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LibreTexts Español

5.2: Sumar y restar polinomios

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

  • Determinar el grado de polinomios
  • Sumar y restar polinomios
  • Evaluar una función polinómica para un valor dado
  • Sumar y restar funciones polinómicas
Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

  1. Simplificar:3x2+3x+1+8x2+5x+5.
    Si te perdiste este problema, revisa [link].
  2. Restar:(5n+8)(2n1).
    Si te perdiste este problema, revisa [link].
  3. Evaluar:4xy2 cuándox=2x yy=5..
    Si te perdiste este problema, revisa [enlace].

Determinar el grado de polinomios

Hemos aprendido que un término es una constante o producto de una constante y una o más variables. Un monomio es una expresión algebraica con un término. Cuando es de la formaaxm, dondea es una constante ym es un número entero, se le llama monomio en una variable. Algunos ejemplos de monomio en una variable son. Los monomios también pueden tener más de una variable como y4a2b3c2.

Definición: MONOMIAL

Un monomio es una expresión algebraica con un término. Un monomio en una variable es un término de la formaaxm, dondea es una constante ym es un número entero.

Un monomio, o dos o más monomios combinados por suma o resta, es un polinomio. Algunos polinomios tienen nombres especiales, basados en el número de términos. Un monomio es un polinomio con exactamente un término. Un binomio tiene exactamente dos términos, y un trinomio tiene exactamente tres términos. No hay nombres especiales para polinomios con más de tres términos.

Definición: POLINOMIOS
  • polinomio —Un monomio, o dos o más términos algebraicos combinados por suma o resta es un polinomio.
  • monomial —Un polinomio con exactamente un término se llama monomio.
  • binomio —Un polinomio con exactamente dos términos se llama binomio.
  • trinomio —Un polinomio con exactamente tres términos se llama trinomio.

Aquí algunos ejemplos de polinomios.

Polinomio y+1 4a27ab+2b2 4x4+x3+8x29x+1  
Monomio 14 8y2 9x3y5 13a3b2c
Binomial a+7ba+7b 4x2y2 y216 3p3q9p2q
Trinomio x27x+12 9m2+2mn8n2 6k4k3+8k z4+3z21

Observe que cada monomio, binomio y trinomio es también un polinomio. Solo son miembros especiales de la “familia” de polinomios y así tienen nombres especiales. Usamos las palabras monomio, binomio y trinomio cuando nos referimos a estos polinomios especiales y simplemente llamamos a todos los polinomios del resto.

El grado de un polinomio y el grado de sus términos están determinados por los exponentes de la variable. Un monomio que no tiene variable, solo una constante, es un caso especial. El grado de una constante es 0.

Definición: GRADO DE UN POLINOMIO
  • El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
  • El grado de una constante es 0.
  • El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.

Veamos cómo funciona esto al observar varios polinomios. Lo llevaremos paso a paso, comenzando por monomios, y luego progresando a polinomios con más términos. Empecemos por mirar un monomio. El monomio8ab2 tiene dos variablesa yb. Para encontrar el grado necesitamos encontrar la suma de los exponentes. La variable a no tiene un exponente escrito, pero recuerde que eso significa que el exponente es 1. El exponente deb es 2. La suma de los exponentes, 1+2,1+2, es 3 por lo que el grado es 3.

CNX_IntAlg_Figure_05_01_001_img_new.jpg

Aquí hay algunos ejemplos adicionales.

CNX_IntAlg_Figure_05_01_002_img_new.jpg

Trabajar con polinomios es más fácil cuando listas los términos en orden descendente de grados. Cuando un polinomio se escribe de esta manera, se dice que está en forma estándar de un polinomio. Acostúmbrese a escribir el término con el grado más alto primero.

Ejemplo5.2.1

Determinar si cada polinomio es un polinomio, binomio, trinomio u otro polinomio. Después, encuentra el grado de cada polinomio.

  1. 7y25y+3
  2. 2a4b2
  3. 3x54x36x2+x8
  4. 2y8xy3
  5. 15
Contestar
Polinomio Número de términos Tipo Grado de términos Grado de polinomio
7y25y+3 3 Trinomio 2, 1, 0 2
2a4b22a4b2 1 Monomio 4, 2 6
3x54x36x2+x8 5 Polinomio 5, 3, 2, 1, 0 5
2y8xy3 2 Binomial 1, 4 4
15 1 Monomio 0 0
Ejemplo5.2.2

Determinar si cada polinomio es un polinomio, binomio, trinomio u otro polinomio. Después, encuentra el grado de cada polinomio.

  1. 5
  2. 8y37y2y3
  3. 3x2y5xy+9xy3
  4. 81m24n2
  5. 3x6y3z
Contestar a

monomio, 0

Respuesta b

polinomio, 3

Respuesta c

trinomio, 3

Respuesta d

binomio, 2

Respuesta b

monomio, 10

Ejemplo5.2.3

Determinar si cada polinomio es un polinomio, binomio, trinomio u otro polinomio. Después, encuentra el grado de cada polinomio.

  1. 64k38
  2. 9m3+4m22
  3. 56
  4. 8a47a3b6a2b24ab3+7b4
  5. p4q3
Contestar

ⓐ binomio, 3 ⓑ trinomio, 3 ⓒ monomio, 0 ⓓ polinomio, 4 ⓔ monomio, 7

Sumar y restar polinomios

Hemos aprendido a simplificar expresiones combinando términos similares. Recuerde, los términos similares deben tener las mismas variables con el mismo exponente. Dado que los monomios son términos, sumar y restar monomios es lo mismo que combinar términos similares. Si los monomios son como términos, simplemente los combinamos sumando o restando los coeficientes.

Ejemplo5.2.4

Suma o resta:

  1. 25y2+15y2
  2. 16pq3(7pq3).
Contestar a

25y2+15y2Combine like terms.40y2

Respuesta b

16pq3(7pq3)Combine like terms.23pq3

Ejemplo5.2.5

Suma o resta:

  1. 12q2+9q2
  2. 8mn3(5mn3).
Contestar

21q213mn3

Ejemplo5.2.6

Suma o resta:

  1. 15c2+8c2
  2. 15y2z3(5y2z3)
Contestar

7c210y2z3

Recuerda que términos similares deben tener las mismas variables con los mismos exponentes.

Ejemplo5.2.7

Simplificar:

  1. a2+7b26a2
  2. u2v+5u23v2
Contestar

ⓐ Combina términos similares.

a2+7b26a2=5a2+7b2

ⓑ No hay términos similares para combinar. En este caso, el polinomio permanece inalterado.

u2v+5u23v2

Ejemplo5.2.8

Agregar:

  1. 8y2+3z23y2
  2. m2n28m2+4n2
Contestar

5y2+3z2
m2n28m2+4n2

Ejemplo5.2.9

Agregar:

  1. 3m2+n27m2
  2. pq26p5q2
Contestar

4m2+n2
pq26p5q2

Podemos pensar en sumar y restar polinomios como simplemente sumar y restar una serie de monomios. Busque los términos similares, aquellos con las mismas variables y el mismo exponente. La propiedad conmutativa nos permite reorganizar los términos para armar términos similares.

Ejemplo5.2.10

Encuentra la suma:(7y22y+9)+(4y28y7).

Contestar

\ (\ begin {align*} &\ text {Identificar términos similares.} & & (\ subrayado {\ subrayado {7y^2}} −\ subrayado {2y} +9) + (\ subrayado {\ subrayado {4y^2}} −\ subrayado {8y} −7)\\ [6pt]
&\ text {Reescribe sin paréntesis,}\\
&\ text {reordenando para obtener los términos similares juntos.} & &\ subrayado {\ subrayado {7y^2+4y^2}} −\ subrayado {2y−8y} +9−7\\ [6pt]
&\ text {Combina términos similares.} & & 11y^2−10y+2\ end {alinear*}\)

Ejemplo5.2.11

Encuentra la suma:(7x24x+5)+(x27x+3)

Contestar

8x211x+8

Ejemplo5.2.12

Encuentra la suma:(14y2+6y4)+(3y2+8y+5)

Contestar

17y2+14y+1

Tenga cuidado con las señales mientras distribuye mientras resta los polinomios en el siguiente ejemplo.

Ejemplo5.2.13

Encuentra la diferencia:(9w27w+5)(2w24)

Contestar

\ (\ begin {align*} & & & (9w^2−7w+5)\; −\; (2w^2−4)\\ [6pt]
&\ text {Distribuir e identificar términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {9w^2}} −\ subrayado {7w} +5-\ subrayado {\ subrayado {2w^2}} +4\\ [6pt]
&\ text {Reorganizar los términos.} & &\ subrayado {\ subrayado {9w^2-2w^2}} −\ subrayado {7w} +5+4\\ [6pt]
&\ text {Combina términos similares.} & & 7w^2−7w+9\ end {alinear*}\)

Ejemplo5.2.14

Encuentra la diferencia:(8x2+3x19)(7x214)

Contestar

x2+3x5

Ejemplo5.2.15

Encuentra la diferencia:(9b25b4)(3b25b7)

Contestar

6b2+3

Ejemplo5.2.16

Restar(p2+10pq2q2) de(p2+q2).

Contestar

\ (\ begin {align*} & & & (p^2+q^2)\; −\; (p^2+10pq−2q^2)\\ [6pt]
&\ text {Distribuir e identificar términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {p^2}} +\ subrayado {q^2} -\ subrayado {\ subrayado {p^2}} -10pq +\ subrayado {2q^2}\\ [6pt]
&\ text {Reorganizar los términos, juntando términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {p^2-p^2}} −10pq +\ subrayado {q^2 + 2q^2}\\ [6pt]
&\ text {Combina términos similares.} & & −10pq+3q^2\ end {align*}\)

Ejemplo5.2.17

Restar(a2+5ab6b2) de(a2+b2)

Contestar

5ab+7b2

Ejemplo5.2.18

Restar(m27mn3n2) de(m2+n2).

Contestar

7mn+4n^2

Ejemplo5.2.19

Encuentra la suma:(u26uv+5v2)+(3u2+2uv)

Contestar

\ (\ begin {align*} & & & (u^2−6uv+5v^2)\; +\; (3u^2+2uv)\\ [6pt]
&\ text {Distribuir e identificar términos similares.} &\ subrayado {\ subrayado {u^2}} -\ subrayado {6uv} +5v^2+\ subrayado {\ subrayado {3u^2}} +\ subrayado {2uv}\\ [6pt]
&\ text {Reorganizar los términos para armar términos similares.} & &\ subrayado {\ subrayado {u^2}} +\ subrayado {\ subrayado {3u^2}} -\ subrayado {6uv} +\ subrayado {2uv} +5v^2\\ [6pt]
&\ text {Combina términos similares.} & & 4u^2−4uv+5v^2\ end {alinear*}\)

Ejemplo5.2.20

Encuentra la suma:(3x24xy+5y2)+(2x2xy)

Contestar

5x25xy+5y2

Ejemplo5.2.21

Encuentra la suma:(2x23xy2y2)+(5x23xy)

Contestar

7x26xy2y2

Cuando sumamos y restamos más de dos polinomios, el proceso es el mismo.

Ejemplo5.2.22

Simplificar:(a3a2b)(ab2+b3)+(a2b+ab2)

Contestar

\ (\ begin {align*} & & & (a^3−a^2b)\; −\; (ab^2+b^3)\; +\; (a^2b+ab^2)\\ [6pt]
&\ text {Distribuir} & & a^3−a^2b − ab^2 - b^3 + a^2b+ab^2\\ [6pt]
&\ text Reorganizar los términos para armar términos similares.} & & a^3−a^2b + a^2b− ab^2 + ab^2 - b^3\\ [6pt]
&\ text {Combina términos similares.} & & a^3−b^3\ end {alinear*}\)

Ejemplo5.2.23

Simplificar:(x3x2y)(xy2+y3)+(x2y+xy2)

Contestar

x3+y3

Ejemplo5.2.24

Simplificar:(p3p2q)+(pq2+q3)(p2q+pq2)

Contestar

p33p2q+q3

Evaluar una función polinómica para un valor dado

Una función polinómica es una función definida por un polinomio. Por ejemplo,f(x)=x2+5x+6 yg(x)=3x4 son funciones polinómicas, porquex2+5x+6 y3x4 son polinomios.

Definición: FUNCIÓN POLINOMIAL

Una función polinómica es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.

En Gráficas y Funciones, donde primero introdujimos funciones, aprendimos que evaluar una función significa encontrar el valor def(x) para un valor dado dex. Para evaluar una función polinómica, sustituiremos el valor dado por la variable y luego simplificaremos usando el orden de las operaciones.

Ejemplo5.2.25

Para la funciónf(x)=5x28x+4 encontrar:

  1. f(4)
  2. f(2)
  3. f(0).
Contestar

  .
. .
Simplifica los exponentes. .
Multiplicar. .
Simplificar. .

  .
. .
Simplifica los exponentes. .
Multiplicar. .
Simplificar. .

  .
. .
Simplifica los exponentes. .
Multiplicar. .
Ejemplo5.2.26

Para la funciónf(x)=3x2+2x15, encontrar

  1. f(3)
  2. f(5)
  3. f(0).
Contestar

ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ15

Ejemplo5.2.27

Para la funcióng(x)=5x2x4, encontrar

  1. g(2)
  2. g(1)
  3. g(0).
Contestar

ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ4

Las funciones polinómicas similares a la del siguiente ejemplo se utilizan en muchos campos para determinar la altura de un objeto en algún momento después de proyectarlo al aire. El polinomio en la siguiente función se usa específicamente para dejar caer algo de 250 pies.

Ejemplo5.2.28

La función polinómicah(t)=16t2+250 da la altura de una bola t segundos después de que se cae de un edificio de 250 pies de altura. Encuentra la altura después det=2 segundos.

Contestar

h(t)=16t2+250To find h(2), substitute t=2.h(2)=16(2)2+250Simplify.h(2)=16·4+250Simplify.h(2)=64+250Simplify.h(2)=186After 2 seconds the height of the ball is 186 feet.

Ejemplo5.2.29

La función polinómicah(t)=16t2+150 da la altura de una piedra t segundos después de que se cae desde un acantilado de 150 pies de altura. Encuentra la altura después det=0 segundos (la altura inicial del objeto).

Contestar

La altura es150 pies.

Ejemplo5.2.30

La función polinómicah(t)=16t2+175 da la altura de una bola t segundos después de que se cae desde un puente de 175 pies de altura. Encuentra la altura después det=3 segundos.

Contestar

La altura es31 pies.

Sumar y restar funciones polinomiales

Así como se pueden sumar y restar polinomios, también se pueden sumar y restar funciones polinómicas.

Definición: SUMA Y SUTRACCIÓN DE FUNCIONES POLINOMIALES

Para funcionesf(x) yg(x),

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(fg)(x)=f(x)g(x)

Ejemplo5.2.31

Para funcionesf(x)=3x25x+7 yg(x)=x24x3, encuentre:

  1. (f+g)(x)
  2. (f+g)(3)
  3. (fg)(x)
  4. (fg)(2).
Contestar

  .
. .
Reescribir sin los paréntesis. .
Poner términos similares juntos. .
Combina términos similares. .

ⓑ En la parte (a) encontramos(f+g)(x) y ahora se les pide encontrar(f+g)(3).

(f+g)(x)=4x29x+4To find (f+g) (3), substitute x=3.(f+g)(3)=4(3)29·3+4(f+g)(3)=4·99·3+4(f+g)(3)=3627+4

Observe que podríamos haber encontrado(f+g)(3) primero encontrando los valores def(3) yg(3) por separado y luego agregando los resultados.

Encuentraf(3). .
  .
  .
Encuentrag(3). .
  .
  .
Encuentra(f+g)(3). .
  .
. .
  .

  .
. .
Reescribir sin los paréntesis. .
Poner términos similares juntos. .
Combina términos similares. .

.
Ejemplo5.2.32

Para funcionesf(x)=2x24x+3 yg(x)=x22x6, encuentra: ⓐ(f+g)(x)(f+g)(3)(fg)(x)(fg)(2).

Contestar

(f+g)(x)=3x26x3

(f+g)(3)=6

(fg)(x)=x22x+9

(fg)(2)=17

Ejemplo5.2.33

Para funcionesf(x)=5x24x1 yg(x)=x2+3x+8, encuentra ⓐ(f+g)(x)(f+g)(3)(fg)(x)(fg)(2).

Contestar

(f+g)(x)=6x2x+7

(f+g)(3)=58

(fg)(x)=4x27x9

(fg)(2)=21

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con sumar y restar polinomios.

  • Sumando y restando polinomios

Conceptos clave

  • Monomio
    • Un monomio es una expresión algebraica con un término.
    • Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y m es un número entero.
  • Polinomios
    • Polinomio —Un monomio, o dos o más términos algebraicos combinados por suma o resta es un polinomio.
    • monomial —Un polinomio con exactamente un término se llama monomio.
    • binomio — Un polinomio con exactamente dos términos se llama binomio.
    • trinomio —Un polinomio con exactamente tres términos se llama trinomio.
  • Grado de un polinomio
    • El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
    • El grado de una constante es 0.
    • El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.

Glosario

binomio
Un binomio es un polinomio con exactamente dos términos.
grado de una constante
El grado de cualquier constante es 0.
grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.
grado de un término
El grado de un término es la suma de los exponentes de sus variables.
monomial
Un monomio es una expresión algebraica con un término. Un monomio en una variable es un término de la forma axm, axm, donde a es una constante y m es un número entero.
polinomio
Un monomio o dos o más monomios combinados por suma o resta es un polinomio.
forma estándar de un polinomio
Un polinomio está en forma estándar cuando los términos de un polinomio se escriben en orden descendente de grados.
trinomio
Un trinomio es un polinomio con exactamente tres términos.
función polinómica
Una función polinómica es una función cuyos valores de rango están definidos por un polinomio.

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