5.13: Unidades en Relatividad General

Analizar unidades, también conocidas como análisis dimensional, es una de las primeras cosas que aprendemos en física de primer año. Es una manera útil de verificar nuestras matemáticas, y parece que debería ser sencillo extender la técnica a la relatividad. Ciertamente se puede hacer, pero no es tan trivial como podría imaginarse, y lleva a algunas nuevas ideas físicas sorprendentes.

Uno de nuestros trabajos más comunes es cambiar de un conjunto de unidades a otro, pero en la relatividad se vuelve no trivial definir a qué nos referimos con la noción de que nuestras unidades de medida cambian o no cambian. Podríamos, por ejemplo, apelar a un estándar atómico, pero Dicke ²⁴ señala que esto podría ser problemático. Imagínese, dice, que

... te dice un viajero espacial que un átomo de hidrógeno en Sirio tiene el mismo diámetro que uno en la tierra. El pensamiento de unos momentos te convencerá de que la afirmación es o bien una definición o de lo contrario carece de sentido.

Para empezar, observamos que la notación de índice abstracto es más conveniente que la notación de índice concreto para estos fines. La notación de índice concreto asigna diferentes unidades a diferentes componentes de un tensor si utilizamos coordenadas, como coordenadas esféricas (t, r,\(\theta, \phi\)), que no todas tienen unidades de longitud. En notación de índice abstracto, un símbolo como v ⁱ representa todo el vector, no por uno de sus componentes.

En la notación de índices concretos, tampoco necesariamente tiene sentido hablar de reescalado. Por ejemplo, para las coordenadas polares en el plano euclidiano, la transformación (r,\(\theta\)) → (2r, 2\(\theta\)) no tiene ninguna interpretación interesante, y ni siquiera se puede aplicar globalmente. En notación de índice abstracto, podemos decir v ⁱ → 2v ⁱ, y esto simplemente significa que el vector v ⁱ ha sido escalado por un factor de 2.

Dado que la notación abstracta de índice ni siquiera nos ofrece una notación para componentes, si queremos aplicar el análisis dimensional debemos definir un sistema en el que las unidades se atribuyan a un tensor como un todo. Supongamos que escribimos la forma abstract-index de la ecuación para el tiempo adecuado:

\[ds^{2} = g_{ab} dx^{a} dx^{a}\]

^{En notación abstracta de índice, dx a no significa un cambio infinitesimal en una coordenada particular, significa un vector de desplazamiento infinitesimal. 25} Esta ecuación tiene una cantidad a la izquierda y tres factores a la derecha. ^{Supongamos que asignamos estas partes de las unidades de ecuación [ds] = L \(\sigma\), [g _ab] = L 2\(\gamma\), y [dx a] = [dx b] = L \(\xi\), donde corchetes significan “las unidades de” y L significa unidades de longitud.} Entonces tenemos\(\sigma = \gamma + \xi\). Debido a las ambigüedades antes señaladas, podemos escoger cualquier valor que nos guste para estas tres constantes, siempre y cuando obedezcan esta regla. Me parece que\((\sigma, \gamma, \xi)\) = (1, 0, 1) es natural y conveniente, pero Dicke, en el artículo mencionado anteriormente, le gusta (1, 1, 0), mientras que el matemático Terry Tao aboga por (0, 1, ±1).

Supongamos que subimos y bajamos índices para formar un tensor con r índices superiores y s índices inferiores Nos referimos a esto como un tensor de rango (r, s). ^{(No contamos índices contratados, por ejemplo, u a v a es _un escalar rank- (0, 0).)} Dado que la métrica es la herramienta que utilizamos para subir y bajar índices, y las unidades de la forma de índice inferior de la métrica son L ^2\(\gamma\), se deduce que las unidades varían en proporción a L ^{\(\gamma\)(s−r)}. En general, se puede asignar una cantidad física unidades L ^u que son producto de dos factores, un factor “cinemático” o puramente geométrico L ^k, donde k =\(\gamma\) (s − r), y un factor dinámico L ^d., que puede depender de qué tipo de cantidad es, y dónde se encuentra el. indica que si tu sistema de unidades tiene más de una sola unidad base, esas también pueden estar ahí dentro. Dicke usa unidades con\(\hbar\) = c = 1, por ejemplo, por lo que solo hay una unidad base, y la masa tiene unidades de longitud inversa y d _masa = −1. En general la relatividad sería más común usar unidades en las que G = c = 1, que en cambio dan d _masa = +1.

Nota

Para un desarrollo moderno y riguroso de la geometría diferencial en esta línea, véase Nowik y Katz, arxiv.org/abs/1405.0984.

Ejemplo 24: Las unidades de impulso

Considera la ecuación

\[p^{a} = mv^{a}\]

para el impulso de una partícula de material. Supongamos que usamos especialesunidades relativistas en las que c = 1, pero debido a que la gravedad no se incorpora a la teoría, G no juega un papel especial, y es natural usar un sistema de unidades en el que hay una unidad base de masa M.

Las unidades cinemáticas revisan, porque k _p = k _m + k _v:

\[\gamma (-1) = \gamma (0) + \gamma (-1)\]

Esto es meramente una cuestión de contar índices, y se garantizó que se verificara siempre y cuando los índices estuvieran escritos de manera gramatical en ambos lados de la ecuación. Lo que esta comprobación nos está diciendo esencialmente es que si tuviéramos que establecer las coordenadas de Minkowski en un vecindario de algún punto, y hacer un cambio de coordenadas (t, x, y, z) → (\(\alpha\)t,\(\alpha\) x,\(\alpha\) y,\(\alpha\) z), entonces las cantidades a ambos lados de la ecuación variarían bajo el tensor leyes de transformación según el mismo exponente de α. Por ejemplo, si cambiáramos de metros a centímetros, la ecuación seguiría siendo válida.

^{Para las unidades dinámicas, supongamos que usamos\((\sigma, \gamma, \xi)\) = (1, 0, 1), de manera que un desplazamiento infinitesimal dx a tenga unidades de longitud L, al igual que el tiempo propio ds.} Estas dos cantidades son puramente cinemáticas, por lo que no les asignamos ninguna unidad dinámica, y por lo tanto el vector de velocidad\(v^{a} = \frac{dx^{a}}{ds}\) tampoco tiene unidades dinámicas. Nuestra elección de un sistema de unidades da [m] = M. Requerimos que la ecuación p ^a = mv ^a tenga unidades dinámicas que check out, así:

\[M = 1 \cdot M\]

También debemos asignar unidades de masa al impulso.

Un sistema casi idéntico a éste, pero con terminología diferente, lo da Schouten. ²⁶

Para fines prácticos al verificar las unidades de una ecuación, podemos ver del ejemplo 24 que preocuparse por las unidades cinemáticas es una pérdida de tiempo siempre y cuando hayamos comprobado que los índices son gramaticales. Por lo tanto, podemos dar un método simplificado que sea suficiente para verificar las unidades de cualquier ecuación en notación de índice abstracto.

1. Asignamos a un tensor las mismas unidades que tendría uno de sus componentes de concreto si adoptáramos coordenadas (locales) de Minkowski, en el sistema con\((\sigma, \gamma, \xi)\) = (1, 0, 1). Estas son las unidades que automáticamente le habríamos imputado después de aprender la relatividad especial pero antes de aprender sobre tensores o transformaciones de coordenadas elegantes. Desde\(\gamma\) = 0, las posiciones de los índices no afectan el resultado.
2. Las unidades de una suma son las mismas que las unidades de los términos.
3. Las unidades de un producto tensor son el producto de las unidades de los factores.

Nuestra división de unidades en partes cinemáticas y dinámicas puede entenderse como que surge naturalmente de las siguientes consideraciones geométricas y físicas. En la sección 3.2, se introdujo la noción de conexión, que es una regla que relaciona a los tensores que viven en una región local del espacio-tiempo con los de otra región, dependiendo del camino utilizado para el transporte paralelo. La conexión está plasmada concretamente en los símbolos de Christoffel, y la necesitamos para definir derivadas sensibles de vectores, porque de lo contrario carecemos de la información necesaria para decir si un vector es de hecho constante, y solo cambiando sus componentes debido a la forma en que está el sistema de coordenadas definido. La conexión y la métrica encarnan mucha de la misma información geométrica. Si conocemos la métrica, siempre podemos encontrar la conexión (sección 5.9).

Entonces, naturalmente, podríamos preguntarnos si es posible ir en la otra dirección. Dada la conexión, ¿podemos encontrar la métrica? Pero esto claramente no es cierto, porque la conexión no lleva ninguna información sobre unidades de medida, mientras que la métrica sí. De hecho, si la métrica g da como resultado una cierta conexión\(\Gamma\), entonces también lo hará la métrica\(\Omega^{2}\) g, donde\(\Omega\) es una constante real. ²⁷ Una forma de pensar sobre la transformación g →\(\Omega^{2}\) g es que en la expresión ds ² = g _ab dx ^a dx ^a para el tiempo adecuado, escalamos cualquier lectura de reloj s por un factor de\(\Omega\). Esto ayuda a explicar la preferencia de Dicke por la convención\((\sigma, \gamma, \xi)\) = (1, 1, 0), según la cual las unidades se atribuyen a ds y g, mientras que los vectores se consideran sin unidades. Otra ventaja de este sistema es que se puede adaptar a la notación de índices concretos, ya que simplemente declaramos que las coordenadas son nombres sin unidades para los puntos.

Nota

Si multiplicamos g por una constante negativa, entonces cambiaríamos la firma, por ejemplo, de +−−− a −+++. Cambiar la firma sería particularmente ridículo en el contexto de la geometría riemanniana, donde se acostumbra tener una métrica positivo-definida.

La siguiente tabla resume los factores por los cuales diversas cantidades cambian bajo reescalado de la métrica de índice inferior y reescalado de coordenadas locales de Minkowski x ^\(\mu\). Como anteriormente, r es el número de índices superiores y s el número de índices inferiores. Las entradas en texto más claro siguen de la regla más general. Un monomio de curvatura de orden p es una expresión formada a partir de la multiplicación de tensores de curvatura p, posiblemente con índices contraídos.

	$$g_ {ab}\ fila derecha\ Omega^ {2} g_ {ab} $$	$$x^ {\ mu}\ fila derecha\ alfa x^ {\ mu} $$
g	$$\ Omega^ {s-r} $$	$$\ textcolor {gris} {\ alpha^ {s-r}} $$
densidad de tensor de rango (r, s) y peso w		$$\ alpha^ {2w+r-s} $$
$$\ Gamma^ {a} _ {bc} $$	1	$$\ alfa^ {-1} $$
curvatura monomio de orden p	$$\ Omega^ {s-r-2p} $$	$$\ textcolor {gris} {\ alpha^ {s-r}} $$

Tiene sentido que reescalar la métrica no cambie los símbolos de Christoffel, porque no cambia la conexión ni las coordenadas, y por lo tanto no debería cambiar la ecuación geodésica. Verificar las otras entradas en la tabla es un buen ejercicio.

Ejemplo 25: Un cambio de firma

Supongamos que cambiamos la firma de una métrica de + − −− a − + ++ o viceversa. Si bien la notación\(\Omega^{2}\) pretendía implicar que no se cambiaría la firma de la métrica, nada sale mal en la lógica si tomamos\(\Omega^{2}\) = −1. Según la tabla, la forma de índice inferior de la métrica, con (r, s) = (0, 2) cambia por un factor de −1, que es lo que nos propusimos hacer. Un polinomio de curvatura de orden p cambia por un factor de (−1) ^p. Como ejemplo específico, un modelo cosmológico dominado por la constante cosmológica (sección 8.2) tiene Ricci escalar R = −12λ en la firma + − −− utilizada en este libro, pero R = +12λ en la firma − + ++.

Ejemplo 26: Escalares de curvatura para la métrica Godel

El escalar de Ricci R = R ^a es _un monomio de curvatura de orden 1. Debido a que es un escalar relativista, su valor es invariante bajo un cambio de coordenadas. Un escalar construido de esta manera a partir de un tensor de curvatura se denomina escalar de curvatura. En el sistema descrito anteriormente, es un monomio de curvatura de orden 1, y es un tensor de rango (0, 0). Es un tensor puro, es decir, es una densidad de tensor solo en el sentido trivial, teniendo peso w = 0.

La invariante Kretschmann K = R ^abcd R _abcd, discutida con más detalle en la sección 6.3, es un monomio de curvatura de orden 2, con propiedades que por lo demás son similares a las enumeradas anteriormente para el escalar de Ricci.

Para tener un ejemplo específico del que hablar, consideremos la métrica

\[ds^{2} = dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} + \frac{1}{2} e^{2x} dz^{2} - 2e^{x} dz dt \ldotp\]

Esta es la métrica de Gödel histórica y filosóficamente importante, discutida en la sección 8.2. Un cálculo usando Maxima da R = 1 (+ − −− firma) y K = 3. (El hecho de que ambos sean constantes muestra que el espacio-tiempo es altamente simétrico, aunque esto no se manifiesta cuando la métrica se expresa en estas coordenadas). Supongamos que recalibramos nuestros relojes para usar diferentes unidades, cambiando la métrica anterior de acuerdo a ds ² →\(\Omega^{2}\) ds ². Entonces la aplicación de las reglas dadas en la tabla nos dice que R =\(\Omega^{-2}\) y K = 3\(\Omega^{−4}\).

Para redondear nuestra discusión sobre este enfoque, señalamos con mayor precisión la relación entre la métrica y la conexión. Dada una métrica, hay una conexión única sin torsión. Dada una conexión sin torsión, puede existir o no una métrica que dé lugar a esa conexión. Si tal métrica existe, entonces excepto en casos excepcionales esa métrica es única hasta una constante multiplicativa distinta de cero. La razón de la singularidad de la métrica hasta un factor constante es la siguiente. Supongamos que fijamos la métrica en un punto de nuestro colector. Entonces mediante el uso de la conexión podemos transportar en paralelo el tensor métrico a otros puntos del colector, de manera que definirlo en un punto tenga el efecto de definirlo en todas partes. Pero puede haber una falta de consistencia, porque el transporte paralelo depende de la ruta. En particular, si transportamos la métrica alrededor de un bucle cerrado, queremos recuperar la métrica original. Este requisito de consistencia suele ser suficiente para descartar cualquier libertad en la definición de la métrica más allá de un factor de escala global. Schmidt da un tratamiento más completo de este problema. ²⁸

Un caso excepcional interesante es el espacio-tiempo plano. Debido a que no hay curvatura, el transporte paralelo alrededor de un bucle cerrado nunca cambia la métrica, por lo que el requisito de consistencia se satisface automáticamente, y nuestra libertad para elegir una métrica es mayor que solo la capacidad de escalar por una constante. En particular, algunos autores optan por no usar unidades naturales, de modo que en lugar de g = diag (1, −1, −1, −1) en coordenadas cartesianas, uno tiene g = diag (c ², −1, −1, −1). En un enfoque donde un cambio de unidades se representa por un cambio de coordenadas, este cambio en la métrica podría ser representado por (t, x, y, z) → (\(\frac{t}{c}\), x, y, z). Pero en la convención seguida por Dicke, tomaríamos las coordenadas como etiquetas inmutables para los puntos, y estas serían en realidad métricas físicamente diferentes, con diferentes conos de luz.

Un ejemplo similar en un contexto riemanniano es el plano euclidiano, en el que la conexión (trivial) es consistente con cualquier métrica de la forma dada en el ejemplo 9.

Por último, observamos que puede ser de interés generalizar la transformación g →\(\Omega^{2}\) g para que\(\Omega\) pueda variar de punto a punto. A esto se le llama una transformación conforme. Las transformaciones conformales pueden ser utilizadas para una variedad de propósitos, incluyendo física no trivial (como en el artículo Dicke) y técnicas de visualización (sección 7.3).

Referencias

²⁴ “Principio e invarianza de Mach bajo transformación de unidades”, Phys Rev 125 (1962) 2163

²⁶ Análisis de Tensor para Físicos, ch. VI

²⁸ projecteuclid.org/euclid.cmp/1103858479