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6.3: Serie común de Fourier

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    Introducción

    Una vez que se ha obtenido una comprensión sólida de los fundamentos del análisis de series de Fourier y la Derivación General de los Coeficientes de Fourier, es útil tener una comprensión de las señales comunes utilizadas en la Aproximación de Señales de la Serie de Fourier.

    Derivación de los Coeficientes de Fourier

    Considera una onda cuadrada\(f(x)\) de longitud 1. En el rango [0,1), esto se puede escribir como

    \ [x (t) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
    1 & t\ leq\ frac {1} {2}\\
    -1 & t>\ frac {1} {2}
    \ end {array}\ derecha.. \ nonumber\]

    Aproximación en serie de Fourier de una onda cuadrada
    Figura\(\PageIndex{1}\): Aproximación de la serie de Fourier a\(sq(t)\). El número de términos en la suma de Fourier se indica en cada gráfica, y la onda cuadrada se muestra como una línea discontinua en dos periodos.

    Señales Pares Reales

    Dado que la onda cuadrada es una señal real y uniforme,

    • \(f(t)=f(−t)\)INCLUSO
    • \(f(t)=f^*(t)\)REAL

    por lo tanto,

    • \(c_n=c_{−n}\)INCLUSO
    • \(c_n=c_n^*\)REAL

    Considera esta pregunta matemática de manera intuitiva: ¿Puede una función discontinua, como la onda cuadrada, expresarse como una suma, incluso infinita, de señales continuas? Uno debe por lo menos sospechar, y de hecho, no se puede expresar así.

    Los picos extraños en la serie de Fourier de la onda cuadrada nunca desaparecen; se les llama fenómeno de Gibb después del físico estadounidense Josiah Willard Gibbs. Se producen siempre que la señal es discontinua, y siempre estarán presentes siempre que la señal tenga saltos.

    Derivación de los Coeficientes de Fourier para Otras Señales

    La onda cuadrada es el ejemplo estándar, pero otras señales importantes también son útiles para analizar, y estas se incluyen aquí.

    Forma de onda constante

    Esta señal es relativamente autoexplicativa: se saca la porción variable en el tiempo del Coeficiente de Fourier, y nos quedamos simplemente con una función constante en todo el tiempo.

    \[x(t) = 1 \nonumber \]

    Forma de onda sinusoidal

    Con esta señal, solo se elige una frecuencia específica de Coeficiente variable en el tiempo (dado que la ecuación de la Serie de Fourier incluye una onda sinusoidal, esto es intuitivo), y todas las demás se filtran, y este único coeficiente variable en el tiempo coincidirá exactamente con la señal deseada.

    \[ x(t) = \sin(\pi t) \nonumber \]

    Forma de onda triangular

    \ [x (t) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    t & t\ leq 1/4\\
    2-4 t & 1/4\ leq t\ leq 3/4\\
    -7/4+4 t & 3/4\ leq t\ leq t\ leq 1
    \ end {array}\ right. \ nonumber\]

    Esta es una forma más compleja de aproximación de señal a la onda cuadrada. Debido a las Propiedades de Simetría de la Serie de Fourier, la onda triangular es una señal real e impar, a diferencia de la señal de onda cuadrada real y par. Esto significa que

    • \(f(t) = -f(-t)\)ODD
    • \(f(t) = f^*(t)\)REAL

    por lo tanto,

    • \(c_n = -c_{-n}\)
    • \(c_n = -c_n^*\)Imaginario
    Aproximación de la serie de Fourier de una onda triangular Figura\(\PageIndex{2}\)

    Forma de onda de diente de

    \[x(t)=t- \operatorname{Floor}(t) \nonumber \]

    Debido a las propiedades de simetría de la serie de Fourier, la onda en diente de sierra se puede definir como una señal real e impar, a diferencia de la señal de onda cuadrada real y par. Esto tiene implicaciones importantes para los Coeficientes de Fourier.

    Aproximación en serie de Fourier de una onda en diente de sierra Figura\(\PageIndex{3}\)

    Aproximación de la serie de Fourier VI

    FourierSeriesDemo
    Figura\(\PageIndex{4}\): Interactuar (cuando esté en línea) con un CDF de Mathematica demostrando la serie común de Fourier. Para descargar, haga clic derecho y guarde el archivo como .cdf.

    Resumen

    En resumen, existe una gran variedad entre las Transformadas de Fourier comunes. Aquí se proporciona una tabla resumida con la información esencial.

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Serie común de Fourier de tiempo continuo
    Descripción Señal de dominio de tiempo para\(t \in[0,1)\) Señal de dominio de frecuencia
    Forma de onda constante \ (t\ in [0,1)\)” class="lt-eng-22874">\(x(t)=1\) \ (c_ {k} =\ left\ {\ begin {array} {ll}
    1 & k=0\\
    0 & k\ neq 0
    \ end {array}\ right.\)
    Forma de onda sinusoidal \ (t\ in [0,1)\)” class="lt-eng-22874">\(x(t)=\sin (\pi t)\) \ (c_ {k} =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    1/2 & k=\ pm 1\\
    0 & k\ neq\ pm 1
    \ end {array}\ derecha.\)
    Forma de onda cuadrada \ (t\ in [0,1)\)” class="lt-eng-22874">\ (x (t) =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    1 & t\ leq 1/2\\
    -1 & t>1/2
    \ end {array}\ right.\)    		 \ (c_ {k} =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    4/\ pi k &\ text {k impar}\\
    0 &\ text {k par}
    \ end {array}\ right.\)
    Forma de onda triangular \ (t\ in [0,1)\)” class="lt-eng-22874">\ (x (t) =\ left\ {\ begin {array} {rl}
    t & t\ leq 1/2\\
    1-t & t>1/2
    \ end {array}\ right.\)    		 \ (c_ {k} =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    -8\ sin (\ mathrm {k}\ pi)/2)/(\ pi k) ^ {2} &\ text {k impar}\\
    0 &\ text {k par}
    \ end {array}\ right.\)
    Forma de onda de diente de \ (t\ in [0,1)\)” class="lt-eng-22874">\(x(t) = t/2\) \ (c_ {k} =\ left\ {\ begin {array} {cc}
    0.5 & k=0\\
    -1/\ pi k & k\ neq 0
    \ end {array}\ right.\)

    This page titled 6.3: Serie común de Fourier is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Richard Baraniuk et al..