5: Sintaxis y Semántica
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- 5.1: Introducción
- Para desarrollar la teoría y metateoría de la lógica de primer orden, primero debemos definir la sintaxis y semántica de sus expresiones.
- 5.2: Idiomas de primer orden
- Las expresiones de lógica de primer orden se construyen a partir de un vocabulario básico que contiene variables, símbolos constantes, símbolos predicados y, a veces, símbolos de función. A partir de ellos, junto con las conectivas lógicas, cuantificadores y símbolos de puntuación como paréntesis y comas, se forman términos y fórmulas.
- 5.3: Términos y Fórmulas
- Una vez que\(\mathcal L\) se da un lenguaje de primer orden, podemos definir expresiones construidas a partir del vocabulario básico de\(\mathcal L\). Estos incluyen en términos y fórmulas particulares.
- 5.4: Legibilidad única
- La forma en que definimos las fórmulas garantiza que cada fórmula tenga una lectura única, es decir, esencialmente solo hay una forma de construirla de acuerdo a nuestras reglas de formación para fórmulas y sólo una forma de “interpretarla”.
- 5.5: Operador principal de una Fórmula
- A menudo es útil hablar sobre el último operador utilizado en la construcción de una fórmula\(A\). Este operador se llama el operador principal de\(A\).
- 5.6: Subfórmulas
- A menudo es útil hablar de las fórmulas que “conforman” una fórmula dada. A estos los llamamos sus subfórmulas.
- 5.7: Variables libres y oraciones
- Si una variable ocurre en el alcance de un cuantificador se considera enlazada, de lo contrario libre. Las fórmulas sin ocurrencias de variables libres se llaman oraciones.
- 5.8: Sustitución
- Si\(A\) es una fórmula,\(x\) es una variable, y\(t\) es un término libre para\(x\) in\(A\), entonces\({A}[t/x]\) es el resultado de sustituir\(t\) todas las ocurrencias libres de\(x\) in\(A\).
- 5.9: Estructuras para Lenguas de Primer Orden
- Los lenguajes de primer orden son, por sí mismos, no interpretados: los símbolos constantes, los símbolos de función y los símbolos predicados no tienen un significado específico asociado a ellos. Los significados se dan especificando la estructura.
- 5.10: Estructuras cubiertas para idiomas de primer orden
- Se cubre una estructura si cada elemento del dominio es el valor de algún término cerrado.
- 5.11: Satisfacción de una Fórmula en una Estructura
- Una fórmula se satisface en una estructura si la interpretación dada a los predicados hace que la fórmula sea verdadera en el dominio de la estructura.
- 5.12: Asignaciones Variables
- El valor de un término\(t\), y si una fórmula\(A\) se satisface o no en una estructura con respecto a\(s\), sólo depende de las asignaciones\(s\) que haga a las variables en\(t\) y las variables libres de\(A\).
- 5.13: Extensionalidad
- La extensionalidad, a veces llamada relevancia, puede expresarse de manera informal de la siguiente manera: los únicos factores que inciden\(A\) en la satisfacción de la fórmula en una estructura\(M\) relativa a una asignación variable\(s\), son el tamaño del dominio y las asignaciones realizadas por\(M\) y\(s\) a los elementos del lenguaje que realmente aparecen en\(A\).
- 5.14: Nociones semánticas
- La relación de satisfacción es la base de todas las nociones semánticas.