9.4: Expresiones radicales
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Propiedad\(\PageIndex{1}\)
Que a y b sean dos números no negativos reales cualesquiera. Entonces,
\[\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab},\]
y, proporcionar\(b \ne 0\),
\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\]
En esta sección, simplificaremos una serie de expresiones más extensas que contienen raíces cuadradas, particularmente aquellas que son fundamentales para su trabajo en futuros cursos de matemáticas. Empecemos por construir algunas habilidades fundamentales.
La propiedad asociativa
Recordamos la propiedad asociativa de la multiplicación.
Propiedad asociativa de la multiplicación
Sea a, b y c cualquier número real. La propiedad asociativa de la multiplicación establece que
\[(ab)c = a(bc) \label{associativeprop}\]
Tenga en cuenta que el orden de los números a cada lado de la Ecuación\ ref {associativeprop} no ha cambiado. Los números a cada lado de la ecuación están en el orden\(a\),\(b\), y luego\(c\).
No obstante, la agrupación ha cambiado. A la izquierda, los paréntesis alrededor del producto de\(a\) y nos\(b\) instruyen a realizar ese producto primero, luego multiplicar el resultado por\(c\). A la derecha, la agrupación es diferente; los paréntesis alrededor de b y c nos instruyen a realizar ese producto primero, luego multiplicar por\(a\). El punto clave a entender es el hecho de que las distintas agrupaciones no hacen diferencia alguna. Obtenemos la misma respuesta en cualquier caso.
Por ejemplo, considera el producto\(2 \cdot 3 \cdot 4\). Si multiplicamos 2 y 3 primero, luego multiplicamos el resultado por 4, obtenemos
\((2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 =24\)
Por otro lado, si multiplicamos 3 y 4 primero, luego multiplicamos el resultado por 2, obtenemos
\(2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 =24\)
Tenga en cuenta que obtenemos el mismo resultado en cualquiera de los dos casos. Es decir,
\((2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)\)
La propiedad asociativa, aparentemente trivial, adquiere un nivel extra de sofisticación si la aplicamos a expresiones que contienen radicales. Veamos un ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Simplifica la expresión\(3(2\sqrt{5})\). Coloca tu respuesta en forma radical simple.
Actualmente, los paréntesis alrededor de 2 y\(\sqrt{5}\) require that we multiply those two numbers first. However, the associative property of multiplication allows us to regroup, colocando los paréntesis alrededor de 3 y 2, multiplicando primero esos dos números, luego multiplicando el resultado por\(\sqrt{5}\). Organizamos el trabajo de la siguiente manera.
\(3(2\sqrt{5})=(3 \cdot 2)\sqrt{5}=6\sqrt{5}\).
Los lectores deben tener en cuenta la similitud con una manipulación muy familiar.
\(3(2x) = (3 \cdot 2)x = 6x\)
En la práctica, cuando nos volvimos confiados con este reagrupamiento, comenzamos a saltarnos el paso intermedio y simplemente afirmar que 3 (2x) = 6x. En un sentido similar, una vez que tengas confianza con el reagrupamiento, simplemente debes decir eso\(3(2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}\). Si se le pide que explique su respuesta, debe estar listo para explicar cómo se reagrupó de acuerdo con la propiedad asociativa de la multiplicación. Del mismo modo,
\(−4(5\sqrt{7})=−20\sqrt{7}\),\(12(5\sqrt{11})=60\sqrt{11}\), y\(−5(−3\sqrt{3})=15\sqrt{3}\).
La propiedad conmutativa de la multiplicación
Recordamos la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Sea a y b cualquier número real. La propiedad conmutativa de la multiplicación establece que
ab = ba
La propiedad conmutativa establece que el orden de multiplicación es irrelevante. Por ejemplo,\(2 \cdot 3\) es lo mismo que\(3 \cdot 2\); they both equal 6. This seemingly trivial property, coupled with the associative property of multiplication, allows us to change the order of multiplication and regroup as we please.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Simplifica la expresión\(\sqrt{5}(2\sqrt{3})\). Coloca tu respuesta en forma radical simple.
Lo que realmente nos gustaría hacer es primero multiplicar\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{3}\). In order to do this, we must first regroup, then switch the order of multiplication as follows.
\(\sqrt{5}(2\sqrt{3}) = (\sqrt{5} \cdot 2)\sqrt{3} = (2\sqrt{5})\sqrt{3}\)
Esto es permitido por las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación. Ahora, nos reagruparemos de nuevo y nos multiplicamos.
\((2\sqrt{5})\sqrt{3} = 2(\sqrt{5}\sqrt{3}) = 2\sqrt{15}\)
En la práctica, esto es demasiado trabajo para un cálculo tan simple. Una vez que entendemos las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación, la expresión\(a \cdot b \cdot c\) es inequívoca. No se necesitan paréntesis. Sabemos que podemos cambiar el orden de multiplicación y reagruparnos como nos plazca. Por lo tanto, cuando se le presenta el producto de tres números, simplemente multiplique dos de su elección juntos, luego multiplique el resultado por el tercer número restante.
En el caso de\(\sqrt{5}(2\sqrt{3})\), elegimos multiplicar primero\(\sqrt{5}\) y\(\sqrt{3}\), es decir\(\sqrt{15}\), luego multiplicar este resultado por 2 para obtener\(2\sqrt{15}\). Del mismo modo,
\(\sqrt{5}(2\sqrt{7})=2\sqrt{35}\)y\(\sqrt{x}(3\sqrt{5})=3\sqrt{5x}\).
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Simplifica la expresión\(\sqrt{6}(4\sqrt{8})\). Coloca tu respuesta en forma radical simple.
Empezamos multiplicando\(\sqrt{6}\) and \(\sqrt{8}\), then the result by 4.
\(\sqrt{6}(4\sqrt{8})=4\sqrt{48}\)
Ahora,\(48 = 16 \cdot 3\), así podemos extraer un cuadrado perfecto.
\(4\sqrt{48}=4(\sqrt{16}\sqrt{3})=4(4\sqrt{3})\)
Nuevamente, elegimos multiplicar las cuatro patas, luego el resultado por la raíz cuadrada de tres. Es decir,
\(4(4\sqrt{3})=16\sqrt{3}\).
Por inducción, podemos argumentar que las propiedades asociativas y conmutativas nos permitirán agrupar y organizar el producto de más de tres números en cualquier orden que nos plazca.
Ejemplo\(\PageIndex{7}\)
Simplifica la expresión\(2\sqrt{12}(3\sqrt{3})\). Coloca tu respuesta en forma radical simple.
Primero tomaremos el producto de 2 y 3, luego el producto de\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\), then multiply these results together.
\(2\sqrt{12}(3\sqrt{3}) = (2 \cdot 3)(\sqrt{12}\sqrt{3}) = 6\sqrt{36}\)
Por supuesto,\(\sqrt{36} = 6\), así podemos simplificar aún más.
\(6\sqrt{36} = 6 \cdot 6 = 36\)
La propiedad distributiva
Recordemos la propiedad distributiva para números reales.
Propiedad distributiva
Sea a, b y c cualquier número real. Entonces,
a (b+c) = ab + ac
Quizás recuerdes la siguiente operación, donde “distribues el 2", multiplicando cada término entre paréntesis por 2.
2 (3 + x) = 6 + 2x
Se puede hacer precisamente lo mismo con expresiones radicales.
\(2(3+\sqrt{5})=6+2\sqrt{5}\)
Al igual que el ejemplo familiar anterior, “distribuimos el 2”, multiplicando cada término entre paréntesis por 2.
Veamos más ejemplos.
Ejemplo\(\PageIndex{9}\)
Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión\(\sqrt{12}(3+\sqrt{3})\), colocando tu respuesta final en forma radical simple.
En primer lugar, distribuir el\(\sqrt{12}\), multiplying each term in the parentheses by \(\sqrt{12}\). Note que\(\sqrt{12}\sqrt{3} = \sqrt{36}\).
\(\sqrt{12}(3+\sqrt{3})=3\sqrt{12}+\sqrt{36}=3\sqrt{12}+6\)
Sin embargo, esta última expresión no está en forma simple radical, ya que podemos factorizar un cuadrado perfecto\((12 = 4 \cdot 3)\).
\(3\sqrt{12}+6=3(\sqrt{4}\sqrt{3})+6 = 3(2\sqrt{3})+6 = 6\sqrt{3}+6\)
No importa si el factor monomial está en la parte delantera o trasera de la suma, todavía se distribuyen los tiempos monomiales cada término entre paréntesis.
Ejemplo\(\PageIndex{10}\)
Utilice la propiedad distributiva para expandir\((\sqrt{3}+2\sqrt{2})\sqrt{6}\). Coloca tu respuesta en forma radical simple.
Primero, multiplica cada término entre paréntesis por\(\sqrt{6}\).
\((\sqrt{3}+2\sqrt{2})\sqrt{6} = \sqrt{18}+2\sqrt{12}\)
Para obtener el segundo término de este resultado, optamos por multiplicar primero\(\sqrt{2}\) y\(\sqrt{6}\), es decir\(\sqrt{12}\), luego multiplicamos este resultado por 2. Ahora, podemos factorizar cuadrados perfectos tanto de 18 como de 12.
\(\sqrt{18}+2\sqrt{12}= \sqrt{9}\sqrt{2}+2(\sqrt{4}\sqrt{3}) = 3\sqrt{2}+2(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{2}+4\sqrt{3}\)
Recuerda, puedes consultar tus resultados con tu calculadora. En la Figura 1 (a), hemos encontrado una aproximación decimal para la expresión original\((\sqrt{3}+2\sqrt{2})\sqrt{6}\), y en la Figura 1 (b) tenemos una aproximación decimal para nuestra solución\(3\sqrt{2}+4\sqrt{3}\). Tenga en cuenta que son los mismos, aportando evidencia de que nuestra solución es correcta.
La propiedad distributiva también es responsable de ayudarnos a combinar “términos similares”. Por ejemplo, tal vez recuerdes que 3x + 5x = 8x, un cálculo aparentemente simple, pero es la propiedad distributiva la que realmente proporciona esta solución. Observe cómo usamos la propiedad distributiva para factorizar x de cada término.
3x+5x = (3+5) x
De ahí que 3x + 5x = 8x. Se puede hacer lo mismo con expresiones radicales.
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2}\)
De ahí,\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) y la estructura de este resultado es idéntica a la que se muestra en 3x + 5x = 8x. No hay diferencia en la forma en que combinamos estos “términos similares”. Repetimos el factor común y sumamos coeficientes. Por ejemplo,
\(2\sqrt{3}+9\sqrt{3} = 11\sqrt{3}\),\(−4\sqrt{2}+2\sqrt{2} = −2\sqrt{2}\), y\(−3x\sqrt{x}+5x\sqrt{x}=2x\sqrt{x}\).
En cada caso anterior, estamos agregando “términos similares”, repitiendo el factor común y agregando coeficientes.
En el caso de que no tengamos términos similares, como en 3x+5y, no hay nada que hacer. De la misma manera, cada una de las siguientes expresiones no tienen términos similares que puedas combinar. Están tan simplificados como van a conseguir.
\(3\sqrt{2}+5\sqrt{3}\),\(2\sqrt{11}−8\sqrt{10}\), y\(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y}\)
No obstante, hay momentos en los que puede parecer como si no tuvieras términos similares, pero cuando colocas todo en forma radical simple, descubres que sí tienes términos similares que se pueden combinar sumando coeficientes.
Ejemplo\(\PageIndex{11}\)
Simplifica la expresión\(5\sqrt{27}+8\sqrt{3}\), colocando la expresión final en forma radical simple.
Podemos extraer un cuadrado perfecto (\(27 = 9 \cdot 3\)).
\(5\sqrt{27}+8\sqrt{3} = 5(\sqrt{9}\sqrt{3})+8\sqrt{3} = 5(3\sqrt{3})+8\sqrt{3} = 15\sqrt{3}+8\sqrt{3}\)
Tenga en cuenta que ahora tenemos “términos similares” que se pueden combinar sumando coeficientes.
\(15\sqrt{3}+8\sqrt{3} =23\sqrt{3}\)
En las Figuras 2 (a) y (b) se muestra una comparación de la expresión original y su forma simplificada.
Ejemplo\(\PageIndex{12}\)
Simplifica la expresión\(2\sqrt{20}+\sqrt{8}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2}\), colocando el resultado en forma radical simple.
Podemos extraer cuadrados perfectos (\(20 = 4 \cdot 5\) and \(8 = 4 \cdot 2\)).
\(2\sqrt{20}+\sqrt{8}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 2(\sqrt{4}\sqrt{5})+\sqrt{4}\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 2(2\sqrt{5})+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 4\sqrt{5}+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2}\)
Ahora podemos combinar términos similares sumando coeficientes.
\(4\sqrt{5}+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 7\sqrt{5}+6\sqrt{2}\)
Las fracciones pueden ser un poco complicadas.
Ejemplo\(\PageIndex{13}\)
Simplificar\(\sqrt{27}+\frac{1}{\sqrt{12}}\), colocando el resultado en forma radical simple.
Podemos extraer una raíz cuadrada perfecta\((27 = 9 \cdot 3)\) El denominador en el segundo término es\(\sqrt{12} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\), por lo que se necesita un 3 más en el denominador para hacer un cuadrado perfecto.
\(\sqrt{27}+\frac{1}{\sqrt{12}} = \sqrt{9}\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{36}} = 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{6}\)
Para sumar estas fracciones, necesitamos un denominador común de 6.
\(3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{18\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{19\sqrt{3}}{6}\)
Ahora podemos combinar numeradores sumando coeficientes.
\(\frac{18\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{19\sqrt{3}}{6}\)
Las aproximaciones decimales de la expresión original y su forma simplificada se muestran en las Figuras 3 (a) y (b).
A primera vista, la falta de un monomio en el producto (x + 1) (x + 3) hace pensar que la propiedad distributiva no nos ayudará a encontrar el producto. No obstante, si pensamos en el segundo factor como una sola unidad, podemos distribuirlo por cada término en el primer factor.
(x+1) (x+3) = x (x+3) +1 (x+3)
Aplica la propiedad distributiva por segunda vez, luego combina términos similares.
\(x(x+3)+1(x+3)=x^2+3x+x+3 = x^2+4x+3\)
Podemos manejar productos con expresiones radicales de la misma manera.
Ejemplo\(\PageIndex{14}\)
Simplificar\((2+\sqrt{2})(3+5\sqrt{2})\). Coloca tu resultado en forma radical simple.
Piense en el segundo factor como una sola unidad y distribúyalo por cada término en el primer factor.
\((2+\sqrt{2})(3+5\sqrt{2}) = 2(3+5\sqrt{2})+\sqrt{2}(3+5\sqrt{2})\)
Ahora, utilice de nuevo la propiedad distributiva.
\(2(3+5\sqrt{2})+\sqrt{2}(3+5\sqrt{2}) = 6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{4}\)
Tenga en cuenta que al encontrar el último término,\(\sqrt{2}\sqrt{2} = \sqrt{4}\). Ahora,\ sqrt {4} = 2, entonces podemos combinar términos similares.
\(6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{4} = 6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5(2) = 6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+10 = 16+13\sqrt{2}\)
Las aproximaciones decimales de la expresión original y su forma radical simple se muestran en las Figuras 4 (a) y (b).
Productos Especiales
Hay dos productos especiales que tienen importantes aplicaciones que involucran expresiones radicales, quizás uno más que el otro. El primero es la conocida diferencia de patrón de dos cuadrados.
Diferencia de cuadrados
Sea a y b cualquier número. Entonces,
\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\).
Este patrón involucra dos factores binomiales que tienen idénticos términos primero y segundo, los términos en un factor separados por un signo más, los términos en el otro factor separados por un signo menos. Cuando veamos este patrón de multiplicación, debemos cuadrar el primer término de cualquiera de los dos factores, cuadrar el segundo término, luego restar los resultados. Por ejemplo,
\((2x+3)(2x−3) = 4x^2−9\).
Este producto especial se aplica igualmente bien cuando el primer y/o segundo términos involucran expresiones radicales.
Ejemplo\(\PageIndex{15}\)
Usa la diferencia de patrones cuadrados para multiplicar\((2+\sqrt{11})(2−\sqrt{11})\)
Tenga en cuenta que esta multiplicación tiene la forma (a + b) (a − b), por lo que aplicamos el patrón de diferencia de cuadrados para obtener
\((2+\sqrt{11})(2−\sqrt{11}) = (2)^2−(\sqrt{11})^2\)
Por supuesto,\(2^2 = 4\) y\((\sqrt{11})^2 = 11\), así podemos terminar de la siguiente manera.
\((2)^2−(\sqrt{11})^2 = 4−11 = −7\)
Ejemplo\(\PageIndex{16}\)
Usa el patrón de diferencia de cuadrados para multiplicar\((2\sqrt{5}+3\sqrt{7})(2\sqrt{5}−3\sqrt{7})\).
Nuevamente, este producto tiene la forma especial (a + b) (a − b), por lo que aplicamos el patrón de diferencia de cuadrados para obtener
\((2\sqrt{5}+3\sqrt{7})(2\sqrt{5}−3\sqrt{7}) = (2\sqrt{5})^2−(3\sqrt{7})^2\)
A continuación, cuadramos un producto de dos factores según la regla\((ab)^2 = a^{2}b^2\). Por lo tanto,
\((2\sqrt{5})^2 = (2)^{2}(\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\)
y
\((3\sqrt{7})^2 =(3)^{2}(\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63\).
Así, podemos completar la multiplicación\((2\sqrt{5}+3\sqrt{7})(2\sqrt{5}−3\sqrt{7})\) con
\((2\sqrt{5})^2−(3\sqrt{7})^2 =20−63=−43\).
Este resultado se verifica fácilmente con una calculadora, como se muestra en la Figura 5.
El segundo patrón de interés es el atajo para cuadrar un binomio.
Cuadrando un binomio
Que a y b sean números. Entonces,
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Aquí cuadramos los términos primero y segundo del binomio, luego producimos el término medio del resultado multiplicando los términos primero y segundo y duplicando ese resultado. Por ejemplo,
\((2x+9)^2 = (2x)^2 +2(2x)(9)+(9)^2 = 4x^2 +36x+81\).
Este patrón también se puede aplicar a binomios que contienen expresiones radicales.
Ejemplo\(\PageIndex{17}\)
Utilice la cuadratura de un patrón binomial para expandirse\((2\sqrt{x} + \sqrt{5})^2\). Coloca tu resultado en forma radical simple. Supongamos que x es un número real positivo (x > 0).
Aplicando la cuadratura de un patrón binomial, obtenemos
\((2\sqrt{x} + \sqrt{5})^2 = (2\sqrt{x})^2 + 2(2\sqrt{x})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2\).
Como antes,\((2\sqrt{x})^2 = (2)^{2}(\sqrt{x})^2 = 4x\) y\((\sqrt{5})^2 = 5\). En el caso de\(2(2\sqrt{x})(\sqrt{5})\), tenga en cuenta que estamos multiplicando cuatro números juntos. Las propiedades asociativas y conmutativas establecen que podemos multiplicar estos cuatro números en el orden que nos plazca. Entonces, el producto de 2 y 2 es 4, el producto de\(\sqrt{x}\) y\(\sqrt{5}\) es\(\sqrt{5x}\), luego multiplicamos estos resultados para producir el resultado\(4\sqrt{5x}\). Por lo tanto,
\((2\sqrt{x})^2 + 2(2\sqrt{x})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 4x + 4\sqrt{5x} + 5\).
Racionalización de denominadores
Como vimos en el apartado anterior, la instrucción “racionalizar el denominador” es una petición para eliminar todas las expresiones radicales del denominador. Por supuesto, esta es la “tercera pauta de la forma radical simple”, pero hay momentos, particularmente en el cálculo, cuando la instrucción cambia para “racionalizar el numerador”. Por supuesto, esta es una solicitud para eliminar todos los radicales del numerador.
No puedes tener ambos mundos. Se pueden eliminar expresiones radicales del denominador o del numerador, pero no ambas. Si no se da ninguna instrucción, supongamos que la “tercera pauta de la forma radical simple” está en juego y eliminar todas las expresiones radicales del denominador. Ya hemos hecho un poco de esto en secciones anteriores, pero aquí abordamos un tipo de expresión un poco más complicado.
Ejemplo\(\PageIndex{18}\)
En la expresión\(\frac{3}{2+\sqrt{2}}\), racionalizar el denominador.
El secreto radica en la diferencia de patrón de cuadrados,\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\). For example,
\((2+\sqrt{2})(2−\sqrt{2}) = (2)^2−(\sqrt{2})^2 = 4−2 = 2\).
Esto proporciona una excelente pista sobre cómo proceder con la racionalización del denominador de la expresión\(\frac{3}{(2+\sqrt{2})}\). Multiplique tanto el numerador como el denominador por\(2−\sqrt{2}\).
\(\frac{3}{2+\sqrt{2}} = \frac{3}{2+2\sqrt{2}} \cdot \frac{2−\sqrt{2}}{2−\sqrt{2}}\)
Multiplicar numeradores y denominadores.
\(\frac{3}{2+2\sqrt{2}} \cdot \frac{2−\sqrt{2}}{2−\sqrt{2}} = \frac{3(2−\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2−\sqrt{2})} = \frac{6−3\sqrt{2}}{(2)^2−(\sqrt{2})^2} = \frac{6−3\sqrt{2}}{4−2} = \frac{6−3\sqrt{2}}{2}\)
Tenga en cuenta que es tentador cancelar el 2 en el denominador en el 6 en el numerador, pero no se le permite cancelar términos que están separados por un signo menos. Este es un error común, así que no caigas presa de este error.
En las figuras 6 (a) y (b), comparamos aproximaciones decimales de la expresión original y su forma radical simple.
Ejemplo\(\PageIndex{19}\)
En la expresión\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}}\), racionalizar el denominador.
Multiplicar numerador y denominador por\(\sqrt{3} + \sqrt{2}\).
\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\).
Multiplicar numeradores y denominadores.
\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\)
En el denominador, tenemos la diferencia de dos cuadrados. Por lo tanto,
\((\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2−(\sqrt{2})^2 =3−2=1\).
Obsérvese que esto borra el denominador de los radicales. Esta es la razón por la que multiplicamos el numerador y el denominador por\(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). En el numerador, podemos usar la cuadratura de un atajo binomial para multiplicar.
\((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3+2\sqrt{6} +2 = 5+2\sqrt{6}\)
Así, podemos completar la simplificación iniciada anteriormente.
\(\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{5+2\sqrt{6}}{1} = 5+2\sqrt{6}\)
En las figuras 7 (a) y (b), comparamos las aproximaciones decimales de la expresión original con su forma radical simple.
Revisitando la fórmula cuadrática
Podemos usar lo que hemos aprendido para colocar las soluciones proporcionadas por la fórmula cuadrática en forma simple. Veamos un ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{20}\)
Resuelve la ecuación\(x^2 = 2x + 2\) para x. Coloca tu solución en forma radical simple.
La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.
\(x^2−2x−2=0\)
Compara este resultado con la forma general\(ax^2 +bx+c = 0\) y observa que a = 1, b = −2 y c = −2. Anote la fórmula cuadrática, haga las sustituciones, luego simplifique.
\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{(−2)^2−4(1)(−2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}\)
Tenga en cuenta que podemos factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.
\(x= \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4}\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}\)
En este punto, tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador son divisibles por 2. Hay varias formas en las que podemos proceder con la reducción.
- Algunas personas prefieren factorial, luego cancelar.
\(\frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(1 \pm \sqrt{3})}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\)
- Algunos prefieren usar la propiedad distributiva.
\(\frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} \pm \frac{2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\)
En cada caso, la forma final de la respuesta es en forma radical simple y se reduce a los términos más bajos.
Advertencia\(\PageIndex{21}\)
Cuando se trabaja con la fórmula cuadrática, uno de los errores álgebra más comunes es cancelar adiciones en lugar de factores, como en
\(\frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \pm 2\sqrt{3}\)
Por favor, trate de evitar cometer este error.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{22}\)
Resuelve la ecuación\(3x^2 − 2x = 6\) para x. Coloca tu solución en forma radical simple.
Esta ecuación es no lineal. Mueve cada término a un lado de la ecuación, haciendo que el otro lado de la ecuación sea igual a cero.
\(3x^2−2x−6=0\)
Compare con la forma general\(ax^2 +bx+c = 0\) y observe que a = 3, b = −2 y c = −6. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.
\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{(−2)^2−4(3)(−6)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{6}\)
Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{4}\sqrt{19}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{19}}{6}\)
Elegimos factorial y cancelar.
\(x = \frac{2 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{2(1 \pm \sqrt{19})}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{3}\)
En los Ejercicios 1 - 14, coloque cada una de las expresiones radicales en forma radical simple. Consulta tu respuesta con tu calculadora.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
\(2(5\sqrt{7})\)
- Contestar
-
Reagrupe usando la propiedad asociativa y simplifique.
\(2(5\sqrt{7})=(2 \cdot 5)\sqrt{7}=10\sqrt{7}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
\(−3(2\sqrt{3})\)
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
\(−\sqrt{3}(2\sqrt{5})\)
- Contestar
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.
\(−\sqrt{3}(2\sqrt{5})=2(−\sqrt{3}\sqrt{5})=2(−\sqrt{15})=−2\sqrt{15}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
\(\sqrt{2}(3\sqrt{7})\)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
\(\sqrt{3}(5\sqrt{6})\)
- Contestar
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.
\(\sqrt{3}(5\sqrt{6})=5(\sqrt{3}\sqrt{6})=5(\sqrt{18})\)
Esto no es de forma sencilla ya que es posible factorizar un cuadrado perfecto.
\(5\sqrt{18}=5\sqrt{9}\sqrt{2}=5 \cdot 3\sqrt{2}=15\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
\(\sqrt{2}(−3\sqrt{10})\)
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
\((2\sqrt{5})(−3\sqrt{3})\)
- Contestar
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.
\((2\sqrt{5})(−3\sqrt{3})=(2 \cdot −3)(\sqrt{5}\sqrt{3})=−6\sqrt{15}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
\((−5\sqrt{2})(−2\sqrt{7})\)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
\((−4\sqrt{3})(2\sqrt{6})\)
- Contestar
-
Las propiedades conmutativas y asociativas nos permiten reordenar y reagruparnos.
\((−4\sqrt{3})(2\sqrt{6}) = (−4 \cdot 2)(\sqrt{3}\sqrt{6})=−8\sqrt{18}\)
Esta respuesta no es sencilla porque podemos factorizar un cuadrado perfecto.
\(−8\sqrt{18} = −8\sqrt{9}\sqrt{2} = −8 \cdot 3\sqrt{2} = −24\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
\((2\sqrt{5})(−3\sqrt{10})\)
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
\((2\sqrt{3})^2\)
- Contestar
-
Recordemos eso\((ab)^2 = a^{2}b^2\).
\((2\sqrt{3})^2 = (2)^{2}(\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
\((−3\sqrt{5})^2\)
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
\((−5\sqrt{2})^2\)
- Contestar
-
Recordemos eso\((ab)^2 = a^{2}b^2\).
\((−5\sqrt{2})^2 = (−5)^{2}(\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
\((7\sqrt{11})^2\)
En los Ejercicios 15 - 22, utilice la propiedad distributiva para multiplicar. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Consulta tu resultado con tu calculadora.
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
\(2(3 +\sqrt{5})\)
- Contestar
-
Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.
\(2(3+\sqrt{5}) = 2(3)+2(\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
\(−3(4−\sqrt{7})\)
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
\(2(−5+4\sqrt{2})\)
- Contestar
-
Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.
\(2(−5+4\sqrt{2})=2(−5)+2(4\sqrt{2})=−10+8\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
\(−3(4−3\sqrt{2})\)
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
\(\sqrt{2}(2+\sqrt{2})\)
- Contestar
-
Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.
\(\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) = \sqrt{2}(2)+\sqrt{2}(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}+\sqrt{4}=2\sqrt{2}+2\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
\(\sqrt{3}(4−\sqrt{6})\)
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
\(\sqrt{2}(\sqrt{10}+\sqrt{14})\)
- Contestar
-
Recordemos la propiedad distributiva: a (b + c) = ab + ac.
\(\sqrt{2}(\sqrt{10}+\sqrt{14}) = \sqrt{2}(\sqrt{10})+ \sqrt{2}(\sqrt{14}) = \sqrt{20}+\sqrt{28}\)
Sin embargo, esta respuesta no está en forma simple porque podemos factorizar cuadrados perfectos.
\(\sqrt{20}+\sqrt{28} = \sqrt{4}\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{7} = 2\sqrt{5}+2\sqrt{7}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
\(\sqrt{3}(\sqrt{15}−\sqrt{33})\)
En Ejercicios 23 - 30, combine términos similares. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Consulta tu solución con tu calculadora.
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2}\)
- Contestar
-
Utilice la propiedad distributiva para factorizar\(\sqrt{2}\).
\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2} = (−5+7)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)
En la práctica, solemos combinar\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2}\) tanto como lo hacemos −5x+7x = 2x y simplemente escribimos\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{24}\)
\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\)
Ejercicio\(\PageIndex{25}\)
\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6}\)
- Contestar
-
Utilice la propiedad distributiva para factorizar\(\sqrt{6}\).
\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6} = (2−8)\sqrt{6} = −6\sqrt{6}\)
En la práctica, solemos combinar\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6}\) tanto como hacemos 2x−8x = −6x y simplemente escribimos\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6}=−6\sqrt{6}\).
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{26}\)
\(\sqrt{7}−3\sqrt{7}\)
Ejercicio\(\PageIndex{27}\)
\(2\sqrt{3}−4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\)
- Contestar
-
Las propiedades conmutativas y asociativas de adición nos permiten reordenar y reagruparnos, luego combinamos términos similares.
\(2\sqrt{3}−4\sqrt{2}+3\sqrt{3} = (2\sqrt{3}+3\sqrt{3})−4\sqrt{2} = 5\sqrt{3}−4\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{28}\)
\(7\sqrt{5}+2\sqrt{7}−3\sqrt{5}\)
Ejercicio\(\PageIndex{29}\)
\(2\sqrt{3}+5\sqrt{2}−7\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)
- Contestar
-
Las propiedades conmutativas y asociativas de adición nos permiten reordenar y reagruparnos, luego podemos agregar términos similares.
\(2\sqrt{3}+5\sqrt{2}−7\sqrt{3}+2\sqrt{2} = (2\sqrt{3}−7\sqrt{3})+(5\sqrt{2}+2\sqrt{2})=−5\sqrt{3}+7\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{30}\)
\(3\sqrt{11}−2\sqrt{7}−2\sqrt{11}+4\sqrt{7}\)
En Ejercicios 31 - 40, combine términos similares cuando sea posible. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Usa tu calculadora para verificar tu resultado.
Ejercicio\(\PageIndex{31}\)
\(\sqrt{45}+\sqrt{20}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{45}+\sqrt{20} = \sqrt{3^{2} \cdot 5}+ \sqrt{2^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}+2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} =5\sqrt{5}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{32}\)
\(−4\sqrt{45}−4\sqrt{20}\)
Ejercicio\(\PageIndex{33}\)
\(2\sqrt{18} − \sqrt{8}\)
- Contestar
-
\(2\sqrt{18}−\sqrt{8} = 2\sqrt{3^2 \cdot 2}−\sqrt{2^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}−2\sqrt{2} = (6−2)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{34}\)
\(−\sqrt{20}+4\sqrt{45}\)
Ejercicio\(\PageIndex{35}\)
\(−5\sqrt{27}+5\sqrt{12}\)
- Contestar
-
\(−5\sqrt{27}+5\sqrt{12} = −5\sqrt{3^2 \cdot 3}+5\sqrt{2^2 \cdot 3} = −15\sqrt{3}+10\sqrt{3} = (−15+10)\sqrt{3} = −5\sqrt{3}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{36}\)
\(3\sqrt{12}−2\sqrt{27}\)
Ejercicio\(\PageIndex{37}\)
\(4\sqrt{20}+4\sqrt{45}\)
- Contestar
-
\(4\sqrt{20}+4\sqrt{45} = 4\sqrt{2^2 \cdot 5}+4\sqrt{3^2 \cdot 5} = 8\sqrt{5}+12\sqrt{5} = (8+12)\sqrt{5} =20\sqrt{5}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{38}\)
\(−2\sqrt{18}−5\sqrt{8}\)
Ejercicio\(\PageIndex{39}\)
\(2\sqrt{45}+5\sqrt{20}\)
- Contestar
-
\(2\sqrt{45}+5\sqrt{20} = 2\sqrt{3^2 \cdot 5}+5\sqrt{2^2 \cdot 5} = 6\sqrt{5}+10\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{40}\)
\(3\sqrt{27}−4\sqrt{12}\)
En los Ejercicios 41 - 48, simplificar cada una de las expresiones racionales dadas. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Consulta tu resultado con tu calculadora.
Ejercicio\(\PageIndex{41}\)
\(\sqrt{2}−\frac{1}{\sqrt{2}}\)
- Contestar
-
Colocar el segundo término en forma radical simple.
\(\sqrt{2}−\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}−\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}−\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \sqrt{2}−\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Escribe cada término sobre un denominador común de 2.
\(\sqrt{2}−\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{42}\)
\(3\sqrt{3}−\frac{3}{\sqrt{3}}\)
Ejercicio\(\PageIndex{43}\)
\(2\sqrt{2}−\frac{2}{\sqrt{2}}\)
- Contestar
-
Colocar el segundo término en forma radical simple.
\(2\sqrt{2}−\frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}−\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}−\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}}\)
Continuando,
\(2\sqrt{2}−\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = 2\sqrt{2}−\frac{2\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}−\sqrt{2} = \sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{44}\)
\(4\sqrt{5}−\frac{5}{\sqrt{5}}\)
Ejercicio\(\PageIndex{45}\)
\(5\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}}\)
- Contestar
-
Colocar el segundo término en forma radical simple.
\(5\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = 5\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Escribe fracciones equivalentes con un denominador común y suma.
\(\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{13\sqrt{2}}{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{46}\)
\(6\sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{3}}\)
Ejercicio\(\PageIndex{47}\)
\(\sqrt{8}−\frac{12}{\sqrt{2}}−3\sqrt{2}\)
- Responder
-
Colocar el primer y segundo términos en forma radical simple.
\(\sqrt{8}−\frac{12}{\sqrt{2}}−3\sqrt{2} = \sqrt{4}\sqrt{2}−\frac{12}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}−3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}−\frac{12\sqrt{2}}{2}−3\sqrt{2}\)
Reduzca el segundo término fraccional, luego combine términos similares.
\(2\sqrt{2}−\frac{12\sqrt{2}}{2}−3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}−6\sqrt{2}−3\sqrt{2} = −7\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{48}\)
\(\sqrt{27}−\frac{6}{\sqrt{3}}−5\sqrt{3}\)
En los Ejercicios 49 - 60, multiplique para expandir cada una de las expresiones radicales dadas. Coloca tu respuesta final en forma radical simple. Usa tu calculadora para verificar tu resultado.
Ejercicio\(\PageIndex{49}\)
\((2+\sqrt{3})(3−\sqrt{3})\)
- Responder
-
Distribuir el segundo factor por cada término del primer factor, luego aplicar la propiedad distributiva por segunda vez.
\((2+\sqrt{3})(3−\sqrt{3})=2(3−\sqrt{3})+\sqrt{3}(3−\sqrt{3})=6−2\sqrt{3}+3\sqrt{3}−\sqrt{9}\)
Simplifica y combina términos similares.
\(6−2\sqrt{3}+3\sqrt{3}−\sqrt{9}=6−2\sqrt{3}+3\sqrt{3}−3=3+\sqrt{3}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{50}\)
\((5+\sqrt{2})(2−\sqrt{2})\)
Ejercicio\(\PageIndex{51}\)
\((4+3\sqrt{2})(2−5\sqrt{2})\)
- Responder
-
Utilice la propiedad distributiva para multiplicar el segundo factor por cada término del primer factor, luego use la propiedad distributiva por segunda vez.
\((4+3\sqrt{2})(2−5\sqrt{2}) = 4(2−5\sqrt{2})+3\sqrt{2}(2−5\sqrt{2}) = 8−20\sqrt{2}+6\sqrt{2}−15\sqrt{4}\)
Simplifica, luego combina términos similares.
\(8−20\sqrt{2}+6\sqrt{2}−15\sqrt{4}=8−20\sqrt{2}+6\sqrt{2}−30=−22−14\sqrt{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{52}\)
\((3+5\sqrt{3})(1−2\sqrt{3})\)
Ejercicio\(\PageIndex{53}\)
\((2+3\sqrt{2})(2−3\sqrt{2})\)
- Responder
-
Aquí usamos la diferencia de patrón de cuadrados:\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\).
\((2+3\sqrt{2})(2−3\sqrt{2}) = (2)^2−(3\sqrt{2})^2\)
Recordemos eso\((ab)^2 = a^{2}b^2\).
\((2)^2 −(3\sqrt{2})^2 =4−(3)^{2}(\sqrt{2})^2 = 4−9 \cdot 2 = 4−18 = −14\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{54}\)
\((3 + 2\sqrt{5})(3 − 2\sqrt{5})\)
Ejercicio\(\PageIndex{55}\)
\((2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}−3\sqrt{2})\)
- Responder
-
Aquí usamos la diferencia de patrón de cuadrados:\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\).
\((2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}−3\sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2−(3\sqrt{2})^2\)
Recordemos eso\((ab)^2 = a^{2}b^2\).
\((2\sqrt{3})^2 −(3\sqrt{2})^2 =(2)^2(\sqrt{3})^2−(3)^{2}(\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3−9 \cdot 2 = 12−18 = −6\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{56}\)
\((8\sqrt{2}+\sqrt{5})(8\sqrt{2}−\sqrt{5})\)
Ejercicio\(\PageIndex{57}\)
\((2+\sqrt{5})^2\)
- Responder
-
Aquí usamos la cuadratura de un patrón binomial:\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).
Recordemos eso\((ab)^2 = a^{2}b^2\).
\((2+\sqrt{5})^2 = (2)^2+2(2)(\sqrt{5})+(\sqrt{5})^2 = 4+4\sqrt{5}+5 = 9+4\sqrt{5}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{58}\)
\((3−\sqrt{2})^2\)
Ejercicio\(\PageIndex{59}\)
\((\sqrt{3}−2\sqrt{5})^2\)
- Responder
-
Aquí usamos la cuadratura de un patrón binomial:\((a−b)^2 = a^2−2ab+b^2\).
Recordemos eso\((ab)^2 = a^{2}b^2\).
\((\sqrt{3}−2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2−2(\sqrt{3})(2\sqrt{5})+(2\sqrt{5})^2 = 3−4\sqrt{15}+ 4 \cdot 5 = 3−4\sqrt{15}+20 = 23−4\sqrt{15}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{60}\)
\((2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})^2\)
En los Ejercicios 61 - 68, colocar cada una de las expresiones racionales dadas en forma radical simple “racionalizando el denominador”. Consulta tu resultado con tu calculadora.
Ejercicio\(\PageIndex{61}\)
\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
- Responder
-
Multiplicar numerador y denominador por\(\sqrt{5}−\sqrt{3}\). Recordemos la diferencia de patrón de cuadrados:\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\).
\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{\sqrt{5}−\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2−(\sqrt{3})^2}\)
Continuando.
\(\frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2−(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{5−3} = \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{2}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{62}\)
\(\frac{1}{2\sqrt{3}−2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{63}\)
\(\frac{6}{2\sqrt{5}−\sqrt{2}}\)
- Responder
-
Multiplicar numerador y denominador por\(2\sqrt{5}+\sqrt{2}\). Recordemos la diferencia de patrón de cuadrados:\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\).
\(\frac{6}{2\sqrt{5}−\sqrt{2}} = \frac{6}{2\sqrt{5}−\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{(2\sqrt{5})^2−(\sqrt{2})^2}\)
Continuando.
\(\frac{12\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{(2\sqrt{5})^2−(\sqrt{2})^2} = \frac{12\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{20−2} = \frac{12\sqrt{5}−6\sqrt{2}}{18}\).
Reducir. Facturar el numerador y denominador y cancelar.
\(\frac{12\sqrt{5}−6\sqrt{2}}{18} = \frac{6(2\sqrt{5}−\sqrt{2})}{6 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{5}−\sqrt{2}}{3}\).
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{64}\)
\(\frac{9}{3\sqrt{3}−\sqrt{6}}\)
Ejercicio\(\PageIndex{65}\)
\(\frac{2+\sqrt{3}}{2−\sqrt{3}}\)
- Responder
-
Multiplicar numerador y denominador por\(2+\sqrt{3}\).
\(\frac{2+\sqrt{3}}{2−\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2−\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2−\sqrt{3})(2−\sqrt{3})}\).
Utilice la cuadratura de un patrón binomial\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) en el numerador y el patrón de diferencia de cuadrados\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\) en el denominador.
\(\frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2−\sqrt{3})(2−\sqrt{3})} = \frac{(2)^2+2(2)(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2}{2^2−(\sqrt{3})^2}\).
Continuando.
\(\frac{(2)^2+2(2)(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2}{2^2−(\sqrt{3})^2} = \frac{4+4\sqrt{3}+3}{4−3} = 7+4\sqrt{3}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{66}\)
\(\frac{3−\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\)
Ejercicio\(\PageIndex{67}\)
\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}}\)
- Responder
-
Multiplicar numerador y denominador por\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\).
\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\).
Utilice la cuadratura de un patrón binomial\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) en el numerador y el patrón de diferencia de cuadrados\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\) en el denominador.
\(\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}= \frac{(\sqrt{3})^2+2(\sqrt{3})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2−(\sqrt{2})^2}\).
Continuando.
\(\frac{(\sqrt{3})^2+2(\sqrt{3})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2−(\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{6}+2}{3−2} = 5+2\sqrt{6}\)
Cheque.
Ejercicio\(\PageIndex{68}\)
\(\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}}\)
En los Ejercicios 69 - 76, utilice la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la ecuación dada. Coloque sus soluciones en forma radical simple y reduzca sus soluciones a los términos más bajos.
Ejercicio\(\PageIndex{69}\)
\(3x^2−8x=5\)
- Responder
-
La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.
\(3x^2−8x−5=0\)
Compare\(3x^2−8x−5 = 0\) con\(ax^2+bx+c = 0\) y observe que a = 3, b = −8 y c = −5. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.
\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−8) \pm \sqrt{��(−8)^2 −4(3)(−5)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{6}\)
Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{4}\sqrt{31}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{31}}{6}\)
Facteriza el numerador y cancela.
\(x = \frac{8 \pm 2\sqrt{31}}{6} = \frac{2(4 \pm \sqrt{31})}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{3}\)
Ejercicio\(\PageIndex{70}\)
\(5x^2−2x=1\)
Ejercicio\(\PageIndex{71}\)
\(5x^2=2x+1\)
- Responder
-
La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.
\(5x^2−2x−1=0\)
Compare\(5x^2−2x−1 = 0\) con\(ax^2+bx+c = 0\) y observe que a = 5, b = −2 y c = −1. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.
\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{��(−2)^2 −4(5)(−1)}}{2(5)} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{10}\)
Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4}\sqrt{6}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{10}\)
Facteriza el numerador y cancela.
\(x = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{10} = \frac{2(1 \pm \sqrt{6})}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{5}\)
Ejercicio\(\PageIndex{72}\)
\(3x^2−2x=11\)
Ejercicio\(\PageIndex{73}\)
\(7x^2=6x+2\)
- Responder
-
La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.
\(7x^2−6x−2=0\)
Compare\(7x^2−6x−2 = 0\) con\(ax^2+bx+c = 0\) y observe que a = 7, b = −6 y c = −2. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.
\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−6) \pm \sqrt{��(−6)^2 −4(7)(−2)}}{2(7)} = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{14}\)
Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.
\(x = \frac{6 \pm \sqrt{4}\sqrt{23}}{14} = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{14}\)
Facteriza el numerador y cancela.
\(x = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{14} = \frac{2(3 \pm \sqrt{23})}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm \sqrt{23}}{7}\)
Ejercicio\(\PageIndex{74}\)
\(11x^2+6x=4\)
Ejercicio\(\PageIndex{75}\)
\(x^2=2x+19\)
- Responder
-
La ecuación es no lineal, así que haz un lado cero.
\(x^2−2x−19=0\)
Compare\(x^2−2x−19 = 0\) con\(ax^2+bx+c = 0\) y observe que a = 1, b = −2 y c = −19. Anote la fórmula cuadrática y sustituya.
\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{��(−2)^2 −4(1)(−19)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2}\)
Factorizar un cuadrado perfecto a partir del radical en el numerador.
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{16}\sqrt{5}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2}\)
Facteriza el numerador y cancela.
\(x = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = \frac{2(1 \pm 2\sqrt{5})}{2 \cdot 1} = 1 \pm 2\sqrt{5}\)
Ejercicio\(\PageIndex{76}\)
\(100x^2=40x−1\)
En los Ejercicios 77 - 80, suspenderemos la regla habitual de que se debe racionalizar el denominador. En cambio, solo esta vez, racionalizar el numerador de la expresión resultante.
Ejercicio\(\PageIndex{77}\)
Dado\(f(x) = \sqrt{x}\), evaluar la expresión\(\frac{f(x)−f(2)}{x−2}\), y luego “racionalizar el numerador”.
- Responder
-
Si\(f(x) = \sqrt{x}\), entonces
\(\frac{f(x)−f(2)}{x−2} = \frac{\sqrt{x}−\sqrt{2}}{x−2}\).
Para “racionalizar el numerador”, multiplique el numerador y el denominador por\(\sqrt{x}+\sqrt{2}\), luego use el patrón de diferencia de cuadrados para simplificar.
\(\frac{\sqrt{x}−\sqrt{2}}{x−2} = \frac{\sqrt{x}−\sqrt{2}}{x−2} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{x})^2−(\sqrt{2})^2}{(x−2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \frac{x−2}{(x−2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\)
Numerador y denominador están factorizados, así que podemos cancelar,
\(\frac{x−2}{(x−2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\),
siempre que, por supuesto, eso\(x \ne 2\).
Ejercicio\(\PageIndex{78}\)
Dado\(f(x) = \sqrt{x+2}\), evaluar la expresión\(\frac{f(x)−f(3)}{x−3}\), y luego “racionalizar el numerador”.
Ejercicio\(\PageIndex{79}\)
Dado\(f(x) = \sqrt{x}\), evaluar la expresión\(\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\), y luego “racionalizar el numerador”.
- Responder
-
Si\(f(x) = \sqrt{x}\), entonces
\(\frac{f(x+h)−f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}\)
Para “racionalizar el numerador”, multiplique el numerador y el denominador por\(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\), luego use el patrón de diferencia de cuadrados para simplificar.
\(\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h} = \frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x+h})^2−(\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{x+h−x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)
Simplifica, luego cancela.
\(\frac{x+h−x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\)
El resultado es válido proporcionado\(h \ne 0\).
Ejercicio\(\PageIndex{80}\)
Dado\(f(x) = \sqrt{x−3}\), evaluar la expresión\(\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\), y luego “racionalizar el numerador”.