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9.4: Expresiones radicales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En las dos secciones anteriores aprendimos a multiplicar y dividir las raíces cuadradas. Específicamente, ahora estamos armados con las siguientes dos propiedades.

Propiedad9.4.1

Que a y b sean dos números no negativos reales cualesquiera. Entonces,

ab=ab,

y, proporcionarb0,

ab=ab

En esta sección, simplificaremos una serie de expresiones más extensas que contienen raíces cuadradas, particularmente aquellas que son fundamentales para su trabajo en futuros cursos de matemáticas. Empecemos por construir algunas habilidades fundamentales.

La propiedad asociativa

Recordamos la propiedad asociativa de la multiplicación.

Propiedad asociativa de la multiplicación

Sea a, b y c cualquier número real. La propiedad asociativa de la multiplicación establece que

(ab)c=a(bc)

Tenga en cuenta que el orden de los números a cada lado de la Ecuación\ ref {associativeprop} no ha cambiado. Los números a cada lado de la ecuación están en el ordena,b, y luegoc.

No obstante, la agrupación ha cambiado. A la izquierda, los paréntesis alrededor del producto dea y nosb instruyen a realizar ese producto primero, luego multiplicar el resultado porc. A la derecha, la agrupación es diferente; los paréntesis alrededor de b y c nos instruyen a realizar ese producto primero, luego multiplicar pora. El punto clave a entender es el hecho de que las distintas agrupaciones no hacen diferencia alguna. Obtenemos la misma respuesta en cualquier caso.

Por ejemplo, considera el producto234. Si multiplicamos 2 y 3 primero, luego multiplicamos el resultado por 4, obtenemos

(23)4=64=24

Por otro lado, si multiplicamos 3 y 4 primero, luego multiplicamos el resultado por 2, obtenemos

2(34)=212=24

Tenga en cuenta que obtenemos el mismo resultado en cualquiera de los dos casos. Es decir,

(23)4=2(34)

La propiedad asociativa, aparentemente trivial, adquiere un nivel extra de sofisticación si la aplicamos a expresiones que contienen radicales. Veamos un ejemplo.

Ejemplo9.4.3

Simplifica la expresión3(25). Coloca tu respuesta en forma radical simple.

Actualmente, los paréntesis alrededor de 2 y5 require that we multiply those two numbers first. However, the associative property of multiplication allows us to regroup, colocando los paréntesis alrededor de 3 y 2, multiplicando primero esos dos números, luego multiplicando el resultado por5. Organizamos el trabajo de la siguiente manera.

3(25)=(32)5=65.

Los lectores deben tener en cuenta la similitud con una manipulación muy familiar.

3(2x)=(32)x=6x

En la práctica, cuando nos volvimos confiados con este reagrupamiento, comenzamos a saltarnos el paso intermedio y simplemente afirmar que 3 (2x) = 6x. En un sentido similar, una vez que tengas confianza con el reagrupamiento, simplemente debes decir eso3(25)=65. Si se le pide que explique su respuesta, debe estar listo para explicar cómo se reagrupó de acuerdo con la propiedad asociativa de la multiplicación. Del mismo modo,

4(57)=207,12(511)=6011, y5(33)=153.

La propiedad conmutativa de la multiplicación

Recordamos la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Propiedad conmutativa de la multiplicación

Sea a y b cualquier número real. La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que

ab = ba

La propiedad conmutativa establece que el orden de multiplicación es irrelevante. Por ejemplo,23 es lo mismo que32; they both equal 6. This seemingly trivial property, coupled with the associative property of multiplication, allows us to change the order of multiplication and regroup as we please.

Ejemplo9.4.5

Simplifica la expresión5(23). Coloca tu respuesta en forma radical simple.

Lo que realmente nos gustaría hacer es primero multiplicar5 and 3. In order to do this, we must first regroup, then switch the order of multiplication as follows.

5(23)=(52)3=(25)3

Esto es permitido por las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación. Ahora, nos reagruparemos de nuevo y nos multiplicamos.

(25)3=2(53)=215

En la práctica, esto es demasiado trabajo para un cálculo tan simple. Una vez que entendemos las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación, la expresiónabc es inequívoca. No se necesitan paréntesis. Sabemos que podemos cambiar el orden de multiplicación y reagruparnos como nos plazca. Por lo tanto, cuando se le presenta el producto de tres números, simplemente multiplique dos de su elección juntos, luego multiplique el resultado por el tercer número restante.

En el caso de5(23), elegimos multiplicar primero5 y3, es decir15, luego multiplicar este resultado por 2 para obtener215. Del mismo modo,

5(27)=235yx(35)=35x.

Ejemplo9.4.6

Simplifica la expresión6(48). Coloca tu respuesta en forma radical simple.

Empezamos multiplicando6 and 8, then the result by 4.

6(48)=448

Ahora,\(48 = 16 \cdot 3\), así podemos extraer un cuadrado perfecto.

448=4(163)=4(43)

Nuevamente, elegimos multiplicar las cuatro patas, luego el resultado por la raíz cuadrada de tres. Es decir,

4(43)=163.

Por inducción, podemos argumentar que las propiedades asociativas y conmutativas nos permitirán agrupar y organizar el producto de más de tres números en cualquier orden que nos plazca.

Ejemplo9.4.7

Simplifica la expresión212(33). Coloca tu respuesta en forma radical simple.

Primero tomaremos el producto de 2 y 3, luego el producto de12 and 3, then multiply these results together.

212(33)=(23)(123)=636

Por supuesto,36=6, así podemos simplificar aún más.

636=66=36

La propiedad distributiva

Recordemos la propiedad distributiva para números reales.

Propiedad distributiva

Sea a, b y c cualquier número real. Entonces,

a (b+c) = ab + ac

Quizás recuerdes la siguiente operación, donde “distribues el 2", multiplicando cada término entre paréntesis por 2.

2 (3 + x) = 6 + 2x

Se puede hacer precisamente lo mismo con expresiones radicales.

2(3+5)=6+25

Al igual que el ejemplo familiar anterior, “distribuimos el 2”, multiplicando cada término entre paréntesis por 2.

Veamos más ejemplos.

Ejemplo9.4.9

Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión12(3+3), colocando tu respuesta final en forma radical simple.

En primer lugar, distribuir el12, multiplying each term in the parentheses by 12. Note que123=36.

12(3+3)=312+36=312+6

Sin embargo, esta última expresión no está en forma simple radical, ya que podemos factorizar un cuadrado perfecto(12=43).

312+6=3(43)+6=3(23)+6=63+6

No importa si el factor monomial está en la parte delantera o trasera de la suma, todavía se distribuyen los tiempos monomiales cada término entre paréntesis.

Ejemplo9.4.10

Utilice la propiedad distributiva para expandir(3+22)6. Coloca tu respuesta en forma radical simple.

Primero, multiplica cada término entre paréntesis por6.

(3+22)6=18+212

Para obtener el segundo término de este resultado, optamos por multiplicar primero2 y6, es decir12, luego multiplicamos este resultado por 2. Ahora, podemos factorizar cuadrados perfectos tanto de 18 como de 12.

18+212=92+2(43)=32+2(23)=32+43

Recuerda, puedes consultar tus resultados con tu calculadora. En la Figura 1 (a), hemos encontrado una aproximación decimal para la expresión original(3+22)6, y en la Figura 1 (b) tenemos una aproximación decimal para nuestra solución32+43. Tenga en cuenta que son los mismos, aportando evidencia de que nuestra solución es correcta.

Screen Shot 2019-06-26 at 1.27.09 PM.png
Figura 1. Comparando la expresión original con su forma radical simple.

La propiedad distributiva también es responsable de ayudarnos a combinar “términos similares”. Por ejemplo, tal vez recuerdes que 3x + 5x = 8x, un cálculo aparentemente simple, pero es la propiedad distributiva la que realmente proporciona esta solución. Observe cómo usamos la propiedad distributiva para factorizar x de cada término.

3x+5x = (3+5) x

De ahí que 3x + 5x = 8x. Se puede hacer lo mismo con expresiones radicales.

32+52=(3+5)2

De ahí,32+52=82 y la estructura de este resultado es idéntica a la que se muestra en 3x + 5x = 8x. No hay diferencia en la forma en que combinamos estos “términos similares”. Repetimos el factor común y sumamos coeficientes. Por ejemplo,

23+93=113,42+22=22, y3xx+5xx=2xx.

En cada caso anterior, estamos agregando “términos similares”, repitiendo el factor común y agregando coeficientes.

En el caso de que no tengamos términos similares, como en 3x+5y, no hay nada que hacer. De la misma manera, cada una de las siguientes expresiones no tienen términos similares que puedas combinar. Están tan simplificados como van a conseguir.

32+53,211810, y2x+5y

No obstante, hay momentos en los que puede parecer como si no tuvieras términos similares, pero cuando colocas todo en forma radical simple, descubres que sí tienes términos similares que se pueden combinar sumando coeficientes.

Ejemplo9.4.11

Simplifica la expresión527+83, colocando la expresión final en forma radical simple.

Podemos extraer un cuadrado perfecto (27=93).

527+83=5(93)+83=5(33)+83=153+83

Tenga en cuenta que ahora tenemos “términos similares” que se pueden combinar sumando coeficientes.

153+83=233

En las Figuras 2 (a) y (b) se muestra una comparación de la expresión original y su forma simplificada.

Screen Shot 2019-06-26 at 1.38.34 PM.png
Figura 2. Comparando la expresión original con su forma simplificada.

Ejemplo9.4.12

Simplifica la expresión220+8+35+42, colocando el resultado en forma radical simple.

Podemos extraer cuadrados perfectos (20=45 and 8=42).

220+8+35+42=2(45)+42+35+42=2(25)+22+35+42=45+22+35+42

Ahora podemos combinar términos similares sumando coeficientes.

45+22+35+42=75+62

Las fracciones pueden ser un poco complicadas.

Ejemplo9.4.13

Simplificar27+112, colocando el resultado en forma radical simple.

Podemos extraer una raíz cuadrada perfecta(27=93) El denominador en el segundo término es12=223, por lo que se necesita un 3 más en el denominador para hacer un cuadrado perfecto.

27+112=93+11233=33+336=33+36

Para sumar estas fracciones, necesitamos un denominador común de 6.

33+36=1836+36=1936

Ahora podemos combinar numeradores sumando coeficientes.

1836+36=1936

Las aproximaciones decimales de la expresión original y su forma simplificada se muestran en las Figuras 3 (a) y (b).

Screen Shot 2019-06-26 at 1.48.50 PM.pngalt
Figura 3. Comparando la expresión original con su forma simplificada.

A primera vista, la falta de un monomio en el producto (x + 1) (x + 3) hace pensar que la propiedad distributiva no nos ayudará a encontrar el producto. No obstante, si pensamos en el segundo factor como una sola unidad, podemos distribuirlo por cada término en el primer factor.

(x+1) (x+3) = x (x+3) +1 (x+3)

Aplica la propiedad distributiva por segunda vez, luego combina términos similares.

x(x+3)+1(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3

Podemos manejar productos con expresiones radicales de la misma manera.

Ejemplo9.4.14

Simplificar(2+2)(3+52). Coloca tu resultado en forma radical simple.

Piense en el segundo factor como una sola unidad y distribúyalo por cada término en el primer factor.

(2+2)(3+52)=2(3+52)+2(3+52)

Ahora, utilice de nuevo la propiedad distributiva.

2(3+52)+2(3+52)=6+102+32+54

Tenga en cuenta que al encontrar el último término,22=4. Ahora,\ sqrt {4} = 2, entonces podemos combinar términos similares.

6+102+32+54=6+102+32+5(2)=6+102+32+10=16+132

Las aproximaciones decimales de la expresión original y su forma radical simple se muestran en las Figuras 4 (a) y (b).

Screen Shot 2019-06-26 at 5.50.42 PM.png
Figura 4. Comparando la expresión original con su forma simplificada.

Productos Especiales

Hay dos productos especiales que tienen importantes aplicaciones que involucran expresiones radicales, quizás uno más que el otro. El primero es la conocida diferencia de patrón de dos cuadrados.

Diferencia de cuadrados

Sea a y b cualquier número. Entonces,

(a+b)(ab)=a2b2.

Este patrón involucra dos factores binomiales que tienen idénticos términos primero y segundo, los términos en un factor separados por un signo más, los términos en el otro factor separados por un signo menos. Cuando veamos este patrón de multiplicación, debemos cuadrar el primer término de cualquiera de los dos factores, cuadrar el segundo término, luego restar los resultados. Por ejemplo,

(2x+3)(2x3)=4x29.

Este producto especial se aplica igualmente bien cuando el primer y/o segundo términos involucran expresiones radicales.

Ejemplo9.4.15

Usa la diferencia de patrones cuadrados para multiplicar(2+11)(211)

Tenga en cuenta que esta multiplicación tiene la forma (a + b) (a b), por lo que aplicamos el patrón de diferencia de cuadrados para obtener

(2+11)(211)=(2)2(11)2

Por supuesto,22=4 y(11)2=11, así podemos terminar de la siguiente manera.

(2)2(11)2=411=7

Ejemplo9.4.16

Usa el patrón de diferencia de cuadrados para multiplicar(25+37)(2537).

Nuevamente, este producto tiene la forma especial (a + b) (a b), por lo que aplicamos el patrón de diferencia de cuadrados para obtener

(25+37)(2537)=(25)2(37)2

A continuación, cuadramos un producto de dos factores según la regla(ab)2=a2b2. Por lo tanto,

(25)2=(2)2(5)2=45=20

y

(37)2=(3)2(7)2=97=63.

Así, podemos completar la multiplicación(25+37)(2537) con

(25)2(37)2=2063=43.

Este resultado se verifica fácilmente con una calculadora, como se muestra en la Figura 5.

Screen Shot 2019-06-26 at 6.12.52 PM.png
Figura 5. Aproximando(25+37)(2537).

El segundo patrón de interés es el atajo para cuadrar un binomio.

Cuadrando un binomio

Que a y b sean números. Entonces,

(a+b)2=a2+2ab+b2.

Aquí cuadramos los términos primero y segundo del binomio, luego producimos el término medio del resultado multiplicando los términos primero y segundo y duplicando ese resultado. Por ejemplo,

(2x+9)2=(2x)2+2(2x)(9)+(9)2=4x2+36x+81.

Este patrón también se puede aplicar a binomios que contienen expresiones radicales.

Ejemplo9.4.17

Utilice la cuadratura de un patrón binomial para expandirse(2x+5)2. Coloca tu resultado en forma radical simple. Supongamos que x es un número real positivo (x > 0).

Aplicando la cuadratura de un patrón binomial, obtenemos

(2x+5)2=(2x)2+2(2x)(5)+(5)2.

Como antes,(2x)2=(2)2(x)2=4x y(5)2=5. En el caso de2(2x)(5), tenga en cuenta que estamos multiplicando cuatro números juntos. Las propiedades asociativas y conmutativas establecen que podemos multiplicar estos cuatro números en el orden que nos plazca. Entonces, el producto de 2 y 2 es 4, el producto dex y5 es5x, luego multiplicamos estos resultados para producir el resultado45x. Por lo tanto,

(2x)2+2(2x)(5)+(5)2=4x+45x+5.

Racionalización de denominadores

Como vimos en el apartado anterior, la instrucción “racionalizar el denominador” es una petición para eliminar todas las expresiones radicales del denominador. Por supuesto, esta es la “tercera pauta de la forma radical simple”, pero hay momentos, particularmente en el cálculo, cuando la instrucción cambia para “racionalizar el numerador”. Por supuesto, esta es una solicitud para eliminar todos los radicales del numerador.

No puedes tener ambos mundos. Se pueden eliminar expresiones radicales del denominador o del numerador, pero no ambas. Si no se da ninguna instrucción, supongamos que la “tercera pauta de la forma radical simple” está en juego y eliminar todas las expresiones radicales del denominador. Ya hemos hecho un poco de esto en secciones anteriores, pero aquí abordamos un tipo de expresión un poco más complicado.

Ejemplo9.4.18

En la expresión32+2, racionalizar el denominador.

El secreto radica en la diferencia de patrón de cuadrados,(a+b)(ab)=a2b2. For example,

(2+2)(22)=(2)2(2)2=42=2.

Esto proporciona una excelente pista sobre cómo proceder con la racionalización del denominador de la expresión3(2+2). Multiplique tanto el numerador como el denominador por22.

32+2=32+222222

Multiplicar numeradores y denominadores.

32+222222=3(22)(2+2)(22)=632(2)2(2)2=63242=6322

Tenga en cuenta que es tentador cancelar el 2 en el denominador en el 6 en el numerador, pero no se le permite cancelar términos que están separados por un signo menos. Este es un error común, así que no caigas presa de este error.

En las figuras 6 (a) y (b), comparamos aproximaciones decimales de la expresión original y su forma radical simple.

Screen Shot 2019-06-27 at 1.31.49 PM.png
Figura 6. Comparando la expresión original con su forma radical simple.

Ejemplo9.4.19

En la expresión3+232, racionalizar el denominador.

Multiplicar numerador y denominador por3+2.

3+232=3+2323+23+2.

Multiplicar numeradores y denominadores.

3+2323+23+2=(3+2)2(32)(3+2)

En el denominador, tenemos la diferencia de dos cuadrados. Por lo tanto,

(32)(3+2)=(3)2(2)2=32=1.

Obsérvese que esto borra el denominador de los radicales. Esta es la razón por la que multiplicamos el numerador y el denominador por3+2. En el numerador, podemos usar la cuadratura de un atajo binomial para multiplicar.

(3+2)2=(3)2+2(3)(2)+(2)2=3+26+2=5+26

Así, podemos completar la simplificación iniciada anteriormente.

(3+2)2(32)(3+2)=5+261=5+26

En las figuras 7 (a) y (b), comparamos las aproximaciones decimales de la expresión original con su forma radical simple.

Screen Shot 2019-06-27 at 1.47.47 PM.png
Figura 7. Comparando la expresión original con su forma radical simple.

Revisitando la fórmula cuadrática

Podemos usar lo que hemos aprendido para colocar las soluciones proporcionadas por la fórmula cuadrática en forma simple. Veamos un ejemplo.

Ejemplo9.4.20

Resuelve la ecuaciónx2=2x+2 para x. Coloca tu solución en forma radical simple.

La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.

x22x2=0

Compara este resultado con la forma generalax2+bx+c=0 y observa que a = 1, b = −2 y c = −2. Anote la fórmula cuadrática, haga las sustituciones, luego simplifique.

x=b±b24ac2a=(2)±(2)24(1)(2)2(1)=2±122

Tenga en cuenta que podemos factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.

x=2±122=2±432=2±232

En este punto, tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador son divisibles por 2. Hay varias formas en las que podemos proceder con la reducción.

  • Algunas personas prefieren factorial, luego cancelar.

2±232=2(1±3)2=1±3

  • Algunos prefieren usar la propiedad distributiva.

2±232=22±232=1±3

En cada caso, la forma final de la respuesta es en forma radical simple y se reduce a los términos más bajos.

Advertencia9.4.21

Cuando se trabaja con la fórmula cuadrática, uno de los errores álgebra más comunes es cancelar adiciones en lugar de factores, como en

2±232=±23

Por favor, trate de evitar cometer este error.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo9.4.22

Resuelve la ecuación3x22x=6 para x. Coloca tu solución en forma radical simple.

Esta ecuación es no lineal. Mueve cada término a un lado de la ecuación, haciendo que el otro lado de la ecuación sea igual a cero.

3x22x6=0

Compare con la forma generalax2+bx+c=0 y observe que a = 3, b = −2 y c = −6. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.

x=b±b24ac2a=(2)±(2)24(3)(6)2(3)=2±766

Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.

x=2±766=2±4196=2±2196

Elegimos factorial y cancelar.

x=2±2196=2(1±19)23=1±193

En los Ejercicios 1 - 14, coloque cada una de las expresiones radicales en forma radical simple. Consulta tu respuesta con tu calculadora.

Ejercicio9.4.1

2(57)

Contestar

Reagrupe usando la propiedad asociativa y simplifique.

2(57)=(25)7=107

Cheque.

Screen Shot 2019-06-27 a las 10.14.16 PM.png

Ejercicio9.4.2

3(23)

Ejercicio9.4.3

3(25)

Contestar

Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.

3(25)=2(35)=2(15)=215

Cheque.

Screen Shot 2019-06-27 a las 10.16.50 PM.png

Ejercicio9.4.4

2(37)

Ejercicio9.4.5

3(56)

Contestar

Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.

3(56)=5(36)=5(18)

Esto no es de forma sencilla ya que es posible factorizar un cuadrado perfecto.

518=592=532=152

Cheque.

Screen Shot 2019-06-27 a las 10.19.48 PM.png

Ejercicio9.4.6

2(310)

Ejercicio9.4.7

(25)(33)

Contestar

Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.

(25)(33)=(23)(53)=615

Cheque.

Screen Shot 2019-06-27 a las 10.27.33 PM.png

Ejercicio9.4.8

(52)(27)

Ejercicio9.4.9

(43)(26)

Contestar

Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.

(43)(26)=(42)(36)=818

Esta respuesta no es sencilla porque podemos factorizar un cuadrado perfecto.

818=892=832=242

Cheque.

Screen Shot 2019-06-27 a las 10.30.59 PM.png

Ejercicio9.4.10

(25)(310)

Ejercicio9.4.11

(23)2

Contestar

Recordemos eso(ab)2=a2b2.

(23)2=(2)2(3)2=43=12

Cheque.

Screen Shot 2019-06-27 at 10.32.51 PM.png

Ejercicio9.4.12

(35)2

Ejercicio9.4.13

(52)2

Contestar

Recordemos eso(ab)2=a2b2.

(52)2=(5)2(2)2=252=50

Cheque.

Screen Shot 2019-06-27 a las 10.34.40 PM.png

Ejercicio9.4.14

(711)2

En los Ejercicios 15 - 22, utilice la propiedad distributiva para multiplicar. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Consulta tu resultado con tu calculadora.

Ejercicio9.4.15

2(3+5)

Contestar

Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.

2(3+5)=2(3)+2(5)=6+25

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 a las 11.19.31 AM.png

Ejercicio9.4.16

3(47)

Ejercicio9.4.17

2(5+42)

Contestar

Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.

2(5+42)=2(5)+2(42)=10+82

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 a las 11.20.56 AM.png

Ejercicio9.4.18

3(432)

Ejercicio9.4.19

2(2+2)

Contestar

Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.

2(2+2)=2(2)+2(2)=22+4=22+2

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 a las 11.23.31 AM.png

Ejercicio9.4.20

3(46)

Ejercicio9.4.21

2(10+14)

Contestar

Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.

2(10+14)=2(10)+2(14)=20+28

Sin embargo, esta respuesta no está en forma simple porque podemos factorizar cuadrados perfectos.

20+28=45+47=25+27

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 a las 11.26.48 AM.png

Ejercicio9.4.22

3(1533)

En Ejercicios 23 - 30, combine términos similares. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Consulta tu solución con tu calculadora.

Ejercicio9.4.23

52+72

Contestar

Utilice la propiedad distributiva para factorizar2.

52+72=(5+7)2=22

En la práctica, solemos combinar52+72 tanto como lo hacemos −5x+7x = 2x y simplemente escribimos52+72=22.

Cheque.

altScreen Shot 2019-06-28 a las 11.31.59 AM.png

Ejercicio9.4.24

23+33

Ejercicio9.4.25

2686

Contestar

Utilice la propiedad distributiva para factorizar6.

2686=(28)6=66

En la práctica, solemos combinar2686 tanto como hacemos 2x−8x = −6x y simplemente escribimos2686=66.

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 a las 11.37.52 AM.png

Ejercicio9.4.26

737

Ejercicio9.4.27

2342+33

Contestar

Las propiedades conmutativas y asociativas de adición nos permiten reordenar y reagruparnos, luego combinamos términos similares.

2342+33=(23+33)42=5342

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 a las 11.40.44 AM.png

Ejercicio9.4.28

75+2735

Ejercicio9.4.29

23+5273+22

Contestar

Las propiedades conmutativas y asociativas de adición nos permiten reordenar y reagruparnos, luego podemos agregar términos similares.

23+5273+22=(2373)+(52+22)=53+72

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 a las 11.42.56 AM.png

Ejercicio9.4.30

31127211+47

En Ejercicios 31 - 40, combine términos similares cuando sea posible. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Usa tu calculadora para verificar tu resultado.

Ejercicio9.4.31

45+20

Contestar

45+20=325+225=35+25=(3+2)5=55

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 en 1.28.14 PM.png

Ejercicio9.4.32

445420

Ejercicio9.4.33

2188

Contestar

2188=2322222=6222=(62)2=42

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 at 1.30.39 PM.png

Ejercicio9.4.34

20+445

Ejercicio9.4.35

527+512

Contestar

527+512=5323+5223=153+103=(15+10)3=53

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 en 1.33.20 PM.png

Ejercicio9.4.36

312227

Ejercicio9.4.37

420+445

Contestar

420+445=4225+4325=85+125=(8+12)5=205

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 en 1.35.34 PM.png

Ejercicio9.4.38

21858

Ejercicio9.4.39

245+520

Contestar

245+520=2325+5225=65+105=165

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 at 1.37.40 PM.png

Ejercicio9.4.40

327412

En los Ejercicios 41 - 48, simplificar cada una de las expresiones racionales dadas. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Consulta tu resultado con tu calculadora.

Ejercicio9.4.41

212

Contestar

Colocar el segundo término en forma radical simple.

212=21222=224=222

Escribe cada término sobre un denominador común de 2.

222=22222=22222=22

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 at 1.43.37 PM.png

Ejercicio9.4.42

3333

Ejercicio9.4.43

2222

Contestar

Colocar el segundo término en forma radical simple.

2222=222222=22224

Continuando,

22224=22222=222=2

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 at 1.48.07 PM.png

Ejercicio9.4.44

4555

Ejercicio9.4.45

52+32

Contestar

Colocar el segundo término en forma radical simple.

52+32=52+3222=52+324=52+322

Escribe fracciones equivalentes con un denominador común y suma.

2+322=5222+322=1022+322=1322

Cheque.

Screen Shot 2019-06-28 at 1.51.47 PM.png

Ejercicio9.4.46

63+23

Ejercicio9.4.47

812232

Responder

Colocar el primer y segundo términos en forma radical simple.

812232=421222232=22122232

Reduzca el segundo término fraccional, luego combine términos similares.

22122232=226232=72

Cheque.

Screen Shot 2019-07-01 at 1.29.27 PM.png

Ejercicio9.4.48

276353

En los Ejercicios 49 - 60, multiplique para expandir cada una de las expresiones radicales dadas. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Usa tu calculadora para verificar tu resultado.

Ejercicio9.4.49

(2+3)(33)

Responder

Distribuir el segundo factor por cada término del primer factor, luego aplicar la propiedad distributiva por segunda vez.

(2+3)(33)=2(33)+3(33)=623+339

Simplifica y combina términos similares.

623+339=623+333=3+3

Cheque.

Screen Shot 2019-07-01 at 1.32.15 PM.png

Ejercicio9.4.50

(5+2)(22)

Ejercicio9.4.51

(4+32)(252)

Responder

Utilice la propiedad distributiva para multiplicar el segundo factor por cada término del primer factor, luego use la propiedad distributiva por segunda vez.

(4+32)(252)=4(252)+32(252)=8202+62154

Simplifica, luego combina términos similares.

8202+62154=8202+6230=22142

Cheque.

Screen Shot 2019-07-01 at 1.35.16 PM.png

Ejercicio9.4.52

(3+53)(123)

Ejercicio9.4.53

(2+32)(232)

Responder

Aquí usamos la diferencia de patrón de cuadrados:(a+b)(ab)=a2b2.

(2+32)(232)=(2)2(32)2

Recordemos eso(ab)2=a2b2.

(2)2(32)2=4(3)2(2)2=492=418=14

Cheque.

Screen Shot 2019-07-01 at 1.38.29 PM.png

Ejercicio9.4.54

(3+25)(325)

Ejercicio9.4.55

(23+32)(2332)

Responder

Aquí usamos la diferencia de patrón de cuadrados:(a+b)(ab)=a2b2.

(23+32)(2332)=(23)2(32)2

Recordemos eso(ab)2=a2b2.

(23)2(32)2=(2)2(3)2(3)2(2)2=4392=1218=6

Cheque.

Screen Shot 2019-07-01 at 1.40.24 PM.png

Ejercicio9.4.56

(82+5)(825)

Ejercicio9.4.57

(2+5)2

Responder

Aquí usamos la cuadratura de un patrón binomial:(a+b)2=a2+2ab+b2.

Recordemos eso(ab)2=a2b2.

(2+5)2=(2)2+2(2)(5)+(5)2=4+45+5=9+45

Cheque.

Screen Shot 2019-07-01 at 1.42.16 PM.png

Ejercicio9.4.58

(32)2

Ejercicio9.4.59

(325)2

Responder

Aquí usamos la cuadratura de un patrón binomial:(ab)2=a22ab+b2.

Recordemos eso(ab)2=a2b2.

(325)2=(3)22(3)(25)+(25)2=3415+45=3415+20=23415

Cheque.

Screen Shot 2019-07-01 at 1.45.24 PM.png

Ejercicio9.4.60

(23+32)2

En los Ejercicios 61 - 68, colocar cada una de las expresiones racionales dadas en forma radical simple “racionalizando el denominador”. Consulta tu resultado con tu calculadora.

Ejercicio9.4.61

15+3

Responder

Multiplicar numerador y denominador por53. Recordemos la diferencia de patrón de cuadrados:(a+b)(ab)=a2b2.

15+3=15+35353=53(5)2(3)2

Continuando.

53(5)2(3)2=5353=532

Cheque.

Screen Shot 2019-07-03 at 1.24.18 PM.png

Ejercicio9.4.62

1232

Ejercicio9.4.63

6252

Responder

Multiplicar numerador y denominador por25+2. Recordemos la diferencia de patrón de cuadrados:(a+b)(ab)=a2b2.

6252=625225+225+2=125+62(25)2(2)2

Continuando.

125+62(25)2(2)2=125+62202=1256218.

Reducir. Facturar el numerador y denominador y cancelar.

1256218=6(252)63=2523.

Cheque.

Screen Shot 2019-07-03 at 1.31.00 PM.png

Ejercicio9.4.64

9336

Ejercicio9.4.65

2+323

Responder

Multiplicar numerador y denominador por2+3.

2+323=2+3232+32+3=(2+3)2(23)(23).

Utilice la cuadratura de un patrón binomial(a+b)2=a2+2ab+b2 en el numerador y el patrón de diferencia de cuadrados(a+b)(ab)=a2b2 en el denominador.

(2+3)2(23)(23)=(2)2+2(2)(3)+(3)222(3)2.

Continuando.

(2)2+2(2)(3)+(3)222(3)2=4+43+343=7+43

Cheque.

Screen Shot 2019-07-03 at 1.38.00 PM.png

Ejercicio9.4.66

353+5

Ejercicio9.4.67

3+232

Responder

Multiplicar numerador y denominador por3+2.

3+232=3+2323+23+2=(3+2)2(32)(3+2).

Utilice la cuadratura de un patrón binomial(a+b)2=a2+2ab+b2 en el numerador y el patrón de diferencia de cuadrados(a+b)(ab)=a2b2 en el denominador.

(3+2)2(32)(3+2)=(3)2+2(3)(2)+(2)2(3)2(2)2.

Continuando.

(3)2+2(3)(2)+(2)2(3)2(2)2=3+26+232=5+26

Cheque.

Screen Shot 2019-07-03 at 1.43.09 PM.png

Ejercicio9.4.68

23+232

En los Ejercicios 69 - 76, utilice la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la ecuación dada. Coloque sus soluciones en forma radical simple y reduzca sus soluciones a los términos más bajos.

Ejercicio9.4.69

3x28x=5

Responder

La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.

3x28x5=0

Compare3x28x5=0 conax2+bx+c=0 y observe que a = 3, b = −8 y c = −5. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.

x=b±b24ac2a=(8)±(8)24(3)(5)2(3)=8±1246

Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.

x=8±4316=8±2316

Facteriza el numerador y cancela.

x=8±2316=2(4±31)23=4±313

Ejercicio9.4.70

5x22x=1

Ejercicio9.4.71

5x2=2x+1

Responder

La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.

5x22x1=0

Compare5x22x1=0 conax2+bx+c=0 y observe que a = 5, b = −2 y c = −1. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.

x=b±b24ac2a=(2)±(2)24(5)(1)2(5)=2±2410

Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.

x=2±4610=2±2610

Facteriza el numerador y cancela.

x=2±2610=2(1±6)25=1±65

Ejercicio9.4.72

3x22x=11

Ejercicio9.4.73

7x2=6x+2

Responder

La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.

7x26x2=0

Compare7x26x2=0 conax2+bx+c=0 y observe que a = 7, b = −6 y c = −2. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.

x=b±b24ac2a=(6)±(6)24(7)(2)2(7)=6±9214

Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.

x=6±42314=6±22314

Facteriza el numerador y cancela.

x=6±22314=2(3±23)27=6±237

Ejercicio9.4.74

11x2+6x=4

Ejercicio9.4.75

x2=2x+19

Responder

La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.

x22x19=0

Comparex22x19=0 conax2+bx+c=0 y observe que a = 1, b = −2 y c = −19. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.

x=b±b24ac2a=(2)±(2)24(1)(19)2(1)=2±802

Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.

x=2±1652=2±452

Facteriza el numerador y cancela.

x=2±452=2(1±25)21=1±25

Ejercicio9.4.76

100x2=40x1

En los Ejercicios 77 - 80, suspenderemos la regla habitual de que se debe racionalizar el denominador. En cambio, solo esta vez, racionalizar el numerador de la expresión resultante.

Ejercicio9.4.77

Dadof(x)=x, evaluar la expresiónf(x)f(2)x2, y luego “racionalizar el numerador”.

Responder

Sif(x)=x, entonces

f(x)f(2)x2=x2x2.

Para “racionalizar el numerador”, multiplique el numerador y el denominador porx+2, luego use el patrón de diferencia de cuadrados para simplificar.

x2x2=x2x2x+2x+2=(x)2(2)2(x2)(x+2)=x2(x2)(x+2)

Numerador y denominador están factorizados, así que podemos cancelar,

x2(x2)(x+2)=1x+2,

siempre que, por supuesto, esox2.

Ejercicio9.4.78

Dadof(x)=x+2, evaluar la expresiónf(x)f(3)x3, y luego “racionalizar el numerador”.

Ejercicio9.4.79

Dadof(x)=x, evaluar la expresiónf(x+h)f(x)h, y luego “racionalizar el numerador”.

Responder

Sif(x)=x, entonces

f(x+h)f(x)h=x+hxh

Para “racionalizar el numerador”, multiplique el numerador y el denominador porx+h+x, luego use el patrón de diferencia de cuadrados para simplificar.

x+hxh=x+hxhx+h+xx+h+x=(x+h)2(x)2h(x+h+x)=x+hxh(x+h+x)

Simplifica, luego cancela.

x+hxh(x+h+x)=hh(x+h+x)=1x+h+x

El resultado es válido proporcionadoh0.

Ejercicio9.4.80

Dadof(x)=x3, evaluar la expresiónf(x+h)f(x)h, y luego “racionalizar el numerador”.


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