6.7: Notación de índice abstracto

Objetivos de aprendizaje

• Desarrollo de alguna notación matemática relacionada con las ondas

Este capítulo se ha centrado en la física de las ondas, pero en el camino nos ha resultado útil construir algunas ideas matemáticas como los covectores, que tienen aplicaciones en un contexto físico mucho más amplio. En esta sección desarrollaremos alguna notación relacionada.

Expresiones en notación de pistas de pájaros como

puede ser incómodo de escribir en una computadora, razón por la cual ya hemos estado recurriendo ocasionalmente a notaciones más lineales como\((∇C)\to s\). Para pistas de pájaros más complicadas, los diagramas a veces parecen complicados esquemas eléctricos, y el problema de generarlos en un teclado se agudiza más. De hecho, existe una manera sistemática de representar cualquier expresión de este tipo utilizando únicamente subíndices y superíndices ordinarios. Esto se llama notación de índice abstracto, y fue introducido por Roger Penrose aproximadamente al mismo tiempo que inventó las huellas para pájaros. Por razones prácticas, fue la notación abstracta del índice lo que captó.

La idea es la siguiente. Supongamos que quisiéramos describir verbalmente una complicada pista para pájaros, para que alguien más pudiera dibujarla. El diagrama estaría conformado por varias partes más pequeñas, una típica parecida al producto escalar\(u\to v\). Las instrucciones verbales podrían ser: “Tenemos un objeto u con una flecha saliendo de él. Como referencia, etiquetemos esta flecha como\(a\). Ahora, ¿recuerdas ese otro objeto que\(v\) te había dibujado antes? Había una flecha entrando en esa, que también etiquetamos como. Ahora conecta las dos flechas etiquetadas como a”.

Acortando esta larga descripción a su mínimo, Penrose lo renderiza así:\(u_a v^a\). Los subíndices representan flechas que salen de un símbolo (piense en el agua que fluye de un tanque a través de una tubería debajo). Los superíndices indican flechas entrando. Cuando se usa la misma letra como superíndice y subíndice, las dos flechas deben ser entubadas juntas.

La notación de índice abstracto evolucionó a partir de una anterior llamada convención de suma de Einstein, en la que los superíndices y subíndices se referían a coordenadas específicas. Por ejemplo, podríamos tomar\(0\) para ser la coordenada de tiempo,\(1\) ser\(x\), y así sucesivamente. Un símbolo como\(u_λ\) indicaría entonces un componente del vector dual\(u\), que podría ser su\(x\) componente si se\(λ\) tomara el valor\(1\). Se sumaron índices repetidos.

La ventaja de las notaciones de pista de aves y índice abstracto es que son independientes de las coordenadas, por lo que una ecuación escrita en ellas es válida independientemente de la elección de coordenadas. Las notaciones de Einstein y abstract-index se ven muy similares, así que por ejemplo si queremos tomar un resultado general expresado en notación abstract-index y aplicarlo en un sistema de coordenadas específico, esencialmente no se requiere traducción. De hecho, las dos notaciones se ven tan similares que necesitamos una forma explícita de decir cuál es cuál, para que podamos decir si un resultado en particular es o no independiente de la coordinación. Por lo tanto, utilizamos la convención de que los índices latinos representan índices abstractos, mientras que los griegos implican un sistema de coordenadas específico y pueden tomar valores numéricos, por ejemplo,\(λ = 1\).

Los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones equivalentes escritas lado a lado en pistas de pájaros y notaciones de índice abstracto.

\(o\)El desplazamiento del observador en el espacio-tiempo es un vector:

\[\to o\; \; \; \; o^a\]

En la notación de Einstein, es incómodo expresar un vector como un todo, porque en una notación como\(o^λ\),\(λ\) se supone que debe tomar un valor particular. Si\(o^λ\) solíamos significar todo el vector, sería un abuso de notación. En la notación abstracta del índice, sin embargo, la a es simplemente un nombre que le dimos a una tubería que entra en vector\(o\); el hecho de que no necesitemos referirnos al nombre para conectarlo a alguna otra tubería es irrelevante.

La frecuencia de una onda es un covector:

\[\omega \to \; \; \; \; \omega _a\]

Un observador experimenta el tiempo adecuado\(τ\):

\[o \to o = \tau ^2 \; \; \; \; o_a o^a = \tau ^2\]

No hay flechas externas en la versión birdtracks, y en la versión abstract-index todos los índices inferiores (pipas que salen) se han emparejado con índices superiores (pipas que entran); esto indica que el tiempo adecuado es un escalar, y por lo tanto independiente de cualquier elección de sistema de coordenadas. En la notación de Einstein, esto se convierte\(o_\lambda o^\lambda\), con una suma implícita sobre el índice repetido,\(\sum _\lambda o_\lambda o^\lambda\). El\(λ\) se refiere a un sistema de coordenadas particular, por lo que en la notación de Einstein ya no es obvio que la ecuación se mantenga independientemente de nuestra elección de coordenadas.

Una línea mundial a lo largo de la cual se propaga una onda se encuentra a lo largo de un vector ortogonal al covector de frecuencia de la onda:

\[\omega \to u = 0 \; \; \; \; \omega _a u^a = 0\]

El covector de frecuencia es el gradiente de la fase:

Las siguientes reglas gramaticales se aplican tanto al índice abstracto como a la notación de Einstein:

1. Los índices repetidos ocurren en pares, con uno arriba y uno hacia abajo y los dos factores multiplicándose entre sí.
2. Sin tener en cuenta los índices que están emparejados como en la regla 1, todos los demás índices deben aparecer uniformemente en todos los términos y en ambos lados de una ecuación. “Aparecer uniformemente” significa que no puede faltar un índice y no puede ser un superíndice en algunos lugares sino un subíndice en otros.
3. Por razones a explicar en la sección 7.4, una derivada parcial con respecto a una coordenada, como por ejemplo\(\partial /\partial x^k\), se trata como si el índice fuera un subíndice, y a la inversa\(\partial /\partial x_k\) se considera que tiene un superíndice\(k\).

En la notación abstracto-índice, sigue la regla 1 porque los índices son simplemente etiquetas que describen cómo, en notación de pistas de pájaros, se deben conectar las tuberías. Violar la regla 1, como en una expresión como\(v^a v^a\), produce una cantidad que en realidad no se comporta como escalar. Un ejemplo de violación a la regla 2 es\(v^a = ω_a\). Esto no tiene sentido, por la misma razón que no tiene sentido equiparar un vector de fila a un vector de columna en álgebra lineal. Aunque una ecuación como esta se sostuviera en un marco de referencia, fallaría en otro, ya que los lados izquierdo y derecho se transforman de manera diferente bajo un impulso.

En la sección 6.4 discutimos la noción de encontrar el covector que era dual a un vector dado, y el vector dual a un covector dado. Debido a que la distinción entre vectores y covectores se representa en notación de índice al colocar el índice en la parte superior o en la parte inferior, los relativistas se refieren a este tipo de cosas como índices de aumento y descenso. En general, este tipo de manipulación se llama “gimnasia índice”. Así es como se ven los índices de subir y bajar.

Conversión de un vector a su forma de covector:

\[u_a = g_{ab}u^b\]

Cambiando un covector al vector correspondiente:

\[u^a = g^{ab}u_b\]

El símbolo\(g^{ab}\) se refiere a la inversa de la matriz\(g_{ab}\).