7.1: Matar vectores

La métrica Schwarzschild es un ejemplo de un espacio-tiempo altamente simétrico. Tiene simetrías continuas en el espacio (bajo rotación) y en el tiempo (bajo traducción en el tiempo). Además, tiene simetrías discretas bajo reflexión espacial e inversión de tiempo. En la Sección 6.2, vimos que las dos simetrías continuas condujeron a la existencia de cantidades conservadas para las trayectorias de las partículas de prueba, y que éstas podían interpretarse como masa-energía e impulso angular.

Generalizando, queremos considerar la idea de que una métrica puede ser invariante cuando cada punto en el espacio-tiempo se desplaza sistemáticamente en alguna cantidad infinitesimal. Por ejemplo, la métrica Schwarzschild es invariante bajo\(t → t + dt\). En coordenadas

\[(x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, r, \theta, \phi),\]

tenemos un campo vectorial\((dt, 0, 0, 0)\) que define la simetría de traducción temporal, y es convencional dividirlo en dos factores, un campo vectorial finito\(\boldsymbol{\xi}\) y un escalar infinitesimal, de modo que el vector de desplazamiento sea

\[\boldsymbol{\xi} dt = (1, 0, 0, 0) dt \ldotp\]

Tal campo se llama campo de vector Killing, o simplemente un vector Killing, después de Wilhelm Killing. Cuando todos los puntos de un espacio son desplazados según lo especificado por el vector Killing, fluyen sin expansión ni compresión. La trayectoria de un punto en particular, como la línea discontinua en la Figura\(\PageIndex{1}\), bajo este flujo se llama su órbita. Si bien el término “Matar vector” es singular, se refiere a todo el campo de vectores, cada uno de los cuales difiere en general de los demás. Por ejemplo, lo que\(\boldsymbol{\xi}\) se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) tiene una magnitud mayor que una\(\boldsymbol{\xi}\) cerca del cuello de la superficie.

Figura\(\PageIndex{1}\): El espacio bidimensional tiene una simetría que se puede visualizar imaginándolo como una superficie de revolución incrustada en tres espacios. Sin referencia a ninguna característica extrínseca como coordenadas o incrustaciones, un observador en esta superficie puede detectar la simetría, porque existe un campo vectorial\(\xi\) du tal que la traducción por\(\xi\) du no cambia la distancia entre los puntos cercanos.

Figura\(\PageIndex{2}\): Wilhelm Killing (1847-1923).

La notación infinitesimal está diseñada para describir una simetría continua, no discreta. Por ejemplo, el espacio-tiempo Schwarzschild también tiene una simetría discreta de inversión de tiempo t → −t Esto no puede ser descrito por un vector Killing, porque el desplazamiento en el tiempo no es infinitesimal.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): The Euclidean plane

El plano euclidiano tiene dos vectores Killing correspondientes a la traducción en dos direcciones linealmente independientes, más un tercer vector Killing para rotación alrededor de algún origen arbitrariamente elegido O. En coordenadas cartesianas, una forma de escribir un conjunto completo de estos es es

\[\begin{split} \xi_{1} &= (1, 0) \\ \xi_{2} &= (0, 1) \\ \xi_{3} &= (-y, x) \ldotp \end{split}\]

Un teorema de la geometría clásica ¹ establece que cualquier transformación en el plano euclidiano que preserve las distancias y la mano puede expresarse ya sea como una traslación o como una rotación alrededor de algún punto. Las transformaciones que no preservan la mano, como las reflexiones, son discretas, no continuas. Este teorema nos dice que no hay más vectores Killing que se encuentren más allá de estos tres, ya que cualquier traslación se puede lograr usando\(\xi_{1}\) y\(\xi_{2}\), mientras que una rotación alrededor de un punto P se puede hacer traduciendo P a O, girando, y luego traduciendo O de nuevo a P.

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¹ Coxeter, Introducción a la Geometría, ch. 3

En el ejemplo del espacio-tiempo Schwarzschild, los componentes de la métrica resultaron ser independientes de t cuando se expresaban en nuestras coordenadas. Esta es una condición suficiente para la existencia de un vector Killing, pero no necesario. Por ejemplo, es posible escribir la métrica del plano euclidiano en diversas formas como

\[ds^2 = dx^2 + dy^2\]

y

\[ds^2 = dr^2 + r^2 \,d \phi^{2}.\]

La primera forma es independiente de x e y, lo que demuestra que x → x + dx e y → y + dy son vectores Killing, mientras que la segunda forma nos da\(\phi \rightarrow \phi + d \phi\). Si bien podemos encontrar un sistema de coordenadas particular en el que se manifieste la existencia de un vector Killing, su existencia es una propiedad intrínseca que se mantiene independientemente de que empleemos coordenadas. En general, definimos un vector Killing no en términos de un sistema particular de coordenadas sino en términos puramente geométricos: un espacio tiene un vector Killing\(\boldsymbol{\xi}\) si la traducción por una cantidad infinitesimal\(\boldsymbol{\xi}\) du no cambia la distancia entre puntos cercanos. Declaraciones como “el espacio-tiempo tiene un vector Killing similar al tiempo” son, por lo tanto, intrínsecas, ya que tanto la propiedad timelike como la propiedad de ser un vector Killing son independientes de las coordenadas.

Figura\(\PageIndex{3}\): Los vectores en un punto P de una esfera pueden visualizarse ocupando un plano euclidiano que es particular de P.

Los vectores de matanza, como todos los vectores, tienen que vivir en algún tipo de espacio vectorial. En un colector, este espacio vectorial es particular a un punto dado, Figura\(\PageIndex{3}\). Un espacio vectorial diferente existe en cada punto, de manera que los vectores en diferentes puntos, ocupando diferentes espacios, solo pueden compararse mediante transporte paralelo. Además, realmente tenemos dos espacios de este tipo en un punto dado, un espacio de vectores contravariantes y un espacio de vectores covariantes. Estos se conocen como los espacios tangentes y cotangentes.Los desplazamientos infinitesimales que hemos estado discutiendo pertenecen al espacio contravariante (índice superior), pero al bajar e indexar podemos discutirlos como vectores covariantes. La forma habitual de anotar vectores Killing hace uso del hecho, mencionado de pasada en la Sección 5.10, de que los operadores derivados parciales\(\partial_{0}, \partial_{1}, \partial_{2}, \partial_{3}\) forman la base de un espacio vectorial. En esta notación, el vector Killing de la métrica Schwarzschild que hemos estado discutiendo se puede anotar simplemente como

\[\boldsymbol{\xi} = \partial_{t} \ldotp\]

La notación derivada parcial, al igual que la notación infinitesimal, se refiere implícitamente a simetrías continuas más que a discretas. Si una simetría discreta lleva un punto _P1 a algún punto distante _P2, entonces _P1 y _P2 tienen dos planos tangentes diferentes, por lo que no hay una noción definida de manera única de si los vectores\(\boldsymbol{\xi}_{1}\) y\(\boldsymbol{\xi}_{1}\) en estos dos puntos son iguales, o incluso aproximadamente igual. Por lo tanto, no puede haber una forma bien definida de interpretar una declaración como, “P ₁ y P ₂ están separados por un desplazamiento”\(\boldsymbol{\xi}\). En el caso de una simetría continua, por otro lado, los dos planos tangentes se acercan cada vez más a coincidir a medida que la distancia s entre dos puntos en una órbita se acerca a cero, y en este límite recuperamos una noción aproximada de poder comparar vectores en los dos planos tangentes. Se pueden comparar por transporte paralelo, y aunque el transporte paralelo depende de la ruta, la diferencia entre caminos es proporcional al área que encierran, que varía como s ², y por lo tanto se vuelve insignificante en el límite s → 0.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra otro vector Killing de la métrica Schwarzschild, y expresarlo en la notación tangente-vector.

Se puede demostrar que una condición equivalente para que un campo sea un vector Killing es

\[\nabla_{a} \boldsymbol{\xi}_{b} + \nabla_{b} \boldsymbol{\xi}_{a} = 0.\]

Esta relación, llamada ecuación Killing, se escribe sin referencia a ningún sistema de coordenadas, de acuerdo con la independencia de coordenadas de la noción.

Cuando un espacio-tiempo tiene más de un vector Killing, cualquier combinación lineal de ellos también es un vector Killing. Esto significa que aunque la existencia de ciertos tipos de vectores Killing puede ser intrínseca, la elección exacta de esos vectores no lo es.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Euclidean translations

El plano euclidiano tiene dos vectores Killing traduccionales (1, 0) y (0, 1), es decir,\(\partial_{x}\) y\(\partial_{y}\). Estos mismos vectores podrían expresarse como (1, 1) y (1, −1) en un sistema de coordenadas que se reescaló y giró 45 grados.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): a cylinder

Las propiedades locales de un cilindro, como la planitud intrínseca, son las mismas que las propiedades locales de un plano euclidiano. Dado que la definición de un vector Killing es local e intrínseca, un cilindro tiene los mismos tres vectores Killing que un plano, si consideramos solo un parche en el cilindro que es lo suficientemente pequeño como para que no se envuelva por completo. Sin embargo, solo dos de estos, las traslaciones, se pueden extender para formar un campo vectorial suave en toda la superficie del cilindro. Estos podrían ser anotados más naturalmente en coordenadas (\(\phi\), z) en lugar de (x, y), dando\(\partial_{z}\) y\(\partial_{\phi}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Un cilindro tiene tres simetrías locales, pero solo dos que se pueden extender globalmente para hacer vectores Killing.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): a sphere

Una esfera es como un plano o un cilindro en que se trata de un espacio bidimensional en el que ningún punto tiene propiedades intrínsecamente diferentes a ninguna otra. Podríamos esperar, entonces, que tendría dos vectores Killing. En realidad tiene tres,\(\xi_{x} , \xi_{y}\), y\(\xi_{z}\), correspondientes a rotaciones infinitesimales alrededor de los ejes x, y, y z. Para demostrar que todos estos son vectores Killing independientes, necesitamos demostrar que no podemos, por ejemplo, tener\(\xi_{x} = c_{1} \xi_{y} + c_{2} \xi_{z}\) para algunas constantes c ₁ y c ₂. Para ver esto, considere las acciones de\(\xi_{y}\) y\(\xi_{z}\) sobre el punto P donde el eje x se cruza con la esfera. (Las referencias a los ejes y su intersección con la esfera son extrínsecas, pero esto es sólo por conveniencia de descripción y visualización.) Ambos\(\xi_{y}\) y\(xi_{z}\) mueven P un poco, y estos movimientos son en direcciones ortogonales, mientras que\(\xi_{x}\) deja P fijo. Esto prueba que no podemos tener\(\xi_{x} = c_{1} \xi_{y} + c_{2} \xi_{z}\). Los tres vectores Killing son linealmente independientes.

Este ejemplo muestra que la independencia lineal de los vectores Killing no se puede visualizar simplemente pensando en los vectores en el plano tangente en un punto. Si ese fuera el caso, entonces podríamos tener como máximo dos vectores Killing linealmente independientes en este espacio bidimensional. Cuando decimos “Killing vector” nos estamos refiriendo realmente al campo del vector Killing, que se define en todas partes del espacio.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Proving nonexistence of Killing vectors

• Encuentra todos los vectores Killing de estas dos métricas: $$\ begin {split} ds^ {2} &= e^ {-x} dx^ {2} + e^ {x} dy^ {2}\\ ds^ {2} &= dx^ {2} + x^ {2} dy^ {2}\ ldotp\ end {split} $$
• Dado que ambas métricas son manifiestamente independientes de y, se deduce que\(\partial_{y}\) es un vector Killing para ambos. Ninguno de los dos tiene otra simetría manifiesta, así que podemos conjeturar razonablemente que este es el único vector Killing que cualquiera de ellos tiene. No obstante, se pueden tener simetrías que no se manifiestan, por lo que también es posible que haya más.

Una forma de atacar esto sería usar la ecuación de Killing para encontrar un sistema de ecuaciones diferenciales, y luego determinar cuántas soluciones linealmente independientes había.

Pero hay un enfoque más sencillo. La dependencia de estas métricas de x sugiere que los espacios pueden tener propiedades intrínsecas que dependen de x; si es así, entonces esto demuestra una simetría menor que la del plano euclidiano, que tiene tres vectores Killing. Una propiedad intrínseca que podemos verificar es la curvatura escalar R. El siguiente código Maxima calcula R para la primera métrica.

El resultado es R = −e ^x, lo que demuestra que los puntos que difieren en x tienen diferentes propiedades intrínsecas. Dado que el flujo de un campo Killing nunca\(\xi\) puede conectar puntos que tengan diferentes propiedades, concluimos que\(\xi_{x} = 0\). Si solo\(\xi_{y}\) puede ser distinto de cero, la ecuación de Killing\(\nabla_{a} \xi_{b} + \nabla_{b} \xi_{a} = 0\) se simplifica a\(\nabla_{x} \xi_{y} = \nabla_{y} \xi_{y} = 0\). Estas ecuaciones limitan tanto\(\partial_{x} \xi_{y}\) y\(\partial_{y} \xi_{y}\), lo que significa que dado un valor de\(\xi_{y}\) en algún punto del plano, se determina su valor en todas partes. Por lo tanto, los únicos vectores Killing posibles son múltiplos escalares del vector Killing ya encontrado. Dado que no consideramos que los vectores Killing sean distintos a menos que sean linealmente independientes, la primera métrica solo tiene un vector Killing.

Un cálculo similar para la segunda métrica muestra que R = 0, y un cálculo explícito de su tensor Riemann muestra que de hecho el espacio es plano. Es simplemente el plano euclidiano escrito en divertidas coordenadas. Esta métrica tiene los mismos tres vectores Killing que el plano euclidiano.

Hubiera sido tentador saltarse a una conclusión equivocada sobre la segunda métrica por el siguiente razonamiento. La firma de una métrica es una propiedad intrínseca. La métrica tiene firma ++ en todas partes del plano excepto en el eje y, donde tiene firma +0. Esto demuestra que el eje y tiene diferentes propiedades intrínsecas que el resto del plano, y por lo tanto la métrica debe tener una simetría menor que el plano euclidiano. Puede tener como máximo dos vectores Killing, no tres. Esto contradice nuestra conclusión anterior. La resolución de esta paradoja es que esta métrica tiene una degeneración removible del mismo tipo que la descrita en la sección 6.4. Como se discutió en esa sección, la firma es invariante sólo bajo transformaciones no singulares, pero la transformación que convierte estas coordenadas a cartesianas es singular.

Mezcla Inapropiada de Sistemas Notacionales

De manera confusa, es costumbre expresar vectores y vectores duales sumando sobre vectores base como este:

\[\begin{split} \textbf{v} &= v^{\mu} \partial_{\mu} \\ \boldsymbol{\omega} &= \omega_{\mu} dx^{\mu} \ldotp \end{split}\]

Esto es un abuso de notación, impulsado por el deseo de tener pares arriba-abajo de índices para sumar de acuerdo con las reglas habituales de la convención de notación de Einstein. Pero por esa convención, una cantidad como v o\(\boldsymbol{\omega}\) sin índices es escalar, y ese no es el caso aquí. Los productos de la derecha no son productos tensores, es decir, los índices no están siendo contratados.

Este enredo es el resultado de intentar que la notación de Einstein haga demasiadas cosas a la vez y de tratar de preservar un sistema torpe y anticuado de notación y terminología originado por Sylvester en 1853. En la notación de índice abstracto puro, no hay seis sabores de objetos como en las dos ecuaciones anteriores sino solo dos: vectores como v ^a y vectores duales como\(\omega_{a}\). La notación Sylvester es la predominante entre los matemáticos de hoy en día, porque sus predecesores se comprometieron con ella un siglo antes del desarrollo de alternativas como la notación abstracta de índice y las huellas de aves. El sistema Sylvester es inconsistente con la forma en que los físicos hoy en día piensan que los vectores y vectores duales se definen por sus propiedades de transformación, porque Sylvester considera v y\(\boldsymbol{\omega}\) como invariante.

Mezclar los dos sistemas conduce a los tipos de choques notacionales descritos anteriormente. Como ejemplo particularmente absurdo, un físico al que se le pide que sugiera una notación para un vector normalmente recogerá una pluma y escribirá v ^\(\mu\). Entonces se nos lleva a decir que un vector se escribe en una base concreta como una combinación lineal de vectores duales\(\partial_{\mu}\)!

Leyes de Conservación

Siempre que un espacio-tiempo tiene un vector Killing, las geodésicas tienen un valor constante de v ^b\(\xi_{b}\), donde v ^b es la velocidad de cuatro vectores. Por ejemplo, debido a que la métrica Schwarzschild tiene un vector Killing\(\boldsymbol{\xi} = \partial_{t}\), las partículas de prueba tienen un valor conservado de v ^t, y por lo tanto también tenemos conservación de p ^t, interpretada como la masa-energía.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Energy-momentum in flat 1+1 spacetime

Un espacio-tiempo plano 1+1-dimensional tiene Matar vectores\(\partial_{x}\) y\(\partial_{t}\). Correspondientes a estos son el momento conservado y masa-energía, p y E. Si hacemos un impulso de Lorentz, estos dos vectores Killing se mezclan por una transformación lineal, correspondiente a una transformación de p y E en un nuevo marco.

Además, se puede definir una cantidad conservada globalmente encontrada integrando la densidad de flujo P ^a = T ^ab\(\xi_{b}\) sobre el límite de cualquier región compacta orientable. ² En caso de un espacio-tiempo plano, hay suficientes vectores Killing para dar conservación de energía-momento y momento angular.

Nota

Hawking y Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, p. 62, dan un tratamiento sucinto que describe las densidades de flujo y demuestra que el teorema de Gauss, que habitualmente falla en el espacio-tiempo curvo para un flujo no escalar, se mantiene en el caso donde existen los vectores Matadores apropiados. Para una descripción explícita de cómo se puede integrar para encontrar una masa-energía escalar, ver Winitzki, Temas en Relatividad General, sección 3.1.5, disponible de forma gratuita en línea.