7.E: Simetrías (Ejercicios)

1. El Ejemplo 3 dio los vectores de matanza\(\partial_{z}\) y\(\partial_{\phi}\) de un cilindro. Si los expresamos como dos vectores Killing linealmente independientes que son combinaciones lineales de estos dos, ¿cuál es la interpretación geométrica?
2. La sección 7.4 contó la historia de Alice tratando de encontrar evidencia de que su espacio-tiempo no es estacionario, y también enumeró los siguientes ejemplos de espacio-tiempos que no eran estacionarios: a) el sistema solar, (b) modelos cosmológicos, (c) ondas gravitacionales que se propagan a la velocidad de la luz, y (d) una nube de materia experimentando colapso gravitacional. Para cada uno de estos, demuestre que es posible que Alice cumpla con su misión.
3. Si un espacio-tiempo tiene cierta simetría, entonces esperamos que esa simetría sea detectable en el comportamiento de los escalares de curvatura como la curvatura escalar R = R ^_a y la invariante de Kretchmann k = R ^abcd R _abcd.
   1. Mostrar que la métrica $$ds^ {2} = e^ {2gz} dt^ {2} - dx^ {2} - dy^ {2} - dz^ {2} $$de la sección 7.5 tiene valores constantes de R = 1/2 y k = 1/4. Tenga en cuenta que el paquete ctensor de Maxima tiene funciones incorporadas para estos; debe llamar a lriemann y uriemann antes de llamarlos.
   2. De igual manera, muestran que la métrica Petrov $$ds^ {2} = -dr^ {2} - e^ {-2r} dz^ {2} + e^ {r} [2\ sin\ sqrt {3} r d\ phi dt -\ cos\ sqrt {3} r (d\ phi^ {2} - dt^ {2}] $$tiene R = 0 y k = 0.
4. En la sección 7.5 se presentó la métrica Petrov. El propósito de este problema es verificar que el campo gravitacional que representa no se caiga con la distancia. Por simplicidad, restrinjamos nuestra atención a una partícula liberada a una r tal que cos\(\sqrt{3}\) r = 1, de modo que t es la coordenada temporal. Dejar que la partícula se libere en reposo en el sentido que inicialmente tiene\(\dot{z} = \dot{r} = \dot{\phi} = 0\), donde los puntos representan la diferenciación con respecto al tiempo propio de la partícula. Mostrar que la magnitud de la aceleración adecuada es independiente de r.
5. La idea de que un marco está “girando” en la relatividad general se puede formalizar diciendo que el marco es estacionario pero no estático. Supongamos que alguien dice que cualquier rotación debe tener un centro. Dar un contraejemplo.