9.7: Notaciones para tensores

Objetivos de aprendizaje

• Notaciones de revisión
• Introducir nuevas notaciones

Johnny es un niño estadounidense que ha tenido su tierna mente protegida de ciertas realidades históricas, como el estatus político de los esclavos, las mujeres y los nativos americanos en los primeros Estados Unidos. Si Johnny alguna vez intenta leer la Constitución de Estados Unidos, quedará muy confundido por ciertos pasajes, como la infame cláusula de las tres quintas partes que se refiere opaquamente a “todas las demás personas”.

Esta sección opcional está destinada a exponerte a alguna fealdad histórica similar que involucra notación tensora, cuyo conocimiento puede ser útil si aprendes la relatividad general en el futuro. Al igual que en la evolución de la Constitución de Estados Unidos y su interpretación, encontraremos que no todos los cambios han sido mejoras. En esta sección recapitulamos briefly algunas notaciones que ya se han introducido, y también introducimos dos nuevas.

Notación de índice concreto

Un vector de desplazamiento es nuestro ejemplo prototípico de tensor, y el enfoque original del siglo XIX fue asociar este tensor con los cambios en las coordenadas. Los tensores alcanzan su plena importancia en la geometría diferencial, donde el espacio (o espacio-tiempo, en la relatividad general) puede ser curvo, en el sentido definido en la sección 2.2. En este contexto, sólo los desplazamientos infinitesimalmente pequeños califican como vectores; para verlo, imaginen desplazamientos sobre una esfera, que no se desplazan por las razones descritas en la sección 8.3. En pequeñas escalas, la curvatura de la esfera no es aparente, razón por la cual necesitamos hacer nuestros desplazamientos infinitesimales. Así, en este enfoque, el ejemplo más simple de un tensor relativista ocurre si elegimos las coordenadas de Minkowski para describir una región del espacio-tiempo que es lo suficientemente pequeña como para que la curvatura sea insignificante, y asociamos un vector de desplazamiento con una\(4\) -tupla de cambios infinitesimales en las coordenadas:

\[(dt,dx,dy,dz)\]

Hasta alrededor de 1960, esto llevaba la vicilla de la falta de rigor que se cree asociada a los números infinitesimales al estilo Leibniz, pero esta dificultad se resolvió y ya no es un argumento en contra de la notación. ¹

Notación independiente de coordenadas

Una razón más válida para no gustarle la notación de la vieja escuela es que, como se describe en el capítulo 7, es deseable evitar escribir cada línea de las matemáticas en una notación que se refiera explícitamente a una elección de coordenadas. Por lo tanto, podríamos preferir, como Penrose comenzó a abogar alrededor de 1970, anotar este vector en notación independiente de coordenadas como “birdtracks” (sección 6.1),

\[\rightarrow dx\]

o el sinónimo de notación de índice abstracto (sección?? , p.??) ,

\[dx^a\]

donde el uso de la letra latina a significa que no nos estamos refiriendo a ningún sistema de coordenadas, a no toma valores como\(1\) o\(2\), y\(dx^a\) se refiere a todo el objeto\(\rightarrow dx\), no a algún número real o conjunto de números reales.

Desafortunadamente para el estudiante en apuros de la relatividad, ahora hay al menos dos notaciones más en uso, ambas incompatibles de diversas maneras con las que hemos encontrado hasta ahora.

Notación cartense

Nuestra notación que involucra índices superior e inferior desciende de una similar inventada en 1853 por Sylvester. ² En este sistema, los vectores son considerados como cantidades invariantes. Escribimos un vector en términos de una base\({e_µ}\) como\(x = \sum x^\mu e_\mu\). Dado que\(x\) se considera invariante, se deduce que los componentes\(x^µ\) y los vectores base\(e_µ\) deben transformarse de maneras opuestas. Por ejemplo, si convertimos de metros a centímetros, los\(x^µ\) obtenemos cien veces más grandes, lo que se compensa con una contracción correspondiente de los vectores base por\(1/100\).

Esta notación choca con la notación de índice normal de ciertas maneras. Un problema es que no podemos inferir el rango de una expresión contando índices. Por ejemplo,\(x = \sum x^\mu e_\mu\) se anota como si fuera un escalar, pero esto es en realidad una notación para un vector.

Hacia 1930, Élie Cartan aumentó esta notación con un truco que quizás sea un poco demasiado lindo para su propio bien. Señaló que los operadores de diferenciación parcial\(∂/∂x^µ\) podrían ser utilizados como base para un espacio vectorial cuya estructura es la misma que el espacio de vectores ordinarios. En el contexto moderno reescribimos el operador\(∂/∂x^µ\) como\(∂_µ\) y usamos la convención de suma de Einstein, de manera que en la notación Cartan expresamos un vector en términos de sus componentes como

\[x = x^\mu \partial _\mu\]

En la notación Cartan, el símbolo dxµ es secuestrado para representar algo completamente diferente de lo que normalmente hace; se toma para significar el vector dual correspondiente a\(∂_µ\). El conjunto\({dx^µ}\) se utiliza como base para la notación de covectores.

Otro problema con la notación Cartan surge cuando tratamos de utilizarla para el análisis dimensional (ver más abajo).

Notación libre de índices

Independientemente de Penrose y de la comunidad física, los matemáticos inventaron una notación diferente sin coordenadas, una sin índices. En esta notación, por ejemplo, notaríamos la magnitud de un vector no como\(v_a v^b\) o\(g_{ab} v^a v^b\) sino como

\[g(v,v)\]

Esta notación es demasiado torpe para su uso en expresiones complicadas que involucran tensores con muchos índices. Como se muestra en la siguiente sección, tampoco es compatible con la forma en que los físicos están acostumbrados a hacer análisis dimensionales.

Incompatibilidad de Cartan y notación libre de índices con análisis dimensional

En la sección 9.6 desarrollamos un sistema de análisis dimensional para su uso con notación de índice abstracto. Aquí discutimos los temas que surgen cuando intentamos mezclarnos en otros sistemas notacionales.

Una de las características distintivas de la notación libre de índices es que utiliza notación no multiplicativa para muchos productos tensores que se habrían escrito como multiplicación en notación de índice, por ejemplo, en\(g(v,v)\) lugar de\(v^a v_a\). Esto hace que el sistema sea torpe de usar para el análisis dimensional, ya que estamos acostumbrados a razonar sobre unidades partiendo del supuesto de que las unidades de cualquier término en una ecuación equivalen al producto de las unidades de sus factores.

En la notación cartense tenemos el problema de que ciertas notaciones, como\(dx^µ\), están completamente redefinidas. El resto de esta sección está dedicado a explorar lo que sale mal cuando intentamos extender el análisis de la sección 9.6 para incluir la notación cartense. Deje que vector\(r\) y covector\(ω\) sean duales entre sí, y que\(r\) representen un desplazamiento. En notación Cartana, escribimos estos vectores en términos de sus componentes, en algún sistema de coordenadas, de la siguiente manera:

\[r = r^µ∂_µ\]

\[ω = ω_µdx^µ\]

Supongamos que las coordenadas son Minkowski. Al leer de izquierda a derecha y de arriba a abajo, hay seis cantidades que ocurren en estas ecuaciones. Les atribuimos las unidades\(L^A, L^B, ...L^F\). Si seguimos la regla de que la notación multiplicativa es implicar multiplicación de unidades, entonces

\[A = B + C\]

y

\[D = E + F\]

Para compatibilidad con el sistema en la sección 9.6, las ecuaciones 9.7.6 y 9.7.7 requieren

\[A + D = 2σ\]

y

\[D = 2γ + B\]

Para evitar un choque entre Cartan y notación de índice concreto en un sistema de coordenadas Minkowski, parecería que queremos las siguientes tres condiciones adicionales.

\[F = ξ \text { units of Cartan } dx^µ \text { not to clash with units of } dx^µ\]

\[C = -ξ \text { units of Cartan } ∂µ \text { not to clash with units of the derivative}\]

\[B = ξ \text { units of components in Cartan notation not to clash with units of } dx^µ\]

Tenemos\(6\) incógnitas y\(7\) restricciones, por lo que en general la notación cartense no puede incorporarse a este sistema sin alguna restricción sobre los exponentes\((σ,γ,ξ)\). En particular, requerimos\(ξ = 0\), que no es una opción que la mayoría de los físicos prefieran.

Referencias

¹ Para un desarrollo profundo del uso “de regreso al futuro” de los infinitesimales para este propósito, véase Nowik y Katz, arxiv.org/abs/1405.0984.

² Una descripción moderna fácilmente obtenible se da en Coxeter, Introducción a la geometría.