10.E: Electromagnetismo (Ejercicios)

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Q1

Un condensador de placa paralela tiene carga por unidad de área\(±σ\) en sus dos placas. Usa la ley de Gauss para encontrar el campo entre las placas.
Al estilo del Ejemplo 10.4.1, transforma el campo en un marco que se mueve perpendicular a las placas, y verifica que el resultado tenga sentido en términos de las fuentes que están presentes.
Repita el análisis para un marco que se mueva paralelo a las placas.

Q2

Hemos visto ejemplos como la figura 10.1.1 en la que un campo puramente magnético en un cuadro se convierte en una mezcla de campos magnéticos y eléctricos en otro, y también casos como el Ejemplo 10.4.1 en el que un campo puramente eléctrico se transforma en una mezcla. ¿Podemos tener un caso en el que un campo puramente eléctrico en un cuadro se transforme en uno puramente magnético en otro? La manera más fácil de hacer este problema es mediante el uso de invariantes.

Q3

A partir de la Ecuación 10.3.5 para\(\mathcal{F}^{µν}\), bajar un índice para encontrar\(\mathcal{F}^µ\: _ν\). Asume las coordenadas de Minkowski y la firma métrica\(+---\).
Let\(v = γ(1,u_x,u_y,u_z)\), donde\((u_x,u_y,u_z)\) esta la velocidad trievector. Escriba la multiplicación matricial\(F^µ = q\mathcal{F}^µ\:_ν\; v^ν\), y demuestre que el resultado es la ley de fuerza Lorentz.

Q4

En la sección 10.6 presenté una lista de propiedades del tensor de tensión electromagnética, seguida de un argumento en el que el tensor se construye con tres constantes desconocidas\(a\)\(b\), y\(c\), a determinar a partir de esas propiedades. Los valores de\(a\) y\(b\) se derivan en el texto, y el propósito de este problema es terminar demostrándolo\(c = -1\). La idea es tomar el campo de una carga puntual, que sabemos satisface las ecuaciones de Maxwell, para luego aplicar la propiedad 8, que requiere que se\(∂T^{ab}/∂x^a = 0\) mantenga la condición de conservación de energía. Esto funciona muy bien si aplicas esta propiedad a la\(x\) columna de\(T\), en un punto que se encuentra en la\(x\) dirección positiva relativa a la carga.

Q5

Demostrar que el número de condiciones independientes contenidas en las ecuaciones 10.7.8 y 10.7.9 concuerda con el número encontrado en las ecuaciones de Maxwell.

Q6

Demostrar que

\[\frac{\partial \mathcal{F} ^{\mu\nu}}{\partial x^\lambda} + \frac{\partial \mathcal{F} ^{\nu\lambda}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \mathcal{F} ^{\lambda\mu}}{\partial x^\nu} = 0\]

implica que el campo magnético tiene cero divergencia.

Q7

Anote los campos de una onda plana electromagnética que se propaga en la dirección z, eligiendo alguna polarización. No asuma una onda sinusoidal. Demostrar que esta es una solución de

\[\frac{\partial \mathcal{F} ^{\mu\nu}}{\partial x^\nu} = 0\]