3.1: Introducción a la Geometría Diferencial

La relatividad general se describe matemáticamente en el lenguaje de la geometría diferencial. Tomemos esos dos términos en orden inverso.

La geometría del espacio-tiempo es no euclidiana, no solo en el sentido de que la geometría 3+1-dimensional de los marcos de Lorentz es diferente a la de 4 dimensiones euclidianas intercambiables, sino también en el sentido de que los paralelos no se comportan de la manera descrita por E5 o A1-A3. En un marco de Lorentz, que describe el espacio sin ningún campo gravitacional, las partículas cuyas líneas mundiales son inicialmente paralelas continuarán a lo largo de sus líneas mundiales paralelas para siempre. Pero ante la presencia de campos gravitacionales, inicialmente líneas mundiales paralelas de partículas de caída libre en general divergirán, se acercarán o incluso cruzarán. Así, no se puede asumir ni la existencia ni la singularidad de los paralelismos. No podemos describir esta falta de paralelismo como derivada de la curvatura de las líneas del mundo, porque estamos usando las líneas mundiales de partículas de caída libre como nuestra definición de línea “recta”. En cambio, describimos el efecto como proveniente de la curvatura del espacio-tiempo mismo. La geometría lorentziana es una descripción del caso en el que esta curvatura es insignificante.

¿Y la palabra diferencial? El principio de equivalencia establece que incluso en presencia de campos gravitacionales, existen marcos locales de Lorentz. ¿Qué tan local es “local”? Si usamos un microscopio para acercar regiones cada vez más pequeñas del espacio-tiempo, la aproximación lorentziana se vuelve cada vez mejor. Supongamos que queremos hacer experimentos en un laboratorio, y queremos asegurarnos de que cuando comparamos alguna cantidad físicamente observable con predicciones hechas basadas en la geometría de Lorentz, la discrepancia resultante no será demasiado grande. Si el error aceptable es\(\epsilon\), entonces deberíamos poder bajar el error tan bajo si estamos dispuestos a hacer que el tamaño de nuestro laboratorio no sea mayor que\(\delta\). Esto es claramente muy similar al estilo Weierstrass de definir límites y derivados en el cálculo. En el cálculo, la idea expresada por la diferenciación es que cada curva suave puede aproximarse localmente por una línea; en general la relatividad, el principio de equivalencia nos dice que el espacio-tiempo curvo puede aproximarse localmente por el espacio-tiempo plano. Pero considera que ningún practicante de cálculo resuelve habitualmente problemas rellenando hojas de papel rascar con épsilones y deltas. En cambio, usa la notación Leibniz, en la que dy y dx se interpretan como números infinitesimalmente pequeños. Puedes estar inclinado, en base a tu entrenamiento previo, a descartar a los infinitesimales como ni rigurosos ni necesarios. En 1966, Abraham Robinson demostró que las preocupaciones sobre el rigor habían sido infundadas; volveremos a este punto en la sección 3.3. Si bien es cierto que cualquier cálculo escrito usando infinitesimales también se puede realizar usando límites, el siguiente ejemplo muestra cuánto más se adapta el lenguaje infinitesimal a la geometría diferencial.

Ejemplo 1: Áreas en una esfera

El área de una región S en el plano cartesiano se puede calcular como\(\int_{S}\) dA, donde dA = dx dy es el área de un rectángulo infinitesimal de ancho dx y alto dy. Una superficie curva como una esfera no admite un sistema global de coordenadas cartesianas en el que las curvas de coordenadas constantes estén espaciadas uniformemente y perpendiculares entre sí. Por ejemplo, las líneas de longitud en la superficie terrestre se acercan más a medida que uno se aleja del ecuador. Dejando\(\theta\) ser el ángulo con respecto al polo, y\(\phi\) el ángulo azimutal, el parche aproximadamente rectangular delimitado por\(\theta, \theta + d \theta, \phi\), y\(\phi +d \phi\) tiene ancho r sin\(\theta\) d\(\theta\) y altura r d\(\phi\), dando dA = r ² sin\(\theta\) d\(\theta\) d\(\phi\). Si nos fijamos en la derivación correspondiente en un libro de texto de cálculo elemental que evita estrictamente los infinitesimales, la técnica es comenzar de cero con sumas de Riemann. Esto es sumamente laborioso, y además se debe volver a llevar a cabo para cada nuevo caso. En geometría diferencial, la curvatura del espacio varía de un punto a otro, y claramente no queremos reinventar la rueda con Riemann suma un número infinito de veces, una vez en cada punto del espacio.