3.7: La Métrica (Parte 2)

Isometría, productos internos y el programa Erlangen

En geometría euclidiana, el producto puntual de los vectores a y b viene dado por

\[g_{xx}a_xb_x + g_{yy}a_yb_y + g_{zz}a_zb_z = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z,\]

y en el caso especial donde a = b tenemos la magnitud cuadrada. En la notación tensora,

\[a^\mu b_\nu = a^1b_1 + a^2b_2 + a^3b_3.\]

Al igual que las magnitudes, los productos punteados son invariantes bajo rotaciones. Esto se debe a que conocer el producto punto de los vectores a y b implica conocer el valor de

\[\textbf{a} \cdot \textbf{b} = |\textbf{a}||\textbf{a}| \cos \theta_{\textbf{ab}}\]

y E4 de Euclides (igualdad de ángulos rectos) implica que el ángulo\(\theta_{\textbf{ab}}\) es invariante. Los mismos axiomas también conllevan invarianza de productos punteados bajo traducción; Euclides espera solo hasta la segunda proposición de los Elementos para demostrar que los segmentos de línea pueden copiarse de una ubicación a otra. Esta aparente trivialidad es en realidad falsa como descripción del espacio físico, porque equivale a una afirmación de que el espacio tiene las mismas propiedades en todas partes.

El conjunto de todas las transformaciones que se pueden construir a partir de sucesivas traslaciones, rotaciones y reflexiones se llama el grupo de isometrías. También se puede definir como el grupo que conserva los productos punteados, o el grupo que conserva la congruencia de triángulos.

GRUPOS

En matemáticas, un grupo se define como una operación binaria que tiene identidad, inversas y asociatividad. Por ejemplo, la suma de enteros es un grupo. En el presente contexto, los miembros del grupo no son números sino las transformaciones aplicadas al plano euclidiano. La operación grupal sobre las transformaciones _T1 y _T2 consiste en encontrar la transformación que resulta de hacer una y luego la otra, es decir, composición de funciones.

En la geometría lorentziana, generalmente evitamos el término euclidiano producto punto y nos referimos a la operación correspondiente por el término más general producto interno. En un sistema de coordenadas específico tenemos

\[a^{\mu}b_{\nu} = a^0b_0 - a^1b_1 - a^2b_2 - a^3b_3.\]

El producto interno es invariante bajo los potenciadores de Lorentz, y también bajo las isometrías euclidianas. El grupo que se encuentra haciendo todas las combinaciones posibles de transformaciones continuas a partir de estos dos conjuntos se llama el grupo Poincaré. El grupo Poincaré no es el grupo de simetría de todo el espacio-tiempo, ya que el espacio-tiempo curvo tiene diferentes propiedades en diferentes ubicaciones. El principio de equivalencia nos dice, sin embargo, que el espacio puede aproximarse localmente como plano, por lo que el grupo Poincaré es localmente válido, así como las isometrías euclidianas son localmente válidas como descripción de la geometría en la superficie curva de la Tierra.

Simetría CPT

Las transformaciones discontinuas de reflexión espacial e inversión del tiempo no se incluyen en la definición del grupo Poincaré, aunque sí conservan los productos internos. La relatividad general tiene simetría bajo reflexión espacial (llamada\(P\) paridad), inversión de tiempo (\(T\)) e inversión de carga (\(C\)), pero el modelo estándar de física de partículas solo es invariante bajo la composición de las tres, CPT, no bajo ninguna de estas simetrías individualmente.

Ejemplo 16: La desigualdad del triángulo

En geometría euclidiana, la desigualdad del triángulo | b + c | < | b | + | c | sigue de

\[(|\textbf{b}| + |\textbf{c}|)^{2} - (\textbf{b} + \textbf{c}) \cdot (\textbf{b} + \textbf{c}) = 2 (|\textbf{b}||\textbf{c}| - \textbf{b} \cdot \textbf{c}) \geq 0 \ldotp\]

La razón por la que esta cantidad siempre sale positiva es que para dos vectores de magnitud fija, el mayor producto de punto siempre se logra en el caso de que se encuentren en la misma dirección.

En la geometría lorentziana, la situación es diferente. Que b y c sean vectores similares al tiempo, para que representen posibles líneas mundiales. Entonces la relación a = b + c sugiere la existencia de dos observadores que toman dos caminos diferentes de un evento a otro. A va por una ruta directa mientras que B toma un desvío. La magnitud de cada vector similar al tiempo representa el tiempo transcurrido en un reloj transportado por el observador que se mueve a lo largo de ese vector. El triángulo de igualdad ahora se invierte, convirtiéndose en | b + c | > | b | + | c |. La diferencia con el caso euclidiano surge porque los productos internos ya no se maximizan necesariamente si los vectores están en la misma dirección. Por ejemplo, para dos vectores similares a la luz, b ⁱ c _j desaparece por completo si b y c son paralelos. Para vectores similares al tiempo, el paralelismo en realidad minimiza el producto interno en lugar de maximizarlo.

Prueba

Que b y c sean paralelos y similares al tiempo, y dirigidos hacia adelante en el tiempo. Adoptar un marco de referencia en el que cada componente espacial de cada vector se desvanezca. Esto no conlleva pérdida de generalidad, ya que los productos internos son invariantes bajo tal transformación. Dado que el ordenamiento del tiempo también se conserva bajo transformaciones en el grupo Poincaré, cada uno todavía está dirigido hacia adelante en el tiempo, no hacia atrás. Ahora deje que b y c se alejen del paralelismo, como abrir un par de tijeras en el plano x − t. Esto reduce b _t c _t, mientras que provoca que b _x c _x se vuelva negativo. Ambos efectos aumentan el producto interno.

\(\square\)

En su discurso inaugural de 1872 en la Universidad de Erlangen, Felix Klein utilizó la idea de grupos de transformaciones para diseñar un esquema general de clasificación, conocido como el programa Erlangen, para todos los diferentes tipos de geometría. Cada geometría es descrita por el grupo de transformaciones, llamado el grupo principal, que preserva la verdad de los enunciados geométricos. El grupo principal de la geometría euclidiana consiste en las isometrías combinadas con cambios arbitrarios de escala, ya que no hay nada en los axiomas de Euclides que destaque una distancia particular como unidad de medida. Es decir, el grupo principal consiste en las transformaciones que preservan la similitud, no solo las que preservan la congruencia. El grupo principal de la geometría afina son las transformaciones que preservan el paralelismo; incluye transformaciones de cizallamiento y, por lo tanto, no existe una noción invariante de medida angular o congruencia. A diferencia de la geometría euclidiana y afina, la geometría elíptica no tiene invarianza de escala. Esto se debe a que existe una unidad particular de distancia que tiene un estatus especial; como vimos en el ejemplo 4, un ser que vive en un plano elíptico puede determinar, por métodos completamente intrínsecos, una escala de distancia R, que podemos interpretar en el modelo hemisférico como el radio de la esfera. La relatividad general rompe esta simetría aún más severamente. No sólo hay una escala asociada a la curvatura, sino que la escala es diferente de un punto en el espacio a otro.

Carrusel de Einstein

Geometría no euclidiana observada en el marco giratorio

El siguiente ejemplo fue históricamente importante, porque Einstein lo utilizó para convencerse a sí mismo de que la relatividad general debería ser descrita por geometría no euclidiana. ⁸ Su interpretación también es bastante sutil, y los primeros relativistas tuvieron algunos problemas con ella.

Nota

El ejemplo se describe en la ponencia de Einstein “La Fundación de la Teoría General de la Relatividad”. Un extracto, que incluye el ejemplo, se da en el Apéndice A.

Supongamos que el observador A está en un carrusel giratorio mientras que el observador B está parado en el suelo. B dice que A se está acelerando, pero por el principio de equivalencia A puede decir que está en reposo en un campo gravitacional, mientras que B está cayendo libremente de debajo de ella. B mide el radio y la circunferencia del carrusel, y encuentra que su relación es 2\(\pi\). A realiza medidas similares, pero cuando pone su medidor de palo en la dirección acimutal se vuelve Lorentz contraída por el factor\(\gamma = (1−\omega^{2} r^{2})^{−1/2}\), por lo que encuentra que la relación es mayor a 2\(\pi\). En las coordenadas de A, la geometría espacial no es euclidiana, y la métrica difiere de la euclidiana que se encuentra en el ejemplo 8.

Figura\(\PageIndex{4}\): El Observador A, que gira con el carrusel, mide una distancia acimutal con una regla.

El observador A siente una fuerza que B considera ficticia, pero que, por el principio de equivalencia, A puede decir que es una fuerza gravitacional perfectamente real. Según A, un observador como B cae libremente lejos del centro del disco bajo la influencia de este campo gravitacional. A también observa que la geometría espacial del carrusel es no euclidiana. Por lo tanto, parece razonable conjeturar que la gravedad puede ser descrita por geometría no euclidiana, más que como una fuerza física en el sentido newtoniano.

En este punto, se sabe tanto de este ejemplo como lo hizo Einstein en 1912, cuando comenzó a usarlo como la semilla de la que brotó la relatividad general, colaborando con su antiguo compañero de escuela, el matemático Marcel Grossmann, quien conocía la geometría diferencial. El resto de esta subsección, que tal vez quiera omitir en una primera lectura, entra en más detalle sobre la interpretación y descripción matemática del marco de referencia giratorio. Los tratamientos aún más detallados son dados por Grøn ⁹ y Dieks. ¹⁰

Paradoja de Ehrenfest

Ehrenfest ¹¹ describió la siguiente paradoja. Supongamos que el observador B, en el marco del laboratorio, mide el radio del disco para que sea r cuando el disco está en reposo, y r' cuando el disco está girando. B también puede medir las circunferencias correspondientes C y C'. Debido a que B se encuentra en un marco inercial, la geometría espacial no aparece no euclidiana de acuerdo con las mediciones realizadas con sus palos de medidor, y por lo tanto las relaciones euclidianas C = 2\(\pi\) r y C' = 2\(\pi\) r' se mantienen ambas. Las líneas radiales son perpendiculares a su propio movimiento, y por lo tanto no tienen contracción de longitud, r = r', lo que implica C = C'. El borde exterior del disco, sin embargo, está en todas partes tangente a su propia dirección de movimiento, por lo que es Lorentz contraído, y por lo tanto C' < C. La resolución de la paradoja es que se apoya en la suposición incorrecta de que se puede hacer girar un disco rígido. Si un disco perfectamente rígido inicialmente no giraba, uno tendría que distorsionarlo para ponerlo en rotación, porque una vez que estuviera girando su borde exterior ya no tendría una longitud igual a 2\(\pi\) veces su radio. Por lo tanto, si el disco es perfectamente rígido, nunca se puede girar. Como se discutió anteriormente, la relatividad no permite la existencia de materiales infinitamente rígidos o infinitamente fuertes. Si lo hiciera, entonces se podría violar la causalidad. Si existiera un disco perfectamente rígido, las vibraciones en el disco se propagarían a velocidad infinita, por lo que golpear el disco con un martillo en un lugar daría como resultado la transmisión de información en v > c a otras partes del disco, y entonces existirían marcos de referencia en los que se recibiera la información antes de que se transmitiera. Lo mismo se aplica si el golpecito de martillo se utiliza para impartir movimiento de rotación al disco.

Figura\(\PageIndex{5}\): Einstein y Ehrenfest.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Autocomprobación: ¿Qué pasa si construimos el disco ensamblando los materiales de construcción para que ya estén rotando correctamente antes de que se unan?

La Métrica en el Marco Giratorio

¿Y si tratamos de sortear estos problemas aplicando par uniformemente por todo el disco, para que la rotación comience sin problemas y simultáneamente en todas partes? Luego nos encontramos con temas idénticos a los planteados por la paradoja de la nave espacial de Bell. De hecho, la paradoja de Ehrenfest no es más que la paradoja de Bell envuelta en círculo. Se plantea la misma cuestión de la sincronización horaria.

Para deletrear esto matemáticamente, encontremos la métrica según el observador A aplicando el cambio de coordenadas\(\theta' = \theta − \omega t\). Primero tomamos la métrica euclidiana del ejemplo 8 y la reescribimos como una métrica lorentziana (globalmente) en espacio-tiempo para el observador B,

\[ds^{2} = dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d \theta^{2} \ldotp \label{1} \]

Aplicando la transformación en coordenadas A, encontramos

\[ds^{2} = (1 - \omega^{2} r^{2}) dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d \theta'^{2} - 2 \omega r^{2} d \theta' dt \ldotp \label{2} \]

Reconocer ωr como la velocidad de un fotograma relativo a otro\(\gamma\), y\((1−\omega^{2} r^{2})^{−1/2}\) como, vemos que sí tenemos un efecto relativista de dilatación del tiempo en el\(dt^2\) término. Pero los\(\theta'^{2}\) términos\(dr^2\) y d se ven euclidianos. ¿Por qué no vemos ninguna contracción Lorentz de la escala de longitud en la dirección acimutal?

La respuesta es que las coordenadas en la relatividad general son arbitrarias, y solo porque podamos anotar cierto conjunto de coordenadas, eso no significa que tengan ninguna interpretación física especial. Las coordenadas\((t, r, \theta')\) no corresponden físicamente a las cantidades que A mediría con los relojes y las varitas métricas. El tip-off es el término cruzado d\(\theta'\) dt. Supongamos que A envía dos autos circulando alrededor de la circunferencia del carrusel, uno en sentido horario y otro en sentido antihorario, desde el mismo punto. Si las coordenadas (t, r,\(\theta'\)) correspondieran a las mediciones de reloj y medidor, entonces esperaríamos que cuando los autos se encontraran de nuevo en el otro lado del disco, sus paneles mostraran valores iguales de la longitud del arco r\(\theta'\) en sus odómetros e iguales tiempos adecuados ds en sus relojes. Pero este no es el caso, porque el signo del término d\(\theta'\) dt es opuesto para las dos líneas mundiales. El mismo efecto ocurre si enviamos haces de luz en ambas direcciones alrededor del disco, y este es el efecto Sagnac.

Esto es un síntoma del hecho de que la coordenada t no está correctamente sincronizada entre diferentes lugares del disco. Ya sabemos que no debemos esperar poder encontrar una coordenada de tiempo universal que coincida con cada reloj, independientemente del estado de movimiento del reloj. Supongamos que nos fijamos una meta más modesta. ¿Podemos encontrar una coordenada de tiempo universal que coincida con cada reloj, siempre que el reloj esté en reposo en relación con el disco giratorio?

La métrica espacial y la sincronización de los relojes

Un truco para mejorar la situación es eliminar el\(d \theta'\, dt\) término cruzado completando el cuadrado en la métrica (Ecuación\ ref {2}). El resultado es

\[ds^{2} = (1 - \omega^{2} r^{2}) \left[ dt + \frac{\omega r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta' \right]^{2} - dr^{2} - \frac{r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta'^{2} \ldotp\]

La interpretación de la cantidad entre corchetes es la siguiente. Supongamos que dos observadores se sitúan en el borde del disco, separados por un ángulo infinitesimal d\(\theta'\). Luego sincronizan sus relojes intercambiando pulsos de luz. El tiempo de vuelo, medido en el cuadro de laboratorio, para cada pulso de luz es la solución de la ecuación ds ² = 0, y la única diferencia entre el resultado en sentido horario dt ₁ y el contrario a las agujas del reloj dt ₂ surge del signo de d\(\theta'\). La cantidad entre corchetes es la misma en ambos casos, por lo que la cantidad por la que deben ajustarse los relojes es

\[dt = \frac{(dt_{2} − dt_{1})}{2},\]

o

\[dt = \frac{\omega r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta' \ldotp\]

Sustituyendo esto en la métrica, nos quedamos con la métrica puramente espacial

\[ds^{2} = - dr^{2} - \frac{r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} d \theta'^{2} \ldotp \label{3}\]

El factor de\((1 − \omega^{2} r^{2})^{−1} = \gamma^{2}\) en el\(\theta'^{2}\) término d es simplemente el factor de contracción de Lorentz esperado. En otras palabras, la circunferencia es, como se esperaba, mayor a 2\(\pi\) r por un factor de\(\gamma\).

¿La métrica (Ecuación\ ref {3}) representa la misma geometría espacial no euclidiana que\(A\), girando con el disco, determinaría mediante mediciones de varilla métrica? Sí y no. Se puede interpretar como el que A determinaría por mediciones de radar. Es decir, si A mide un tiempo de viaje de ida y vuelta dt para una señal luminosa entre puntos separados por distancias de coordenadas dr y d\(\theta'\), entonces A puede decir que la separación espacial es\(\frac{dt}{2}\), y tales mediciones serán descritas correctamente por la Ecuación\ ref {3}. Sin embargo, las barras métricas físicas presentan algunos problemas. Las barras métricas que giran con el disco están sujetas a Coriolis y fuerzas centrífugas, y este problema no se puede evitar simplemente haciendo los bastones de medidor infinitamente rígidos, porque los objetos infinitamente rígidos están prohibidos por la relatividad. De hecho, estas fuerzas inevitablemente serán lo suficientemente fuertes como para destruir cualquier palo medidor que se saque a r =\(\frac{1}{\omega}\), donde la velocidad del disco se vuelve igual a la velocidad de la luz.

Podría parecer que ahora podríamos definir una coordenada global

\[T = t + \frac{\omega r^{2}}{1 - \omega^{2} r^{2}} \theta',\]

interpretada como una coordenada de tiempo que se sincronizó de manera consistente para todos los puntos del disco. El problema con esta interpretación se hace evidente cuando imaginamos conducir un automóvil alrededor de la circunferencia del disco, a una velocidad lo suficientemente lenta como para que haya una dilatación de tiempo insignificante del reloj del salpicadero del automóvil en relación con los relojes atados al disco. Una vez que el automóvil vuelve a su posición original,\(\theta'\) ha aumentado en\(2pi\), por lo que ya no es posible que el reloj del automóvil se sincronice con los relojes atados al disco. Concluimos que no es posible sincronizar relojes en un marco de referencia giratorio; si intentamos hacerlo, inevitablemente tendremos que tener una discontinuidad en alguna parte. Este problema se presenta incluso a nivel local, como lo demuestra la posibilidad de medir el efecto Sagnac con aparatos que son pequeños en comparación con el disco. La única razón por la que pudimos salirnos con la sincronización de tiempo para establecer la métrica en la Ecuación\ ref {3} es que todas las manifestaciones físicas de la imposibilidad de sincronización, por ejemplo, el efecto Sagnac, son proporcionales al área de la región en la que se encuentra la sincronización intentó. Como solo estábamos sincronizando dos puntos cercanos, el área encerrada por los rayos de luz era cero.

Ejemplo 17: GPS

Como ejemplo práctico, el sistema GPS está diseñado principalmente para permitir que las personas encuentren sus posiciones relativas a la superficie giratoria de la tierra (aunque también puede ser utilizado por los vehículos espaciales). Es decir, están interesados en sus coordenadas (r,\(\theta', \phi\)). El marco de referencia definido por estas coordenadas se conoce como ECEF, para Centrado en la Tierra, Fijo a la Tierra.

El sistema requiere la sincronización de los relojes atómicos transportados a bordo de los satélites, y esta sincronización también necesita extenderse a los relojes (menos precisos) integrados en las unidades receptoras. Es imposible llevar a cabo dicha sincronización globalmente en el marco giratorio para crear coordenadas (T, r,\(\theta', \phi\)). Si lo intentamos, resultaría en discontinuidades (ver problema 8).

En cambio, el sistema GPS maneja la sincronización del reloj en coordenadas (t, r,\(\theta', \phi\)), como en la Ecuación\ ref {2}. Estas son conocidas como las coordenadas inerciales centradas en la Tierra (ECI). La\(t\) coordenada en este sistema no es la que establecerían los usuarios en puntos vecinos de la superficie terrestre si realizaran la sincronización del reloj utilizando señales electromagnéticas. Es simplemente la coordenada de tiempo del marco de referencia no giratorio atado al centro de la tierra. Conceptualmente, podemos imaginar esta coordenada temporal como una que se establece enviando una señal electromagnética de “tic-tac” desde el centro de la tierra, con cada satélite corrigiendo la fase de la señal en función del tiempo de propagación inferido de su propio r. En realidad, esto se logra mediante la comunicación con una estación maestra de control en Colorado Springs, que se comunica con los satélites a través de relés en Kwajalein, Isla Ascensión, Diego García y Cabo Cañaveral.

Ejemplo 18: La tontería de Einstein, en el marco giratorio

El ejemplo 10 relató el famoso error de Einstein al predecir que un reloj en el polo experimentaría una dilatación de tiempo relativa a un reloj en el ecuador, y la prueba empírica de este hecho por Alley et al. usando relojes atómicos. La perfecta cancelación de las dilataciones de tiempo gravitacionales y cinemáticas puede parecer fortuita, pero en realidad no lo es Cuando nos transformamos en el marco girando junto con la tierra, ya no hay ningún efecto cinemático en absoluto, porque ninguno de los dos relojes se mueve. En este marco, la superficie de los océanos de la tierra es equipotencial, por lo que la dilatación gravitacional del tiempo también se desvanece, asumiendo que ambos relojes están al nivel del mar. En la transformación al marco giratorio, la métrica recoge un término d\(\theta'\) dt, pero como ambos relojes están fijos a la superficie terrestre, tienen d\(\theta'\) = 0, y no hay efecto Sagnac.

Imposibilidad de Rotación Rígida, incluso con Fuerzas Externas

La determinación de la métrica espacial con reglas en reposo en relación con el disco resulta atractiva por su simplicidad conceptual en comparación con los complicados procedimientos que involucran radar, y esta fue presumiblemente la razón por la que Einstein presentó el concepto utilizando medidas de regla en su artículo de 1916 que expuso la teoría general de la relatividad. ¹² En un esfuerzo por recuperar esta simplicidad, podríamos proponer el uso de fuerzas externas para compensar las fuerzas centrífugas y Coriolis a las que estarían sometidos los gobernantes, haciendo que permanecieran rectos y mantuvieran sus longitudes correctas. Algo de este tipo se lleva a cabo con los grandes espejos de algunos telescopios, que cuentan con sistemas activos que compensan las deflexiones gravitacionales y otros efectos. El primer tema del que preocuparse es que uno necesitaría alguna forma de monitorear la longitud y rectitud de una regla. El sistema de monitoreo presumiblemente estaría basado en mediciones con haces de luz, en cuyo caso los propios gobernantes físicos se volverían superfluos.

Nota

El artículo se reproduce al dorso del libro, y la parte relevante se encuentra en el Apéndice A.

Además, necesitaríamos poder manipular a los gobernantes para colocarlos donde los quisiéramos, y estas manipulaciones incluirían aceleraciones angulares. Si tal cosa fuera posible, entonces también equivaldría a una laguna en la resolución de la paradoja de Ehrenfest. ¿Podría acelerarse y desacelerarse el disco giratorio de Ehrenfest con ayuda de fuerzas externas, lo que evitaría que se contorsionara en un chip de papa? El problema con el que nos encontramos con tal estrategia es uno de sincronización de reloj. Cuando llegaba el momento de impartir una aceleración angular al disco, todos los sistemas de control tendrían que activarse simultáneamente. Pero ya hemos visto que la sincronización global del reloj no puede realizarse para un objeto con área finita, y por lo tanto hay una contradicción lógica en esta propuesta. Esto hace imposible aplicar aceleración angular rígida al disco, pero no necesariamente a las reglas, que en teoría podrían ser unidimensionales.

Referencias

⁹ Descripción relativista de un disco giratorio, Am. J. Phys. 43 (1975) 869

¹⁰ Espacio, Tiempo y Coordenadas en un Mundo Giratorio, www.phys.uu.nl/igg/dieks

¹¹ P. Ehrenfest, Gleichf¨ormige Rotation starrer K¨orper und Relativitätstheorie, Z. Phys. 10 (1909) 918, disponible en traducción al inglés en es.wikisource.org.