7.2: Simetría esférica

Se requiere un poco más de trabajo si queremos vincular la existencia de vectores Killing con la existencia de una simetría específica como la simetría esférica. Cuando hablamos de simetría esférica en el contexto de la gravedad newtoniana o de las ecuaciones de Maxwell, podemos decir: “Los campos solo dependen”\(r\), asumiendo implícitamente que existe una\(r\) coordenada que tiene un significado definido para una elección de origen determinada. Pero no se garantiza que las coordenadas en la relatividad tengan ninguna interpretación física particular como la distancia de un origen particular. El origen puede que ni siquiera exista como parte del espacio-tiempo, como en la métrica Schwarzschild, que tiene una singularidad en el centro. Otra posibilidad es que el origen no sea único, como en una biesfera euclidiana como la superficie terrestre, donde un círculo centrado en el polo norte es también un círculo centrado en el polo sur; esto también puede ocurrir en ciertos espacio-tiempos cosmológicos que describen un universo que se envuelve sobre sí mismo espacialmente.

Por tanto, definimos simetría esférica de la siguiente manera. Un espacio-tiempo\(S\) es esféricamente simétrico si podemos escribirlo como una unión\(S = \cup s_{r,t}\) de subconjuntos no intersecantes s _{r, t}, donde cada s tiene la estructura de una dosesfera, y los números reales r y t no tienen ninguna interpretación física preasignada, pero se requiere que s _{r, t} varíe suavemente como una función de ellos. Por “tiene la estructura de una dos esferas”, queremos decir que ninguna medición intrínseca sobre\(s\) producirá ningún resultado diferente del resultado que hubiéramos obtenido en algunas dos esferas. Una dos esferas tiene solo dos propiedades intrínsecas:

1. es espacial, es decir, localmente su geometría es aproximadamente la del plano euclidiano;
2. tiene una curvatura positiva constante.

Si queremos, podemos requerir que el parámetro r sea el radio de curvatura correspondiente, en cuyo caso t es alguna coordenada temporal.

Para vincular esta definición a Matar vectores, observamos que la condición 2 es equivalente a la siguiente condición alternativa: (2') El conjunto s debe tener tres vectores Killing (que por la condición 1 son ambos espaciales), y debería ser posible elegir estos vectores Killing de tal manera que algebraicamente actúen igual como los construidos explícitamente en el ejemplo 4 en la sección 7.1. Como ejemplo de tal propiedad algebraica, la Figura\(\PageIndex{1}\) muestra que las rotaciones no son conmutativas.

Figura\(\PageIndex{1}\): Realizar las rotaciones en un orden da un resultado, 3, mientras que invertir el orden da un resultado diferente, 5.

Ejemplo 7: Un cilindro no es una esfera

• Demostrar que un cilindro no tiene la estructura de una biesfera.
• El cilindro pasa la condición 1. Falla la condición 2 porque su curvatura gaussiana es cero. Alternativamente, falla la condición 2' porque solo tiene dos vectores Killing independientes (ejemplo 3).

Ejemplo 8: Un plano no es una esfera

• Demostrar que el plano euclidiano no tiene la estructura de una biesfera.
• Se viola la condición 2 porque la curvatura gaussiana es cero. O si lo deseamos, el avión viola 2' porque\(\partial_{x}\) y\(\partial_{y}\) conmuta, pero ninguno de los vectores Killing de un viaje de 2 esferas.