10.3: Campos electromagnéticos

Objetivos de aprendizaje

• Explicar el tensor de campo electromagnético

El campo eléctrico

La sección 10.1 mostró que la relatividad requiere fuerzas magnéticas para existir, y la sección 10.2 nos dio un vistazo a lo que esto implica sobre o cómo se transforman los campos eléctricos y magnéticos. Para entender esto de manera más general, enumeremos explícitamente algunas suposiciones sobre el campo eléctrico y veamos cómo conducen a la existencia y propiedades de un campo magnético:

1. Definición del campo eléctrico: En el marco de referencia de un observador inercial\(o\), tomar alguna partícula de prueba estándar cargada, liberarla en reposo y observar la fuerza\(F_o\) (sección 4.5) que actúa sobre la partícula. (El componente temporal de esta fuerza se desvanece.) Entonces el campo eléctrico de tres vectores\(E\) en marco\(o\) se define por\(F_o = qE\), donde fijamos nuestro sistema de unidades tomando algún valor arbitrario para la carga\(q\) de la partícula de prueba.
2. Definición de carga eléctrica: Para cargas distintas a la carga de prueba estándar, tomamos la ley de Gauss como nuestra definición de carga eléctrica.
3. La carga es invariante de Lorentz (sección 1.3).
4. Los campos deben tener leyes de transformación (sección 10.2). Muchas veces ya en nuestro estudio de la relatividad, hemos seguido la estrategia de tomar un vector galileo y tratar de redefinirlo como un vector de cuatro dimensiones en la relatividad. Tratemos de hacer esto con el campo eléctrico. Entonces no tendríamos otra cosa obvia que intentar que cambiar su definición a\(F = qE\), donde\(F = ma\) está el vector de fuerza relativista (sección 4.5), de manera que el campo eléctrico de tres vectores era apenas la parte espacial de\(E\). Porque\(a\cdot v = 0\) para una partícula material, esto implicaría que\(E\) era ortogonal a o para cualquier observador o. Pero esto es imposible, ya que entonces un vector de desplazamiento espacio-tiempo s a lo largo de la dirección de\(E\) sería un vector de simultaneidad para todos los observadores, y sabemos que esto no es posible en relatividad.

El campo magnético

Nuestra situación es muy similar a la encontrada en la sección 9.1, donde encontramos que el conocimiento de la densidad de carga en un cuadro era insuficiente para decirnos la densidad de carga en otros cuadros. Faltaba información, que resultó ser la densidad de corriente. Los problemas que hemos encontrado al definir las propiedades de transformación del campo eléctrico sugieren una situación similar de “falta de información”, y parece probable que la información faltante sea el campo magnético. ¿Cómo debemos modificar los supuestos anteriores para permitir la existencia de un campo magnético además del eléctrico? ¿Qué propiedades podría tener este campo adicional? ¿Cómo lo definiríamos o mediríamos?

Una forma de imaginar un nuevo tipo de campo sería si, además de cargar\(q\), las partículas tuvieran alguna otra característica, llamarla\(r\), y entonces hubiera algún campo completamente separado definido por su acción sobre una partícula con esta “r-ness”. Pero ir por este camino nos lleva a fenómenos no relacionados como la fuerte interacción nuclear.

El tensor de campo electromagnético

La naturaleza de la contradicción a la que se llegó en el apartado anterior es tal que nuestro campo adicional está estrechamente vinculado al eléctrico, y por lo tanto esperamos que actúe sobre carga, no sobre\(r\) -ness. Sin inventar algo nuevo como\(r\) -ness, la única otra propiedad disponible de la partícula de prueba es su estado de movimiento, caracterizado por su vector de velocidad\(v\). Ahora la regla más simple que podríamos imaginar para determinar la fuerza sobre una partícula de prueba sería una lineal, que parecería multiplicación matricial:

\[F = q\mathcal {F}v\]

o en notación de índice,

\[F^a = q\mathcal {F}^a\: _b \: v^b\]

Si bien la forma\(\mathcal {F}^a\: _b\) con un índice superior y otro inferior ocurre naturalmente en esta expresión, a partir de ahora nos resultará más conveniente trabajar con la forma superior-superior\(\mathcal {F}^{ab }\). \(\mathcal {F}\)sería\(4 × 4\), por lo que tendría\(16\) elementos:

\[\begin{pmatrix} \mathcal {F}^{tt} & \mathcal {F}^{tx} & \mathcal {F}^{ty} & \mathcal {F}^{tz}\\ \mathcal {F}^{xt} & \mathcal {F}^{xx} & \mathcal {F}^{xy} & \mathcal {F}^{xz}\\ \mathcal {F}^{yt} & \mathcal {F}^{yx} & \mathcal {F}^{yy} & \mathcal {F}^{yz}\\ \mathcal {F}^{zt} & \mathcal {F}^{zx} & \mathcal {F}^{zy} & \mathcal {F}^{zz} \end{pmatrix}\]

Presumiblemente estos\(16\) números codificarían la información sobre el campo eléctrico, así como alguna información adicional sobre el campo o campos que nos faltaban.

Pero estos no son\(16\) números que podamos elegir libre e independientemente. Por ejemplo, considere una partícula cargada que esté instantáneamente en reposo en el marco de cierto observador, con\(v = (1, 0, 0, 0)\). (En esta situación, la fuerza de cuatro es igual a la fuerza medida por el observador.) El trabajo realizado por una fuerza es positivo si la fuerza está en la misma dirección que el movimiento, negativo si es en sentido contrario, y cero si no hay movimiento. Por lo tanto, el poder\(P = dW/ dt\) en este ejemplo debería ser cero. El poder es el componente temporal del vector de fuerza, lo que nos obliga a tomar\(\mathcal {F}^{tt} = 0\).

De manera más general, considere la restricción cinemática\(a\cdot v = 0\). Cuando requerimos\(a\cdot v = 0\) para cualquiera\(v\), no solo ésta, terminamos con la restricción que\(F\) debe ser antisimétrica, es decir, que cuando la transponemos, el resultado es otra matriz que se parece a la original, pero con todos los signos volteados:

\[\begin{pmatrix} 0 & \mathcal {F}^{tx} & \mathcal {F}^{ty} & \mathcal {F}^{tz}\\ -\mathcal {F}^{tx} & 0 & \mathcal {F}^{xy} & \mathcal {F}^{xz}\\ -\mathcal {F}^{ty} & -\mathcal {F}^{xy} & 0 & \mathcal {F}^{yz}\\ -\mathcal {F}^{tz} & -\mathcal {F}^{xz} & -\mathcal {F}^{yz} & 0 \end{pmatrix}\]

Cada elemento es igual a menos el elemento correspondiente a través de la diagonal principal desde él, y la antisimetría también requiere que la diagonal principal en sí sea cero. En cuanto al concepto de grados de libertad introducido en la sección 3.5, nos encontramos más abajo a\(6\) grados de libertad que\(16\). Ahora reetiquetamos los elementos de la matriz y damos seguimiento con una justificación del reetiquetado. El resultado es el siguiente\(2\) tensor de rango:

\[\mathcal {F}^{\mu \nu}=\begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}\]

A esto le llamaremos el tensor de campo electromagnético. El etiquetado de la columna izquierda simplemente expresa la definición del campo eléctrico, que se expresa en términos de la velocidad\(\vec{v}=(1,0,0,0)\) de una partícula en reposo. A continuación, la fila superior sigue de la antisimetría. Para un vector de velocidad arbitrario, escribir la multiplicación matricial da como\(\mathcal {F}^{\mu} = q\mathcal {F}^{\mu}\: _{\nu} \: v^\nu\) resultado expresiones como\(F^x=\gamma q(E_x+u_yB_z-u_zB_y)\) (problem, p.~). Teniendo en cuenta la diferencia de un factor de\(\gamma\) entre la fuerza de cuatro y la fuerza medida por un observador, terminamos con la conocida ley de fuerza de Lorentz,

\[\vec{F}_{o} = q(\vec{E}+\vec{u}\times\vec{B})\]

donde\(\vec{B}\) esta el campo magnetico. Esto se expresa en unidades donde\(c=1\), de manera que el campo eléctrico y magnético tengan las mismas unidades. En unidades con\(c\ne 1\), los componentes magnéticos de la matriz de campo electromagnético deben multiplicarse por\(c\).

Así, partiendo únicamente de los supuestos anteriores, deducimos que el campo eléctrico debe ir acompañado de un campo magnético.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Parity properties of E and B

En el Ejemplo 9.2.3, vimos que bajo la transformación de paridad\((t, x, y, z) → (t, -x, -y, -z)\), cualquier\(2\) tensor de rango expresado en coordenadas de Minkowski cambia los signos de sus componentes de acuerdo con la misma regla:

\[\begin{pmatrix} \text{no flip} & \text{flip} & \text{flip} & \text{flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \text{flip} & \text{no flip} & \text{no flip} & \text{no flip}\\ \end{pmatrix}\]

Dado que esto se sostiene para el tensor de campo electromagnético\(F\), encontramos que bajo paridad,\(E → -E\) y\(B → B\). Por ejemplo, un condensador que se ve en un espejo tiene su campo eléctrico apuntando de manera opuesta, pero no hay cambio en el campo magnético de un bucle de corriente, ya que la ubicación de cada elemento de corriente se voltea hacia el otro lado del bucle, pero su dirección de flujo también se invierte, de manera que la imagen como todo permanece sin cambios.

¿Qué pasa con la gravedad?

Aparece un divertido rompecabezas si retrocedemos y pensamos en las suposiciones anteriores que entraban en todo esto. Esas suposiciones fueron tan generales que casi parece que el único comportamiento posible para los campos es el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos. Pero otros campos sí se comportan de manera diferente. ¿Cómo fallaron los supuestos en el caso de la gravedad, por ejemplo? La ley de Gauss (supuesto 2) ciertamente se sostiene para la gravedad. Pero la fuente de los campos gravitacionales no es la carga, es la masa-energía, y la masa-energía no es una invariante de Lorentz, contrariamente a la suposición 3. Además, la suposición 1 implicaba que nuestro campo podría definirse en términos de fuerzas medidas por un observador inercial, pero para un observador inercial la gravedad no existe (sección 5.2).