10.5: Invariantes

Objetivos de aprendizaje

• Invariantes y campo electromagnético

Hemos visto casos antes en los que se puede formar un invariante a partir de un$1$ tensor de rango. El cuadrado del tiempo adecuado correspondiente a un desplazamiento espacio-temporal similar al tiempo$\vec{r}$ es$\vec{r}\cdot\vec{r}$ o, en la notación de índice introducida en la sección,$r^ar_a$. A partir del tensor momentum podemos construir el cuadrado de la masa$p^ap_a$.

Hay buenas razones para creer que algo similar se puede hacer con el tensor de campo electromagnético, ya que los campos electromagnéticos tienen ciertas propiedades que se conservan cuando cambiamos de fotogramas. Específicamente, una onda electromagnética consiste en campos eléctricos y magnéticos que son iguales en magnitud y perpendiculares entre sí. Una onda electromagnética que sea una solución válida a las ecuaciones de Maxwell en un cuadro también debería ser una onda válida en otro marco. Se puede demostrar que las dos cantidades siguientes son invariantes:

$$P = B^2 - E^2$$

y

$$Q = \vec{E}\cdot \vec{B}$$

El hecho de que estos se escriban como productos vectoriales dot de tres vectores muestra que son invariantes bajo rotación, pero también queremos mostrar que son escalares relativistas, es decir, invariantes bajo potenciadores también. Para probarlo, podemos escribirlos ambos en notación tensora. El primer invariante puede expresarse como$P=\frac{1}{2}\mathcal{F}^{ab}\mathcal{F}_{ab}$, mientras que el segundo es igual$Q=\frac{1}{4}\epsilon^{abcd}\mathcal{F}_{ab}\mathcal{F}_{cd}$, donde$\epsilon^{\kappa\lambda\mu\nu}$ está el tensor Levi-Civita.

Un campo para el que ambos$P=Q=0$ se denomina campo nulo. Una onda plana electromagnética es un campo nulo, y aunque esto es fácilmente verificable a partir de las definiciones de$P$ y$Q$, hay una razón más profunda por la que esto debería ser cierto, y esta razón se aplica no solo a las ondas electromagnéticas sino a otros tipos de ondas, como las ondas gravitacionales. Considere cualquier escalar relativista$s$ que sea una función continua del tensor de campo electromagnético$\mathcal{F}$, es decir, una función continua de los componentes de$\mathcal{F}$'s. $s$Queremos desaparecer cuando$\mathcal{F} = 0$. Dada una onda plana electromagnética, podemos hacer un impulso de Lorentz paralelo a la dirección de propagación de la onda. Bajo tal impulso la onda sufre un desplazamiento Doppler en su longitud de onda y frecuencia, pero además de eso, las ecuaciones de transformación en la sección 10.4 implican que la intensidad de los campos se reduce en cualquier punto dado. Así en el límite de un proceso indefinido de aceleración,$\mathcal{F}\rightarrow 0$, y por tanto$s\rightarrow 0$ también. Pero como$s$ es un escalar, su valor es independiente de nuestro marco de referencia, y así debe ser cero en todos los fotogramas.

$P$y$Q$ son un conjunto completo de invariantes para el campo electromagnético, es decir, que los únicos otros invariantes electromagnéticos son aquellos que pueden determinarse a partir de$P$ y$Q$ o dependen de las derivadas de los campos, no solo sus valores. Para ver eso$P$ y$Q$ estar completos en este sentido, podemos descomponer las posibilidades en casos, según sean$P$ y$Q$ sean cero o distintos de cero, positivos o negativos. Como ejemplo representativo, considere el caso donde$P<0$ y$Q>0$. Primero giramos nuestro marco de referencia para que$\vec{E}$ quede a lo largo del$x$ eje, y$\vec{B}$ se encuentre en el$y$ plano$x$ -. A continuación hacemos un impulso a lo largo del$z$ eje con el fin de eliminar el$y$ componente de$\vec{B}$; las ecuaciones de transformación de campo en la sección 10.4 lo hacen posible porque$|\vec{E}|>|\vec{B}|$. El resultado es que hemos encontrado un marco de referencia en el que$\vec{E}$ y$\vec{B}$ ambos se encuentran a lo largo del$x$ eje positivo. La única información independiente de fotogramas que hay que conocer es la información disponible en este marco, y que consiste en sólo dos números reales positivos,$E_x$ y$B_x$, que se puede determinar a partir de los valores de$P$ y$Q$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: A static null FIeld

Si bien una onda plana electromagnética es un campo nulo, lo contrario no es cierto. Por ejemplo, podemos crear un campo estático nulo a partir de un campo eléctrico estático uniforme y un campo magnético estático uniforme, con los dos campos perpendiculares entre sí.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Another invariant?

$Π$Sea la magnitud cuadrada del vector Poynting,$Π = (\vec{E} × \vec{B}) \cdot (\vec{E} × \vec{B})$. Dado que se$Π$ puede expresar en términos de productos puntuales y productos escalares, se garantiza que es invariante bajo rotaciones. Sin embargo, no es una invariante relativista. Por ejemplo, si hacemos un impulso de Lorentz paralelo a la dirección de una onda electromagnética, la intensidad de la onda cambia, y también lo hace$Π$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: A non-null invariant for electromagnetic waves?

La cantidad$Q^{-1} = \frac{1}{\vec{E}\cdot \vec{B}}$ es claramente una invariante, y no se desvanece para una onda plana electromagnética —de hecho, es infinita para una onda plana. ¿Esto contradice nuestra prueba de que cualquier invariante debe desaparecer para una onda de avión? No, porque solo lo probamos en el caso en el que la invariante se define como una función continua de$F$. Nuestra función$Q{-1}$ es una función discontinua de$F$ cuándo$F = 0$. Tales invariantes discontinuas tienden a no ser muy interesantes. Por supongamos que tratamos de medir$Q^{-1}$, y lo que estamos midiendo pasa a ser una onda electromagnética. Nuestras mediciones de los campos probablemente serán estadísticamente consistentes con cero, y por lo tanto las barras de error en nuestra medición de probablemente$Q^{-1}$ serán infinitamente grandes.