7.4: Espaciotiempos estáticos y estacionarios (Parte 1)

Espaciotiempos estacionarios

Cuando nos propusimos describir un espacio-tiempo genérico, la calidad de Alicia en el País de las Maravillas de la experiencia se debe en parte a que la invarianza de coordenadas permite que nuestras escalas de tiempo y distancia sean reescaladas arbitrariamente, pero también en parte porque el paisaje puede cambiar de un momento a otro. La situación se simplifica drásticamente cuando el espacio-tiempo tiene un vector Killing similar al tiempo. Tal espacio-tiempo se dice que es estacionario. Dos ejemplos son el espacio-tiempo plano y el espacio-tiempo que rodea a la tierra giratoria (en el que hay un efecto de arrastre de marco). Los no ejemplos incluyen el sistema solar, modelos cosmológicos, ondas gravitacionales y una nube de materia en proceso de colapso gravitacional.

¿Puede Alice determinar, viajando alrededor de su espacio-tiempo y realizando observaciones, si es estacionario? Si no lo es, entonces ella podría probarlo. Por ejemplo, supongamos que visita cierta región y encuentra que la invariante Kretchmann\(R^{abcd}R_{abcd}\) varía con el tiempo en su marco de referencia. A lo mejor esto se debe a que un asteroide viene en su camino, en cuyo caso podría reajustar su vector de velocidad para que coincida con el del asteroide. Aunque no pueda ver el asteroide, todavía puede intentar encontrar una velocidad que haga que su geometría local deje de cambiar de esta manera particular. Si el espacio-tiempo es verdaderamente estacionario, entonces ella siempre puede “sintonizar” el vector de velocidad correcto de esta manera buscando sistemáticamente. Si este procedimiento alguna vez falla, entonces ella ha demostrado que su espacio-tiempo no es estacionario.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¿Por qué es importante en esta historia la naturaleza temporal del vector Killing?

Demostrar que un espacio-tiempo es estacionario es más difícil. Esto es en parte solo porque el espacio-tiempo es infinito, por lo que tomará una cantidad infinita de tiempo verificar en todas partes. No estamos inclinados a preocuparnos demasiado por esta limitación en nuestro conocimiento geométrico, que es de un tipo que ha sido familiar desde hace miles de años, cuando molestó a los antiguos griegos que el postulado paralelo sólo podía comprobarse siguiendo líneas a una distancia infinita. Pero también hay un nuevo tipo de limitación. El espacio-tiempo Schwarzschild no es estacionario según nuestra definición. En las coordenadas utilizadas en la sección 6.2,\(\partial_{t}\) se encuentra un vector Killing, pero solo es timelike para r > 2m; para r < 2m es espacial. Si bien la solución describe un agujero negro que se va a quedar por ahí para siempre sin cambiar, ningún observador podrá verificar ese hecho, porque una vez que se desvía dentro del horizonte debe seguir una línea mundial similar a la del tiempo, lo que pondrá fin a su programa de observación dentro de algún tiempo finito.

Sistemas Aislados

Planitud asintótica

Esta característica desafortunada de nuestra definición de estacionariedad —su inverificabilidad empírica— es algo con lo que en general solo tenemos que convivir. Pero hay una alternativa en el caso especial de un sistema aislado, como nuestra galaxia o un agujero negro. Puede ser una buena aproximación ignorar la materia distante, modelando un sistema de este tipo con un espacio-tiempo que es asintóticamente plano. La noción de planitud asintótica se introdujo de manera informal en la sección 4.5. Formular la definición de este término de manera rigurosa y de manera coordinada invariante implica una gran cantidad de maquinaria técnica, ya que no se garantiza que se nos presente de antemano un conjunto especial de coordenadas físicamente significativas que conducirían directamente a una forma cuantitativa de definir palabras como “cerca”. La idea esencial es que un espacio-tiempo sea asintóticamente plano si es posible realizar una transformación conforme de tal manera que el resultado haya idealizado regiones al infinito i ⁰,\(\mathscr{I}^{+}\) y\(\mathscr{I}^{-}\) (pero no i ⁺ e i ⁻) que se parecen a las de Minkowski espacio. El lector que quiera ver la maquinaria completa presentada puede encontrar presentaciones en diversos lugares, como Hawking y Ellis, ch. 11 de Wald, o el artículo de revisión en línea “Conformal Infinity” en livingreviews.org.

Espaciotiempos asintóticamente estacionarios

En el caso de un espacio-tiempo asintóticamente plano, decimos que también es asimoptóticamente estacionario si tiene un vector Killing que se convierte en tiempo lejano. Algunos autores (por ejemplo, Ludvigsen) definen “estacionario” para significar lo que yo llamo “asimoptóticamente estacionario”, otros (Hawking y Ellis) lo definen de la misma manera que yo, y aún otros (Carroll) no son autoconsistentes. El espacio-tiempo Schwarzschild es asintóticamente estacionario, pero no estacionario.

Un campo estacionario sin otras simetrías

Considera el caso estacionario más general, en el que el único vector Killing es el timelike. La única ambigüedad en la elección de este vector es una reescalación; su dirección es fija. En cualquier punto del espacio, por lo tanto, tenemos una noción de estar en reposo, que es tener un vector de velocidad paralelo al vector Killing. Un observador en reposo no detecta dependencia del tiempo en cantidades como las fuerzas de marea.

Los puntos en el espacio tienen así una identidad permanente. El campo gravitacional, que nos dice el principio de equivalencia es normalmente un concepto esquivo, dependiente del marco, ahora se vuelve más concreto: es la aceleración adecuada que se requiere para permanecer en un solo lugar. Por lo tanto, podemos usar frases como “un campo estacionario”, sin las advertencias habituales sobre el significado dependiente de coordenadas de “campo”.

El espacio se puede rociar con relojes idénticos, todo en reposo. Además, podemos comparar las tasas de estos relojes, e incluso compensar las tasas no coincidentes, mediante el siguiente procedimiento. Dado que el espacio-tiempo es estacionario, los experimentos son reproducibles. Si enviamos un fotón o una partícula material desde un punto A en el espacio a un punto B, entonces las partículas idénticas emitidas en momentos posteriores seguirán trayectorias idénticas. El desfase de tiempo entre la llegada de dos de esas partículas le dice a un observador en B la cantidad de tiempo en B que corresponde a un cierto intervalo en A. Si lo deseamos, podemos ajustar todos los relojes para que sus tarifas coincidan. Un ejemplo de tal coincidencia de velocidad es el sistema satelital GPS, en el que los relojes de los satélites están sintonizados a 10.22999999543 MHz, coincidiendo con los relojes terrestres a 10.23 MHz. (Estrictamente hablando, este ejemplo está fuera de lugar en esta subsección, ya que el campo de la tierra tiene una simetría acimutal adicional).

Es tentador concluir que este tipo de espacio-tiempo viene equipado con una coordenada temporal naturalmente preferida que es única hasta una transformación afín global t → at + b Pero para construir tal coordenada temporal, tendríamos que igualar no solo las velocidades de los relojes, sino también sus fases. El mejor método de relatividad que permite hacer esto es la sincronización de Einstein (Apéndice 1), que implica intercambiar un fotón de ida y vuelta entre los relojes A y B y ajustar los relojes para que coincidan en que cada reloj obtiene el fotón en el punto medio en el tiempo entre sus llegadas al otro reloj. El problema es que para un espacio-tiempo estacionario general, este procedimiento no es transitivo: la sincronización de A con B, y de B con C, no garantiza el acuerdo entre A con C. Esto se debe a que el tiempo que tarda un fotón en viajar en sentido horario alrededor del triángulo ABCA puede ser diferente del tiempo que toma para el itinerario en sentido antihorario ACBA. En otras palabras, podemos tener un efecto Sagnac, que generalmente se interpreta como un signo de rotación. Tal efecto ocurrirá, por ejemplo, en el campo de la tierra giratoria, y no se puede eliminar eligiendo un marco que gire junto con la tierra, porque el espacio circundante experimenta un efecto de arrastre de marco, que cae gradualmente con la distancia.

Aunque un espacio-tiempo estacionario no tiene un tiempo de preferencia única, sí prefiere algunas coordenadas de tiempo sobre otras. En un espacio-tiempo estacionario, siempre es posible encontrar una t “agradable” tal que la métrica se pueda expresar sin ninguna dependencia t en sus componentes.

Un campo estacionario con simetrías adicionales

La mayoría de los resultados dados anteriormente para un campo estacionario sin otras simetrías también se mantienen en el caso especial donde hay simetrías adicionales. La principal diferencia es que podemos hacer combinaciones lineales de un vector Killing similar al tiempo en particular con los otros vectores Killing, por lo que el vector timelike Killing no es único. Esto quiere decir que no existe una noción preferida de estar en reposo. Por ejemplo, en un espacio-tiempo plano no podemos definir a un observador para que esté en reposo si no observa ningún cambio en los observables locales a lo largo del tiempo, porque eso es cierto para cualquier observador inercial. Como no hay un marco de descanso preferido, no podemos definir el campo gravitacional en términos de ese marco, y ya no hay ninguna definición preferida del campo gravitacional.

Espaciotiempos estáticos

Además de sincronizar todos los relojes a la misma frecuencia, también nos gustaría poder hacer coincidir todas sus fases usando la sincronización de Einstein, que requiere transitividad. La transitividad es dependiente del marco. Por ejemplo, el espacio-tiempo plano permite la transitividad si utilizamos las coordenadas habituales. Sin embargo, si cambiamos a un marco de referencia giratorio, la transitividad falla (ver sección 3.5). Si existen coordenadas en las que un espacio-tiempo en particular tiene transitividad, entonces se dice que ese espacio-tiempo es estático. En estas coordenadas, la métrica está diagonalizada, y como no hay términos cruzados espacio-tiempo como dx dt en la métrica, dicho espacio-tiempo es invariante bajo inversión de tiempo. En términos generales, un espacio-tiempo estático es aquel en el que no hay rotación.

Teorema de Birkhoff

El teorema de Birkhoff, probado a continuación, establece que en el caso de la simetría esférica, las ecuaciones de campo vacío tienen una solución, el espacio-tiempo Schwarzschild, que es único hasta una elección de coordenadas y el valor de m. Vamos a enumerar los supuestos que entraron en nuestra derivación de la métrica Schwarzschild en sección 6.2. Estas fueron: (1) las ecuaciones de campo vacío, (2) simetría esférica, (3) estaticidad asintótica, (4) una cierta elección de coordenadas, y (5)\(\Lambda\) = 0. El teorema de Birkhoff dice que el supuesto de estaticidad no era necesario. Es decir, aunque la distribución masiva se contraiga y se expanda con el tiempo, la solución exterior sigue siendo la solución Schwarzschild. El teorema de Birkhoff se sostiene porque las ondas gravitacionales son transversales, no longitudinales (ver sección 9.2), por lo que el latido radial de la distribución de masa no puede generar una onda gravitacional.

Prueba del teorema de Birkhoff

La simetría esférica garantiza que podemos introducir las coordenadas r y t de tal manera que las superficies de constante r y t tengan la estructura de una esfera con radio r. en una de esas superficies podemos introducir coordenadas de colatitud y longitud\(\theta\) y\(\phi\). Las\((\theta, \phi)\) coordenadas se pueden extender de manera natural a otros valores de r eligiendo las líneas radiales para que se encuentren en la dirección del vector derivado covariante ⁸\(\nabla_{a}\) r, y esto asegura que la métrica no tendrá ningún término que no se desvanezca en dr d\(\theta\) o dr d\(\phi\), que sólo podría surgir si nuestra elección hubiera roto la simetría entre los valores positivos y negativos de d\(\theta\) y d\(\phi\). Así como fuimos libres de elegir cualquier forma de enhebrar líneas de constante\((\theta, \phi, t)\) entre esferas de diferentes radios, también podemos elegir cómo enhebrar líneas de constante\((\theta, \phi, r)\) entre diferentes tiempos, y esto se puede hacer para mantener la métrica libre de cualquier término cruzado tiempo-espacio como d\(\theta\) dt. Por lo tanto, la métrica se puede escribir en la forma ⁹

\[ds^{2} = h(t, r)dt^{2} - k(t, r) dr^{2} - r^{2} (d \theta^{2} + \sin^{2} \theta d \phi^{2}) \ldotp\]

Esto tiene que ser una solución de las ecuaciones de campo vacío, R _ab = 0, y en particular un cálculo rápido con Maxima muestra que R _rt =\(− \frac{\partial_{t} k}{k^{2} r}\), por lo que k debe ser independiente del tiempo. Con esta restricción, encontramos

\[R_{_rr} = − \frac{\partial_{r} h}{hkr} − \frac{1}{r^{2}} − \frac{1}{kr^{2}} = 0,\]

y puesto que\(k\) es independiente del tiempo, también\(\frac{\partial_{r} h}{h}\) es independiente del tiempo. Esto significa que para un tiempo determinado, la función\(f(r) = h(t_o, r)\) tiene alguna forma universal establecida por una ecuación diferencial, siendo la única ambigüedad posible una escala general que depende de a. Pero como h es el componente tiempo-tiempo de la métrica, este escalado corresponde físicamente a una situación en la que cada reloj, por todo el universo, acelera y se ralentiza al unísono. La relatividad general es independiente de la coordinación, por lo que esto no tiene efectos observables, y podemos absorberla en una redefinición de t que hará que h sea independiente del tiempo. Por lo tanto, la métrica se puede expresar en la forma diagonal independiente del tiempo

\[ds^{2} = h(r) dt^{2} - k(r) dr^{2} - r^{2} (d \theta^{2} + \sin^{2} \theta d \phi^{2}) \ldotp\]

Ya resolvimos las ecuaciones de campo para una métrica de esta forma y encontramos como solución el espacio-tiempo Schwarzschild. ¹⁰ Dado que los componentes de la métrica son todos independientes de t,\(\partial_{t}\) es un vector Killing, y es similar al tiempo para r grande, por lo que el espacio-tiempo Schwarzschild es asintóticamente estático.

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⁸ Puede parecer al revés comenzar a hablar de la derivada covariante de una coordenada particular antes de que incluso se haya introducido un sistema de coordenadas completo. Pero (excluyendo el caso trivial de un espacio-tiempo plano), r no es solo una coordenada arbitraria, es algo que un observador en cierto punto del espacio-tiempo puede determinar mapeando una superficie de puntos geométricamente idénticos, y luego determinando el radio de curvatura de esa superficie. Otra preocupación es que es posible que\(\nabla_{a}\) r se comporte mal en ciertas superficies, como el horizonte de eventos del espacio-tiempo Schwarzschild, pero simplemente podemos exigir que las líneas radiales permanezcan continuas a medida que pasan por estas superficies.

⁹ En las mismas superficies a las que se hace referencia en la nota al pie de página anterior, las funciones h y k pueden ir a 0 o ∞. Estos resultan no ser nada más graves que coordinar singularidades.

¹⁰ El espacio-tiempo Schwarzschild es la geometría definida de forma única que se encuentra al eliminar las singularidades de coordenadas de esta forma de la métrica Schwarzschild.