7.5: Espaciotiempos estáticos y estacionarios (Parte 2)

Teoremas sin pelo

El teorema de Birkhoff es similar a un conjunto de teoremas llamados teoremas sin pelo que describen agujeros negros. El teorema más general sin pelo establece que un agujero negro se caracteriza completamente por su masa, carga e impulso angular. Aparte de estos tres números, nadie en el exterior puede recuperar ninguna información que poseía la materia y la energía que fueron absorbidos por el agujero negro.

Se ha propuesto ¹¹ que el teorema sin pelo para el momento angular distinto de cero y la carga cero podría probarse empíricamente mediante observaciones de Sagitario A*. Si las observaciones son consistentes con el teorema sin pelo, se tomaría como sustento de la validez de la relatividad general y la interpretación de este objeto como un agujero negro supermasivo. Si no, entonces hay varias posibilidades, entre ellas el fracaso de la relatividad general para ser la teoría correcta de los campos gravitacionales fuertes, o el fracaso de uno de los otros supuestos del teorema, como la inexistencia de curvas cerradas parecidas al tiempo en el universo circundante.

Los teoremas sin pelo dicen que la relatividad sólo tiene un pequeño repertorio de tipos de agujeros negros, definidos como regiones del espacio que están causalmente desconectadas del universo, en el sentido de que los futuros conos de luz de puntos en la región no se extienden hasta el infinito. ¹² Es decir, un agujero negro se define como una región oculta detrás de un horizonte de eventos, y dado que la definición de un horizonte de eventos depende del observador, especificamos un observador infinitamente lejano. El teorema de Birkhoff tiene una estructura algo diferente a las de los teoremas sin pelo, ya que asume una simetría y demuestra la existencia de un horizonte de eventos (si la región de vacío se extiende a radios lo suficientemente pequeños), mientras que los teoremas sin pelo asumen un horizonte de eventos y prueban la forma de la métrica, incluidas sus simetrías.

infinito nulo

Para una declaración más formal al respecto, véase Hawking y Ellis, “La estructura a gran escala del espacio-tiempo”, p. 315. Esencialmente, la región debe ser una región conectada en un espacio de tres superficies, y no debe haber líneas mundiales parecidas a la luz que conecten puntos de esa región con el infinito nulo. El infinito nulo se introdujo brevemente en la sección 7.3 se define formalmente utilizando técnicas conformes, pero básicamente se refiere a puntos que están infinitamente lejanos tanto en el espacio como en el tiempo, y tienen las dos infinidades iguales en cierto sentido, de manera que un rayo de luz libre podría terminar ahí. La definición se basa en el supuesto de que el espacio-tiempo circundante es asintóticamente plano, ya que de lo contrario no se puede definir el infinito nulo. En realidad no es necesario asumir una singularidad como parte de la definición; los teoremas sin pelo garantizan que uno existe.

Los teoremas sin pelo no pueden clasificar las singularidades desnudas, es decir, las que no se esconden detrás de horizontes. El papel de las singularidades desnudas en la relatividad es el tema de la hipótesis de la censura cósmica, que es un problema abierto. Los teoremas no descartan la singularidad del Big Bang, porque no podemos definir la noción de observador infinitamente lejos del Big Bang. También podemos ver que el teorema de Birkhoff no prohíbe el Big Bang, porque los modelos cosmológicos no son soluciones de vacío con\(\Lambda\) = 0. Las soluciones de cuerdas negras no están descartadas por el teorema de Birkhoff porque carecerían de simetría esférica, por lo que necesitamos los argumentos dados en la sección 6.3 para demostrar que no existen.

Vimos en el ejemplo 4 y en la sección 7.3 que no hay una manera claramente definida de tratar una singularidad como un objeto geométrico, y que esta ambigüedad se extiende incluso a preguntas tan aparentemente sencillas como cuántas dimensiones tiene. Geométricamente, como dijo Gertrude Stein sobre Oakland, no hay “ahí no”. También podríamos preguntar si una singularidad de agujero negro tiene alguna propiedad física. Si es así, entonces los teoremas sin pelo limitarían la lista de tales propiedades a como máximo tres. Pero no podemos atribuir estas propiedades a la singularidad misma. Más bien, son propiedades de alguna gran región del espacio-tiempo, medibles por un observador en el infinito asintótico. Tal observadora no puede decir si la masa de un agujero negro es propiedad de la singularidad; ni siquiera puede decir si la singularidad existe “ahora”. En este sentido una singularidad de agujero negro no es un “eso”. Preguntar por “sus” propiedades es como preguntar a qué hora es cuando la punta del minutero está en el centro del reloj. La esfera solo existe alrededor de la circunferencia del círculo, no en su centro.

El Potencial Gravitacional

Cuando Pound y Rebka hicieron la primera observación de los desplazamientos al rojo gravitacionales, estos cambios se interpretaron como evidencia de dilatación gravitacional en el tiempo, es decir, un desajuste en las velocidades de los relojes. Estamos acostumbrados a conectar estas dos ideas usando la expresión e ^{−\(\Delta \Phi\)} para la relación de las velocidades de dos relojes (ejemplo 11), donde\(\Phi\) es una función de las coordenadas espaciales, y esta es de hecho la definición más general posible de un potencial gravitacional\(\Phi\) en relatividad. Dado que un campo estacionario nos permite comparar tasas de relojes, parece que deberíamos ser capaces de definir un potencial gravitacional para cualquier campo estacionario. Hay un problema, sin embargo, porque cuando hablamos de un potencial, normalmente tenemos en mente algo que ha codificado dentro de él todo lo que hay que saber sobre el campo. Por lo tanto, esperaríamos poder encontrar la métrica a partir del potencial. Pero el ejemplo de la tierra giratoria muestra que este no tiene por qué ser el caso de un campo estacionario general. En ese ejemplo, hay efectos como el arrastre de fotograma de los que claramente no se puede deducir\(\Phi\); porque por simetría,\(\Phi\) es independiente del ángulo azimutal, y por lo tanto no puede distinguir entre el sentido de rotación y el sentido contrario. En un espacio-tiempo estático, estos efectos rotacionales no existen; un espacio-tiempo estático de vacío puede describirse completamente en términos de un único potencial escalar más información sobre la curvatura espacial.

Hay dos razones principales por las que la relatividad no ofrece un potencial gravitacional con la misma utilidad general que su contraparte newtoniana.

Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales. Por lo tanto, no se puede, en general, encontrar el campo creado por un conjunto dado de fuentes sumando los potenciales. En el mejor de los casos esta es una posible aproximación de campo débil. En particular, aunque el teorema de Birkhoff es en cierto modo análogo al teorema de la concha newtoniana, no puede ser utilizado para encontrar la métrica de una distribución de masa esféricamente simétrica arbitraria dividiéndola en conchas esféricas.

Tampoco es significativo hablar de cualquier tipo de potencial gravitacional para espacio-tiempos que no sean estáticos o estacionarios. Por ejemplo, consideremos un modelo cosmológico que describa nuestro universo en expansión. Tales modelos suelen construirse de acuerdo con el principio copernicano de que ninguna posición en el universo ocupa un lugar privilegiado. Es decir, son homogéneos en el sentido de que tienen vectores Killing que describen traducciones y rotaciones arbitrarias. Debido a este alto grado de simetría, un potencial gravitacional para tal modelo tendría que ser independiente de la posición, y entonces claramente no podría codificar ninguna información sobre la parte espacial de la métrica. Aunque estuviéramos dispuestos a hacer del potencial una función del tiempo,\(\Phi\) (t), los resultados seguirían siendo tonterías. El potencial gravitacional se define en términos de igualación de velocidad de los relojes, por lo que un potencial que fuera puramente una función del tiempo describiría una situación en la que todos los relojes, en todas partes del universo, estaban cambiando sus velocidades de manera uniforme. Pero esto es claramente equivalente a una redefinición de la coordenada temporal, que no tiene consecuencias observables porque la relatividad general es coordinada-invariante. Un corolario es que en un espacio-tiempo cosmológico, no es posible dar una prescripción natural para decidir si un desplazamiento al rojo particular es gravitacional (medido por\(\Phi\)) o cinemático, o alguna combinación de ambos (ver también sección 8.2).

Referencias

¹¹ Johannsen y Saltis, http://arxiv.org/abs/1008.3902v1