenguaje, las complicaciones de la relatividad se van acumulando rápidamente y se vuelven inmanejables. En la sección 5.2, vimos que hay razones físicamente convincentes para cambiar de un lado a otro entre diferentes sistemas de coordenadas, diferentes formas de adjuntar nombres a los eventos que componen el espacio-tiempo. Un niño pequeño de una familia bilingüe obtiene una retribución por cambiar de ida y vuelta entre pedirle dulces a Mamá en español y alertar a papá en inglés de que Barbie necesita ser rescatada de caerse del sofá. Ella puede rebotar de un lado a otro entre los dos idiomas en una sola oración, un hábito que los lingüistas llaman “cambio de código”. En la relatividad, necesitamos construir fluencia en un lenguaje que nos permita hablar de fenómenos reales sin colgarnos en el sistema de nomenclatura.

¿El tiempo es constante?

La tarea de nomenclatura más simple está en\(0 + 1\) dimensiones: una línea de tiempo como las de la clase de historia. Si nombramos los puntos en el tiempo\(A, B, C, ...\) o\(1, 2, 3, ...\), o Bush, Clinton, Bush,..., ¿cómo sabemos que estamos marcando intervalos de tiempo iguales? ¿Tiene sentido imaginar que el tiempo mismo podría acelerarse y disminuir la velocidad, o incluso comenzar y detenerse? La segunda ley de la termodinámica nos anima a pensar que podría. Si el universo hubiera existido por un tiempo infinito, entonces la entropía se habría maximizado —hace mucho tiempo, presumiblemente— y no existiríamos, porque la muerte por calor del universo ya habría ocurrido.

Experimentos de comparación de relojes

Pero, ¿qué significaría empíricamente que la tasa de flujo del tiempo varíe? A menos que podamos relacionarlo con los resultados de los experimentos, no es más que metafísica de tasa de corte. En una película de Hollywood donde el tiempo podría detenerse, los guionistas nos mostrarían la parada a través de los ojos de un observador, que pasearía por cascadas congeladas y balas instantáneas a mediados del vuelo. El cerebro del observador es una especie de reloj, y también lo es la cascada. Nos quedamos con lo que se conoce como experimento de comparación de relojes. Hasta la fecha, todos los experimentos de comparación de relojes han dado resultados nulos. Matsakis et al. ¹ encontró que los púlsares coinciden con las tasas de relojes atómicos con una deriva de menos de unos\(10^{-6}\) segundos a lo largo de los\(10\) años. Guéna y col. ² observó que los relojes atómicos que utilizaban átomos de diferentes isótopos derivaban entre sí en no más de aproximadamente\(10^{-16}\) por año. Cualquier resultado no nulo habría causado serios problemas para la relatividad. Una de las expectativas en una descripción aristotélica del espacio-tiempo es que el movimiento de los objetos materiales en la tierra se ralentizaría naturalmente en relación con fenómenos celestes como la salida y puesta del sol. La interpretación relativista de la dilatación del tiempo como un efecto sobre el tiempo mismo también depende crucialmente de los resultados nulos de estos experimentos.

Notación de Birdtracks

Como ejemplo simple de comparación de relojes, imaginemos usar la emergencia horaria de un ave mecánica a partir de un reloj de cuco impulsado por péndulo para medir la velocidad a la que gira la tierra. Claramente hay una especie de simetría aquí, ya que igualmente bien podríamos tomar la rotación de nuestro planeta como estándar y usarla para medir la frecuencia con la que el ave sale por la puerta. Esquemáticamente, representemos este proceso de medición con la siguiente notación, que es parte de un sistema llamado birdtracks: ³

\[c \rightarrow e = 24\]

Aquí\(c\) representa el reloj de cuco y e la rotación de la tierra. Aunque la relación de medición es casi simétrica, la flecha tiene una dirección, porque, por ejemplo, la medición del período rotacional de la tierra en términos de la frecuencia del reloj es

\[c \rightarrow e = (1\: hr^{-1})(24\: hr) = 24\]

pero el periodo del reloj en términos de la frecuencia de la tierra es

\[e \rightarrow c = \frac{1}{24}\]

Decimos que la relación no es simétrica sino “dual”. Por cierto, no importa cómo organicemos estos diagramas en la página. Las notaciones\(c \rightarrow e\) y\(e \rightarrow c\) significan exactamente lo mismo, y expresiones como esta pueden incluso dibujarse verticalmente.

Supongamos que\(e\) es un desplazamiento a lo largo de alguna línea unidimensional de tiempo, y queremos pensarlo como la cosa que se está midiendo. Entonces esperamos que el proceso de medición representado por\(c\) produzca un resultado de valor real y sea una función lineal de\(e\). Dado que la relación entre\(c\) y\(e\) es dual, esperamos que\(c\) también pertenezca a algún espacio vectorial. Por ejemplo, los espacios vectoriales permiten multiplicar por un escalar: podríamos duplicar la frecuencia del reloj de cuco haciendo que el ave salga tanto en la media hora como en la hora, formándose\(2c\). La medición debe ser una función lineal de ambos vectores; decimos que es “bilineal”.

Dualidad

Los dos vectores\(c\) y\(e\) tienen diferentes unidades,\(hr^{-1}\) y\(hr\), y habitan dos espacios vectoriales unidimensionales diferentes. El “floavor” del vector se representa por si la flecha entra en él o sale. Así como usamos la notación como\(\overrightarrow{v}\) en la física de primer año para distinguir vectores aparte de los escalares, podemos emplear flechas en la notación de las pistas de pájaros como parte de la notación para el vector, de modo que en lugar de escribir los dos vectores como\(c\) y\(e\), podemos anotarlos como\(c \to\) y\(\to e\). Realizar una medición es como plomería. Unimos las dos “pipas”\(c \to\; \to e\) y simplificamos a\(c \to e\).

Una jungla confusa y no estandarizada de notación y terminología ha crecido alrededor de estos conceptos. Por ahora, vamos a referirnos a un vector como\(\to e\), con la flecha entrando, simplemente como un “vector”, y el tipo\(c \to\) como un “covector”. En el ejemplo unidimensional de la tierra y el reloj de cuco, los papeles que desempeñaban las dos cosas eran completamente equivalentes, y no importaba cuál expresáramos como vector y cuál como covector.

Referencias

¹ Astronomía y Astrofísica 326 (1997) 924, ADSABS.Harvard.edu/Full/1997A&26a... 326.. 924M

² arxiv.org/abs/1205.4235

³ El sistema utilizado en este libro sigue el definido por Cvitanovi'c, que se basó estrechamente en una notación gráfica debida a Penrose. Para una exposición más completa, consulte el artículo de Wikipedia “Notación gráfica Penrose” y el libro en línea de Cvitanovi'c en birdtracks.eu.