9.E: Flujo (Ejercicios)

Q1

Reescribe el tensor de energía de estrés de un fluid perfecto en unidades SI. Para el aire a nivel del mar, compare los tamaños de sus componentes.

Q2

Demostrar por cálculo directo que si un\(2\) tensor de rango es simétrico cuando se expresa en un cuadro de Minkowski, la simetría se conserva bajo un impulso.

Q3

Considera el siguiente cambio de coordenadas:

\[t' = -t\]

\[x' = x\]

\[y' = y\]

\[z' = z\]

Esto se llama inversión de tiempo. Al igual que en el Ejemplo 9.2.3, encuentra el efecto sobre el tensor estres-energía.

Q4

Demuestre que en las coordenadas de Minkowski en el espacio-tiempo flat, todos los símbolos de Christoffel desaparecen.

Q5

Mostrar que si la ecuación diferencial para geodésicas se satisface para un parámetro afín\(λ\), entonces también se satisface para cualquier otro parámetro afín\(λ' = aλ+b\), donde\(a\) y\(b\) son constantes.

Q6

Este problema investiga un conflicto notacional en la descripción del tensor métrico usando notación de índice. Supongamos que tenemos dos métricas diferentes,\(g_{µν}\) y\(g'_{µν}\). La diferencia de dos\(2\) tensores de rango también es un\(2\) tensor de rango, por lo que nos gustaría que la cantidad\(\partial g_{\mu \nu } = g'_{\mu \nu } - g_{\mu \nu }\) fuera un tensor de buen comportamiento tanto en sus propiedades de transformación como en su comportamiento cuando manipulamos sus índices. Ahora también tenemos\(g_{µν}\) y\(g'_{µν}\), que se definen como las inversas matriciales de sus contrapartes de índice inferior; esta es una propiedad especial de la métrica, no de\(2\) tensores de rango en general. Entonces podemos definir\(\partial g^{\mu \nu } = g'^{\mu \nu } - g^{\mu \nu }\).

1. Usa un ejemplo sencillo para mostrar eso\(\partial g_{\mu \nu }\) y\(\partial g^{\mu \nu }\) no se pueden computar unos de otros de la manera habitual subiendo y bajando índices.
2. Encuentra la relación general entre\(\partial g_{\mu \nu }\) y\(\partial g^{\mu \nu }\).

Q7

En la sección 9.5, analizamos la paradoja de la nave espacial Bell utilizando el escalar de expansión y el teorema de Herglotz-Noether. Supongamos que realizamos un análisis similar, pero con la congruencia definida por\(x^2 - t^2 = a^{-2}\). La motivación para considerar esta congruencia es que sus líneas mundiales tienen una aceleración constante y adecuada\(a\), y cada una de esas líneas mundiales tiene un valor constante de la coordenada\(X\) en el sistema de coordenadas aceleradas (coordenadas de Rindler) descrito en la sección 7.1. Demostrar que el tensor de expansión se desvanece. La interpretación es que es posible aplicar un conjunto cuidadosamente planificado de fuerzas externas a una varilla recta para que acelere a lo largo de su propia longitud sin ningún esfuerzo, es decir, sin dejar de ser Nacido-rígido.