5.E: Curvatura (Ejercicios)

1. El Ejemplo 6 discutió algunos ejemplos en electrostática donde la densidad de carga en la superficie de un conductor depende de la curvatura gaussiana, cuando la curvatura es positiva. En el caso de un filo de cuchilla formado por dos medios planos en ángulo exterior\(\beta > \pi\), hay un resultado estándar ²⁹ que la densidad de carga en el borde sopla hasta el infinito como\(R^{\frac{\pi}{\beta - 1}}\). ¿Coincide esto con la hipótesis de que la curvatura gaussiana determina la densidad de carga?
2. Mostrar eso para coordenadas polares en un plano euclidiano,\(\Gamma^{r}_{\phi \phi} = −r\) y\(\Gamma^{\phi}_{r \phi} = \frac{1}{r}\).
3. En 1+1 dimensiones, deje que la métrica sea ds ² =\(\frac{1}{t}\) dt ² − t d\(\theta^{2}\), donde\(\theta\) hay un ángulo que discurre alrededor del círculo. Calcula a mano todos los símbolos de Christoffel que no se desvanece. Estos serán utilizados en el ejemplo 4 donde investigamos algunas propiedades adicionales de este interesante espacio-tiempo.
4. Derivados parciales conmutan con derivados parciales. Los derivados covariantes no se desplazan con derivados covariantes. ¿Los derivados covariantes se desplazan con derivados parciales?
5. Mostrar que si la ecuación diferencial se satisface para un parámetro afín\(\lambda\), entonces también se satisface para cualquier otro parámetro afín\(\lambda' = a \lambda+b\), donde a y b son constantes.
6. La ecuación [2] da una métrica de espacio-tiempo plana en coordenadas polares giratorias. (a) Verificar por cálculo explícito que esta métrica representa un espacio-tiempo plano. (b) Vuelva a expresar la métrica en coordenadas cartesianas giratorias y verifique su respuesta verificando que el tensor Riemann se desvanece.
7. El propósito de este problema es explorar las dificultades inherentes a encontrar algo en la relatividad general que represente un campo gravitacional uniforme g. En el ejemplo 11, encontramos, a partir de argumentos elementales sobre el principio de equivalencia y fotones en elevadores, ese tiempo gravitacional la dilatación debe ser dada por e ^\(\Phi\), donde\(\Phi\) = gz es el potencial gravitacional. Esto da como resultado una métrica $$ds^ {2} = e^ {2gz} dt^ {2} - dz^ {2}\ ldotp\ tag {[1]} $$$Por otro lado, el ejemplo 19 derivó la métrica $$ds^ {2} = (1 + gz) ^ {2} dt^ {2} - dz^ {2}\ ldotp\ {tag [2]} $$transformando de un fotograma Lorentz a un fotograma cuyo origen se mueve con constante aceleración apropiada g. (Estos son conocidas como coordenadas de Rindler.) Demostrar los siguientes hechos. Ninguno de los cálculos es tan complejo como para requerir software de matemáticas simbólicas, por lo que es posible que desee realizarlos a mano primero, y luego verificarse en una computadora.
   1. Las métricas [1] y [2] son aproximadamente consistentes entre sí para z cerca de 0.
   2. Cuando una partícula de prueba se libera del reposo en cualquiera de estas métricas, su aceleración inicial adecuada es g.
   3. Las dos métricas no son exactamente equivalentes entre sí bajo ningún cambio de coordenadas.
   4. Ambos espacio-tiempos son uniformes en el sentido de que la curvatura es constante. (En ambos casos, esto se puede probar sin un cálculo explícito del tensor Riemann).

Nota

La incompatibilidad entre [1] y [2] puede interpretarse como que muestra que la relatividad general no admite ningún espacio-tiempo que tenga todas las propiedades globales que quisiéramos para un campo gravitacional uniforme. Esto está relacionado con la paradoja de la nave espacial de Bell (ejemplo 15). Algunas propiedades adicionales de la métrica [1] se analizan en la sección 7.5.

8. En un espacio topológico T, el complemento de un subconjunto U se define como el conjunto de todos los puntos en T que no son miembros de U. Un conjunto cuyo complemento es abierto se denomina cerrado. En la línea real, dar (a) un ejemplo de un conjunto cerrado y (b) un ejemplo de un conjunto que no es ni abierto ni cerrado. c) Dar un ejemplo de desigualdad que define un conjunto abierto en la recta numérica racional, pero un conjunto cerrado sobre la línea real.
9. Demostrar que un cono doble (por ejemplo, la superficie r = z en coordenadas cilíndricas) no es un colector.
10. Demostrar que un toro es un colector.
11. Demostrar que una esfera no es homeomórfica a un toro.
12. Curvatura en un espacio riemanniano en 2 dimensiones es un tema que se remonta a Gauss y tiene una interpretación simple: la única medida intrínseca de curvatura es un solo número, la curvatura gaussiana. ¿Qué pasa con 1+1 dimensiones? Las métricas más simples que se me ocurren son de la forma ds ² = dt ² − f (t) dx ². (Algo así como ds ² = f (t) dt ² −dx ² es obviamente equivalente al espacio Minkowski bajo un cambio de coordenadas, mientras que ds ² = f (x) dt ² − dx ² es lo mismo que el ejemplo original excepto que hemos intercambiado x y t.) Jugando con ejemplos simples, uno tropieza con el hecho aparentemente misterioso de que la métrica ds ² = dt ² −t ² dx ² es plana, mientras que ds ² = dt ² − tdx ² no lo es. Esto parece requerir alguna explicación simple. Considere la métrica ds ² = dt ² − t pdx ².
    1. Calcula los símbolos de Christoffel a mano.
    2. Utilice un sistema de álgebra computacional como Maxima para demostrar que el tensor Ricci desaparece sólo cuando p = 2.

Nota

La explicación es que en el caso p = 2, la coordenada x se está expandiendo en proporción a la coordenada t. Esto puede interpretarse como una situación en la que nuestra escala de longitud está definida por una red de partículas de prueba que se expande inercialmente. Dado que su movimiento es inercial, no se requieren campos gravitacionales para explicar el cambio observado en la escala de longitud; cf. el universo Milne.

Referencias

²⁹ Jackson, Electrodinámica Clásica