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3.3: Simplificar expresiones algebraicas

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    Recordemos las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación.

    La propiedad conmutativa de la multiplicación. Si a y b son números enteros, entonces

    a · b = b · a, o equivalentemente, ab = ba.

    La propiedad asociativa de la multiplicación. Si a, b y c son números enteros, entonces

    (a · b) · c = a · (b · c), o equivalentemente, (ab) c = a (bc).

    La propiedad conmutativa nos permite cambiar el orden de multiplicación sin afectar el producto o la respuesta. La propiedad asociativa nos permite reagruparnos sin afectar el producto o la respuesta.

    Ejemplo 1

    Simplificar: 2 (3 x).

    Solución

    Utilice la propiedad asociativa para reagruparse y, a continuación, simplificar.

    \[ \begin{aligned} 2(3x) = (2 \cdot 3)x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Regrouping with the associative property.}} \\ = 6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 2 \cdot 3 = 6.} \end{aligned}\nonumber \]

    Ejercicio

    Simplificar: −5 (7 y)

    Contestar

    −35 y

    La declaración 2 (3 x) =6x es una identidad. Es decir, el lado izquierdo y el lado derecho de 2 (3 x) =6 x son iguales para todos los valores de x. Si bien la derivación en el Ejemplo 1 debe ser la prueba de esta afirmación, ayuda a la intuición para verificar la validez de la declaración para uno o dos valores de x.

    Si x = 4, entonces

    \[ \begin{array}{c c c} 2(3x) = 2(3( \textcolor{red}{4})) & \text{and} & 6x = 6( \textcolor{red}{4}) \\ = 2(12) & & = 24 \\ = 24 \end{array}\nonumber \]

    Si x = −5, entonces

    \[ \begin{array}{c c c} 2(3x) = 2(3( \textcolor{red}{-5})) & \text{and} & 6x = 6( \textcolor{red}{-5}) \\ =2(-15) & & = -30 \\ = -30 \end{array}\nonumber \]

    Los cálculos anteriores muestran que 2 (3 x) =6 x tanto para x = 4 como para x = −5. En efecto, la afirmación 2 (3 x) =6 x es verdadera, independientemente de lo que se sustituya por x.

    Ejemplo 2

    Simplificar: (−3 t) (−5).

    Solución

    En esencia, estamos multiplicando tres números, −3, t y −5, pero los símbolos de agrupación nos piden multiplicar primero −3 y t. Las propiedades asociativas y conmutativas nos permiten cambiar el orden y reagruparnos.

    \[ \begin{aligned} (-3t)(-5) = ((-3)(-5))t ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change the order and regroup.}} \\ = 15t ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } (-3)(-5) = 15.} \end{aligned}\nonumber \]

    Ejercicio

    Simplificar: (−8 a) (5)

    Contestar

    −40 a

    Ejemplo 3

    Simplificar: (−3 x) (−2 y)

    Solución

    En esencia, estamos multiplicando cuatro números, −3, x, −2 e y, pero los símbolos de agrupación especifican un orden particular. Las propiedades asociativas y conmutativas nos permiten cambiar el orden y reagruparnos.

    \[ \begin{aligned} (-3x)(-2y) =((-3)(-2))(xy) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change the order and regroup.}} \\ = 6xy ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } (-3)(-2)=6.} \end{aligned}\nonumber \]

    Ejercicio

    Simplificar: (−4 a) (5 b)

    Contestar

    −20 ab

    Acelerar las cosas

    El significado de la expresión 2 · 3 · 4 es claro. Los paréntesis y el orden de las operaciones realmente no son necesarios, ya que las propiedades conmutativas y asociativas explican que no importa cuál de los tres números multipliques primero.

    • Puedes multiplicar 2 y 3 primero:

    \[ \begin{aligned} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= (2 \cdot 3) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

    • O puedes multiplicar 3 y 4 primero:

    \[ \begin{aligned} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= 2 \cdot (3 \cdot 4) \\ &= 2 \cdot 12 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

    • O puedes multiplicar 2 y 4 primero:

    \[ \begin{aligned} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= (2 \cdot 4) \cdot 3 \\ &= 8 \cdot 3 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

    Entonces, no importa qué dos factores multipliques primero.

    Por supuesto, este no sería el caso si hubiera una mezcla de multiplicación y otros operadores (división, suma, resta). Entonces tendríamos que seguir estrictamente las “Reglas que orientan el orden de operaciones”. Pero si el único operador es la multiplicación, el orden de multiplicación es irrelevante.

    Así, cuando veamos 2 (3 x), como en el Ejemplo 1, deberíamos pensar “Todo es multiplicación y no importa cuáles dos números multiplique primero, así multiplicaré el 2 y el 3 y obtendré 2 (3 x) =6 x”.

    Nuestros comentarios se aplican igualmente bien a un producto de cuatro o más factores. Simplemente no importa cómo agrupe la multiplicación. Entonces, en el caso de (−3 x) (−2 y), como en el Ejemplo 3, encuentra el producto de −2 y −3 y multiplica el resultado por el producto de x e y. Es decir, (−3 x) (−2 y) =6 xy.

    Ejemplo 4

    Simplificar: (2 a) (3 b) (4 c).

    Solución

    El único operador es la multiplicación, por lo que podemos ordenar y agrupar como nos plazca. Entonces, tomaremos el producto de 2, 3 y 4, y multiplicaremos el resultado por el producto de a, b y c. Es decir,

    \[(2a)(3b)(4c)=24abc\nonumber \]

    Ejercicio

    Simplificar: (−3 x) (−2 y) (−4 z)

    Contestar

    −24 xyz.

    La propiedad distributiva

    La multiplicación es distributiva con respecto a la suma.

    La propiedad distributiva

    Si a, b y c son números enteros, entonces

    a · (b + c) = a · b + a · c, o equivalentemente, a (b + c) = ab + ac.

    Por ejemplo, si seguimos las “Reglas que guían el orden de operaciones” y primero evaluamos la expresión dentro de los paréntesis, entonces

    \[ \begin{aligned} 3(4+5)=3(9) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses first: } 4+5 = 9.} \\ =27. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3(9) = 27.} \end{aligned}\nonumber \]

    Pero si “distribuimos” el 3, obtenemos la misma respuesta.

    \[ \begin{aligned} 3(4+5) =3(4+5) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Each number in parentheses is multiplied}} \\ \textcolor{red}{ \text{ by the number 3 outside the parentheses.}} \end{aligned} \\ = 3(4) +3(5) ~ \\ = 12 + 15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first: } 3(4) = 12,~ 3(5) = 15.} \\ =27 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Ejemplo 5

    Utilice la propiedad distributiva para simplificar: 3 (4 x + 5).

    Solución

    Distribuir el 3.

    \[ \begin{aligned} 3(4x+5) = 3(4x)+3(5) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Each number in parentheses is multiplied}} \\ \textcolor{red}{ \text{ by the number 3 outside the parentheses.}} \end{aligned} \\ =12x + 15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first: } 3(4x)=12x,~ 3(5)=15.} \end{aligned}\nonumber \]

    Ejercicio

    Utilice la propiedad distributiva para simplificar: 2 (5 z +7).

    Contestar

    10z + 14

    La multiplicación también es distributiva con respecto a la resta.

    La propiedad distributiva

    Si a, b y c son números enteros, entonces

    a · (b − c) = a · b − a · c, o equivalentemente, a (b − c) = ab − ac.

    La aplicación de esta forma de la propiedad distributiva es idéntica a la primera, siendo la única diferencia el símbolo de resta.

    Ejemplo 6

    Utilice la propiedad distributiva para simplificar: 5 (3 x − 2).

    Solución

    Distribuir el 5.

    \[ \begin{aligned} 5(3x - 2) = 5(3x)-5(2) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Each number in parentheses is multiplied }} \\ \textcolor{red}{ \text{ by the number 5 outside the parentheses.}} \end{aligned} \\ = 15x - 10 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first: } 5(3x) = 15x, 5(2) = 10.} \end{aligned}\nonumber \]

    Ejercicio

    Utilice la propiedad distributiva para simplificar: 7 (4 a − 5).

    Contestar

    28 a − 35

    Ejemplo 7

    Eliminar paréntesis: (a) −9 (2 t + 7), y (b) −5 (4 − 3 y).

    Solución

    a) Utilizar la propiedad distributiva.

    \[ \begin{aligned} -9(2t+7) = -9(2t)+(-9)(7) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute multiplication by }-9.} \\ = -18t + (-63) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } -9(2t) = -18t \text{ and } -9(7) = -63.} \\ = - 18t - 63 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Write the answer in simpler form.}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ Adding } -63 \text{ is the same as subtracting 63.}} \end{aligned}\nonumber \]

    b) Utilizar la propiedad distributiva.

    \[ \begin{aligned} -5(4-3y) = -5(4)-(-5)(3y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute multiplication by }-5.} \\ = -20-(-15y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } -5(4) = -20 \text{ and } -5(3y) = -15y.} \\ = - 18t - 63 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Write the answer in simpler form.}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtracting } -15y \text{ is the same as adding } 15y.} \end{aligned}\nonumber \]

    Ejercicio

    Eliminar paréntesis: −3 (4 t − 11).

    Contestar

    −12 t + 33

    Redacción Matemáticas

    El Ejemplo 7 enfatiza la importancia de usar el menor número de símbolos posible para escribir tu respuesta final. Por lo tanto, −18 t − 63 es favorecido sobre −18 t + (−63) y −20 + 15 y es favorecido sobre −20 − (−15 y). Siempre debes hacer estas simplificaciones finales.

    Moverse un poco más rápido

    Una vez que hayas aplicado la propiedad distributiva a una serie de problemas, mostrando todo el trabajo como en el Ejemplo 7, deberías intentar eliminar algunos de los pasos. Por ejemplo, considere nuevamente el Ejemplo 7 (a). No es difícil aplicar la propiedad distributiva sin anotar un solo paso, obteniendo:

    \[−9(2t + 7) = −18t − 63.\nonumber \]

    Aquí está el pensamiento detrás de esta técnica:

    1. Primero, multiplica −9 por 2 t, obteniendo −18 t.
    2. Segundo, multiplica −9 veces +7, obteniendo −63.

    Tenga en cuenta que esto proporciona exactamente la misma solución que se encuentra en el Ejemplo 7 (a).

    Probemos esta misma técnica en el Ejemplo 7 (b).

    \[−5(4 − 3y) = −20 + 15y\nonumber \]

    Aquí está el pensamiento detrás de esta técnica.

    1. Primero, multiplica −5 por 4, obteniendo −20.
    2. Segundo, multiplicar −5 veces −3 y, obteniendo +15 y.

    Tenga en cuenta que esto proporciona exactamente la misma solución que se encuentra en el Ejemplo 7 (b).

    Ampliación de la propiedad distributiva

    Supongamos que agregamos un término extra dentro de los paréntesis.

    Propiedad distributiva

    Si a, b, c y d son números enteros, entonces

    a (b + c + d) = ab + ac + ad.

    Tenga en cuenta que “distribuimos” el a veces cada término dentro de los paréntesis. En efecto, si agregáramos otro término más dentro de los paréntesis, también “distribuiríamos” una vez ese término.

    Ejemplo 8

    Eliminar paréntesis: −5 (2 x − 3 y + 8).

    Solución

    Utilizaremos la técnica “más rápida”, “distribuyendo” −5 veces cada término entre paréntesis mentalmente.

    \[ -5(2x - 3y +8)=-10x + 15y -40\nonumber \]

    Aquí está nuestro proceso de pensamiento:

    1. Primero, multiplica −5 por 2 x, obteniendo −10 x.
    2. Segundo, multiplicar −5 veces −3 y, obteniendo +15 y.
    3. Tercero, multiplica −5 veces +8, obteniendo −40.

    Ejercicio

    Eliminar paréntesis: −3 (4 a − 5 b + 7)

    Contestar

    −12 a + 15 b − 21

    Ejemplo 9

    Eliminar paréntesis: −4 (−3 a + 4 b − 5 c + 12).

    Solución

    Utilizaremos la técnica “más rápida”, “distribuyendo” −4 veces cada término entre paréntesis mentalmente.

    \[ -4(-3a + 4b - 5c +12) = 12a - 16b + 20c - 48\nonumber \]

    Aquí está nuestro proceso de pensamiento:

    1. Primero, multiplica −4 veces −3 a, obteniendo 12 a.
    2. Segundo, multiplica −4 veces +4 b, obteniendo −16 b.
    3. Tercero, multiplica −4 veces −5 c, obteniendo +20 c.
    4. Cuarto, multiplicar −4 veces +12, obteniendo −48.

    Ejercicio

    Eliminar paréntesis: −2 (−2 x + 4 y − 5 z − 11).

    Contestar

    4 x − 8 y + 10 z + 22

    Distribuir un negativo

    Es útil recordar que negar equivale a multiplicar por −1.

    Multiplicando por −1

    Dejar a ser cualquier entero, entonces

    (−1) a = − a y − a = (−1) a.

    Podemos utilizar este hecho, combinado con la propiedad distributiva, para negar una suma.

    Ejemplo 10

    Eliminar paréntesis: − (a + b).

    Solución

    Cambia el símbolo negativo a multiplicar por −1, luego distribuye el −1.

    \[ \begin{aligned} -(a + b) =(-1)(a+b) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Negating is equivalent to multiplying by } -1.} \\ =-a-b ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the }-1.} \end{aligned}\nonumber \]

    Elegimos usar la técnica “más rápida” de “distribuir” el −1. Aquí está nuestro pensamiento:

    1. Multiplicar −1 veces a, obteniendo − a.
    2. Multiplica −1 veces + b, obteniendo − b.

    Ejercicio

    Eliminar paréntesis: − (4 a − 3 c)

    Contestar

    −4 a + 3 c

    Los resultados del Ejemplo 10 y el Ejemplo 11 nos muestran cómo negar una suma: Simplemente negar cada término de la suma. Los términos positivos cambian a negativos, los términos negativos se vuelven positivos.

    Negando una suma

    Para negar una suma, simplemente negar cada término de la suma. Por ejemplo, si a y b son números enteros, entonces

    − (a + b) = − a − b y − (a − b) = − a + b.

    Ejemplo 12

    Eliminar paréntesis: − (5 − 7 u + 3 t).

    Solución

    Simplemente niega cada término entre paréntesis.

    \[−(5 − 7u + 3t) = −5+7u − 3t\nonumber \]

    Ejercicio

    Eliminar paréntesis: − (5 − 2 x + 4 y − 5 z)

    Contestar

    −5+2 x − 4 y + 5 z

    Ejercicios

    En los Ejercicios 1-20, utilizar las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación para simplificar la expresión.

    1. 10 (−4x)

    2. 7 (−8x)

    3. (−10x) (−3)

    4. (−5x) (−8)

    5. −5 (3x)

    6. 9 (6x)

    7. (−4x) 10

    8. (−10x) (−6)

    9. (5x) 3

    10. (3x) 3

    11. (5x) 10

    12. (−2x) (−10)

    13. −9 (−7x)

    14. −10 (5x)

    15. 6 (2x)

    16. 3 (−10x)

    17. −8 (−9x)

    18. 3 (−3x)

    19. (6x) 7

    20. (−8x) (−5)

    En los Ejercicios 21-44, simplificar la expresión.

    21. 8 (7x + 8)

    22. −2 (5x + 5)

    23. 9 (−2 + 10x)

    24. −9 (4 + 9x)

    25. − (−2x + 10y − 6)

    26. − (−6y + 9x − 7)

    27. 2 (10 + x)

    28. 2 (10 − 6x)

    29. 3 (3 + 4x)

    30. 3 (4 + 6x)

    31. − (−5 − 7x + 2y)

    32. − (4x − 8 − 7años)

    33. 4 (−6x + 7)

    34. 6 (4x + 9)

    35. 4 (8x − 9)

    36. 10 (−10x + 1)

    37. − (4 − 2x − 10 años)

    38. − (−4x + 6 − 8y)

    39. − (−5x +1+9y)

    40. − (−10 − 5x − 4 años)

    41. − (6x + 2 − 10 años)

    42. − (6x + 4 − 10 años)

    43. − (−3y − 4+4x)

    44. − (−7 − 10x + 7y)

    RESPUESTAS

    1. −40x

    3. 30x

    5. −15x

    7. −40x

    9. 15x

    11. 50x

    13. 63x

    15. 12x

    17. 72x

    19. 42x

    21. 56x + 64

    23. −18 + 90x

    25. 2x − 10 años + 6

    27. 20 + 2x

    29. 9 + 12x

    31. 5+7x − 2 años

    33. −24x + 28

    35. 32x − 36

    37. −4+2x + 10y

    39. 5x − 1 − 9 años

    41. −6x − 2 + 10y

    43. 3 años + 4 − 4x

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