7.6: El Campo Gravitacional Uniforme Revisitado

Esta sección da un ejemplo algo exótico. No es necesario leerlo para entender el material posterior.

En el problema 7, hicimos una lista de deseos de las propiedades deseadas para un campo gravitacional uniforme, y encontramos que no todas podían satisfacerse a la vez. Es decir, no hay una solución global para las ecuaciones de campo de Einstein que encarne de manera única y satisfactoria todas nuestras ideas newtonianas sobre un campo uniforme. Ahora volvemos a examinar esta cuestión a la luz de nuestros nuevos conocimientos.

La métrica 1+1-dimensional

\[ds^{2} = e^{2gz} dt^{2} - dz^{2}\]

es la que satisface de manera única nuestras expectativas basadas en el principio de equivalencia (ejemplo 11), y es una solución de vacío. Lógicamente podríamos intentar generalizar esto a 3+1 dimensiones de la siguiente manera:

\[ds^{2} = e^{2gz} dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2} \ldotp\]

Pero ahora sucede algo gracioso —simplemente golpeando los dos nuevos ejes cartesianos x e y, resulta que hemos convertido nuestra solución de vacío en una solución que no es de vacío, y no sólo eso, sino que el tensor estres-energía resultante es poco físico (problema 8).

Una manera de proceder sería relajar nuestra insistencia en hacer del espacio-tiempo uno que encarne exactamente los requisitos del principio de equivalencia para un campo uniforme. ¹³ Esto se puede hacer tomando g _tt = e ^2\(\Phi\), donde no\(\Phi\) es necesariamente igual a 2gz. Al requerir que la métrica sea una solución de vacío 3+1, llegamos a una ecuación diferencial cuya solución es\(\Phi\) = ln (z + k ₁) + k ₂, que recupera la métrica de espacio plano que encontramos en el ejemplo 19 aplicando un cambio de coordenadas a la métrica de Lorentz.

Nota

Gracias al usuario de physicsforums.com Mentz114 por sugerir este enfoque y demostrar el siguiente cálculo

¿Y si queremos llevar a cabo la generalización de 1+1 a 3+1 sin violar el principio de equivalencia? Para la motivación física en cómo superar este obstáculo, considere el siguiente argumento hecho por Nacido en 1920. ¹⁴ Tomemos un marco de referencia atado a un disco giratorio, como en el ejemplo del que Einstein originalmente tomó gran parte de la motivación para crear una teoría geométrica de la gravedad (sección 3.5). Los relojes cerca del borde del disco corren lentamente, y por el principio de equivalencia, un observador en el disco interpreta esto como una dilatación gravitacional del tiempo. Pero este no es el único efecto relativista que ve tal observador. Sus gobernantes también son Lorentz contratados como lo ve un observador no giratorio, y ella interpreta esto como evidencia de una geometría espacial no euclidiana. Existen algunas diferencias físicas entre el disco giratorio y nuestra concepción por defecto de un campo uniforme, específicamente en la cuestión de si la métrica debe ser estática (es decir, carente de términos cruzados entre las variables de espacio y tiempo). Pero aun así, estas consideraciones hacen natural la hipótesis de que la métrica 3+1-dimensional correcta debería tener coeficientes espaciales transversales que disminuyan con la altura.

Con esta motivación, consideremos una métrica de la forma

\[ds^{2} = e^{2z} dt^{2} - e^{-2jz} dx^{2} - e^{-2kz} dy^{2} - dz^{2},\]

donde j y k son constantes, y he tomado g = 1 por conveniencia. ¹⁵ El siguiente código Maxima calcula la curvatura escalar y el tensor de Einstein:

Nota

Una métrica de esta forma general se conoce como métrica Kasner. Uno suele verlo escrito con un cambio logarítmico de variables, de manera que z aparece en la base más que en el exponente.

La salida de la línea 9 muestra que la curvatura escalar es constante, lo que es una condición necesaria para cualquier espacio-tiempo que queramos pensar que representa un campo uniforme. Inspeccionando la salida del tensor Einstein por la línea 10, encontramos que para que G _xx y G _yy desaparezcan, necesitamos que j y k sean\(\frac{1 \pm \sqrt{3i}}{2}\). Por ensayo y error, encontramos que asignar los valores complejo-conjugado a j y k hace que G _tt y G _zz desaparezca también, por lo que tenemos una solución de vacío. Esta solución es, lamentablemente, compleja, por lo que no tiene ningún valor obvio como resultado físicamente significativo. Dado que las ecuaciones de campo son no lineales, no podemos usar el truco habitual de formar superposiciones de valor real de las soluciones complejas. Podríamos intentar simplemente tomar la parte real de la métrica. Esto da g _xx = e ^−z cos\(\sqrt{3}\) z y g _yy = e ^−z sin\(\sqrt{3}\) z, y es insatisfactorio porque la métrica se degenera (tiene un determinante cero) en z =\(\frac{n \pi}{2 \sqrt{3}}\), donde n es un entero.

Resulta, sin embargo, que existe una solución muy similar, encontrada por Petrov en 1962, ¹⁶ que es de valor real. La métrica Petrov, que describe un espacio-tiempo con simetría cilíndrica, es:

\[ds^{2} = - dr^{2} - e^{-2r} dz^{2} + e^{r} [2 \sin \sqrt{3} r\, d\phi\, dt - \cos \sqrt{3} r (d \phi^{2} - dt^{2})]\]

Tenga en cuenta que tiene muchas características en común con la compleja solución oscilatoria que encontramos anteriormente. Existen contracciones de longitud transversal que decaen y oscilan exactamente de la misma manera. La presencia del\(dφ\, dt\) término nos dice que se trata de una solución no estática, giratoria, ¡exactamente como la que Einstein y Born tenían en mente en su ejemplo prototípico! Normalmente obtenemos este tipo de efecto debido al arrastre del marco por algún cuerpo masivo giratorio (ver sección 4.5), y la solución Petrov puede interpretarse efectivamente como el espacio-tiempo que existe en el vacío en el exterior de un cilindro infinito de “polvo” rígidamente giratorio (ver ejemplo 13).

La complicada métrica Petrov podría parecer lo más alejado posible de un campo gravitacional uniforme, pero de hecho se trata de lo más cercano que la relatividad general proporciona a tal campo. Primero notamos que la métrica tiene vectores Killing\(\partial_{z}, \partial_{\phi}\), y\(\partial_{r}\), por lo tanto, tiene al menos tres de las cuatro simetrías de traducción que esperamos de un campo uniforme. Por analogía con el electromagnetismo, esperaríamos que esta simetría estuviera ausente en la dirección radial, ya que según la ley de Gauss el campo eléctrico de una línea de carga cae como\(\frac{1}{r}\). Pero sorprendentemente, la métrica Petrov también es uniforme radialmente. Es posible dar explícitamente el cuarto vector asesino (lo es\(\partial_{r} + z \partial_{z} + (\frac{1}{2})(\sqrt{3}t − \phi)\partial_{\phi} − (\frac{1}{2})(\sqrt{3}\phi + t)\partial_{t})\), pero quizás sea más transparente verificar que represente un campo de intensidad constante (problema 4).

Para conocer este sorprendente resultado, recordemos que en nuestro intento de construir la versión cartesiana de esta métrica, nos topamos con el problema de que la métrica se degeneró en z =\(\frac{n \pi}{2 \sqrt{3}}\). La presencia del término d\(\phi\) dt impide que esto suceda en la versión cilíndrica de Petrov; dos de los componentes diagonales de la métrica pueden desaparecer a ciertos valores de r, pero la presencia del componente fuera de diagonal impide que el determinante vaya a cero. (El determinante es, de hecho, igual a −1 en todas partes). Lo que está sucediendo físicamente es que aunque el etiquetado de las coordenadas\(\phi\) y t sugiere un tiempo y un ángulo azimutal, estas dos coordenadas son de hecho tratadas completamente simétricamente. En valores de r donde el factor coseno es igual a 1, la métrica es diagonal, y tiene firma (t,\(\phi\), r, z) = (+, −, −, −), pero cuando el coseno es igual a −1, esto se convierte en (−, +, −, −), entonces esa\(\phi\) es ahora la coordenada similar al tiempo. Esta perfecta simetría entre\(\phi\) y t es un ejemplo extremo de arrastre de marco, y se produce debido a la velocidad de rotación especialmente elegida del cilindro de polvo, de tal manera que la velocidad del polvo en la superficie exterior es exactamente c (o se acerca a ella).

Clásicamente, esperaríamos que una partícula de prueba liberada lo suficientemente cerca del cilindro fuera arrastrada por la atracción gravitacional y destruida al impactar, mientras que una partícula liberada más lejos volaría debido a la fuerza centrífuga, escapando y eventualmente acercándose a una velocidad constante. Ninguno de estos se parecería en nada a la experiencia de una partícula de prueba liberada en un campo uniforme. Pero considere una partícula liberada en reposo en el marco giratorio en un radio r ₁ para el cual cos\(\sqrt{3}\) r _{1 = 1}, de modo que t es la coordenada similar al tiempo. La partícula acelera (digamos hacia afuera), pero en algún momento llega a un r ₂ donde el coseno es igual a cero, y la parte\(\phi\) − t de la métrica es puramente de la forma d\(\phi\) dt. En esta ubicación, podemos definir las coordenadas locales u =\(\phi\) − t y v =\(\phi\) + t, de manera que la métrica depende únicamente de du ² − dv ². Una de las coordenadas, digamos u, es ahora la tiempocomo una. Dado que nuestra partícula es material, su línea mundial debe ser similar al tiempo, por lo que se barre en la\(− \phi\) dirección. Gibbons y Gielen muestran que la partícula ahora volverá hacia adentro, y continuará para siempre oscilando de un lado a otro entre dos radios en los que el coseno desaparece.

Curvas cerradas parecidas al tiempo

Esta oscilación todavía no suena como el movimiento de una partícula en un campo uniforme, pero ocurre otra cosa extraña, como podemos ver al echar otro vistazo a los valores de r a los que se desvanece el coseno. A tal valor de r, construya una curva de la forma (t = constante, r = constante,\(\phi\), z = constante). Esta es una curva cerrada, y su longitud adecuada es cero, es decir, es similar a la luz. Esto viola la causalidad.

Un fotón podría recorrer este camino y llegar a su punto de partida al mismo tiempo que se emitía. Algo igualmente extraño le sucede a la partícula de prueba descrita anteriormente: mientras que parece caer a veces arriba y a veces hacia abajo, de hecho siempre está cayendo — ¡pero a veces lo logra cayendo hacia arriba mientras retrocede en el tiempo!

Si bien la métrica de Petov viola la causalidad, Gibbons y Gielen han demostrado que satisface la conjetura de protección cronológica: “En el contexto de la violación de causalidad hemos demostrado que no se pueden crear CTC [curvas cerradas parecidas al tiempo] girando un cilindro más allá de su velocidad angular crítica disparando en partículas en curvas temporales o nulas”.

Tenemos una solución de vacío exacta a las ecuaciones de campo de Einstein que viola la causalidad. Esto plantea preguntas problemáticas sobre la autoconsistencia lógica de la relatividad general. Un panorama muy legible y entretenido de estos temas se da en el capítulo final de Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy de Kip Thorne. En un modelo de juguete construido por los alumnos de Thorne, que involucraba una bola de billar y un agujero de gusano, resultó que siempre parecía haber soluciones autoconsistentes a las ecuaciones de movimiento de la pelota, pero no eran únicas, y a menudo implicaban posibilidades preocupantes en las que la pelota retrocedía en el tiempo y colisionó con su yo anterior. Entre otras cosas, esto parece llevar a una violación de la conservación de la energía masiva, ya que no se puso masa en el sistema para crear copias adicionales de la pelota. Esto sería entonces un ejemplo del hecho de que, como se discute en la sección 4.5, la relatividad general no admite leyes globales de conservación. No obstante, también se argumenta que las bocas del agujero de gusano cambian de masa de tal manera que se preserva la conservación de la energía. ¹⁷

Referencias

¹⁴ Max Born, Teoría de la Relatividad de Einstein, 1920. En la edición de Dover de 1962, el pasaje relevante está en la p. 320

¹⁶ Petrov, en Desarrollos recientes en la relatividad general, 1962, Pérgamo, p. 383. Para una presentación que es de libre acceso en línea, vea Gibbons y Gielen, “The Petrov and Kaigorodov-Ozsv'ath Solutions: Spacetime as a Group Manifold”, arxiv.org/abs/0802.4082.

¹⁷ http://golem.ph.utexas.edu/string/ar...es/000550.html