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7.6: Resolver aplicaciones con ecuaciones racionales

Última actualización

30 oct 2022
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- 7.5E: Ejercicios
- 7.6E: Ejercicios

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Objetivos de aprendizaje

Resolver proporciones
Resolver aplicaciones de figuras similares
Resolver aplicaciones de movimiento uniforme
Resolver aplicaciones de trabajo
Resolver problemas de variación directa
Resolver problemas de variación inversa

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Ejemplo 2.2.13. Ejemplo 2.5.13. Ejemplo 2.2.9.

Resolver proporciones

Cuando dos expresiones racionales son iguales, la ecuación que las relaciona se llama proporción.

Proporción

Una proporción es una ecuación de la forma $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ , donde $b \neq 0, d \neq 0$ .

La proporción se lee “ $a$ es $b$ como $c$ es a” $d$ .

La ecuación $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}$ es una proporción porque las dos fracciones son iguales. La proporción $\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}$ se lee “1 es a 2 como 4 es a 8”.

Dado que una proporción es una ecuación con expresiones racionales, resolveremos proporciones de la misma manera que resolvimos ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la LCD para borrar las fracciones y luego resolver la ecuación resultante.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Resolver: $\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}$ .

Solución

$\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}, \quad n \neq-14 \nonumber$

Multiplique ambos lados por LCD.

$7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \nonumber$

Elimine los factores comunes en cada lado.

$7 n=5(n+14) \nonumber$

Simplificar.

$7 n=5 n+70 \nonumber$

Resolver para $n$ .

$\begin{aligned} 2n&=70\\ n&=35 \end{aligned} \nonumber$

Cheque.

$\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \nonumber$

Sustituto $n=35$

$\dfrac{35}{35+14} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{35}{49} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber$

Mostrar factores comunes.

$\dfrac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber$

Simplificar.

$\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}\; \surd \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Resolver la proporción: $\dfrac{y}{y+55}=\dfrac{3}{8}$ .

Contestar: $y=33$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Resolver la proporción: $\dfrac{z}{z-84}=-\dfrac{1}{5}$ .

Contestar: $z=14$

Observe en el último ejemplo que cuando limpiamos las fracciones multiplicando por la LCD, el resultado es el mismo que si hubiéramos multiplicado cruzadamente.

$\begin{aligned} \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7n=5(n+14) \quad \quad \quad 7n=5(n+14) \end{aligned} \nonumber$

Para cualquier proporción, $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ , obtenemos el mismo resultado cuando limpiamos las fracciones multiplicando por la LCD como cuando multiplicamos cruzadamente.

$\begin{aligned} \dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d} \quad \quad \quad \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \\ bd\left(\dfrac{a}{b}=\frac{c}{d}\right) bd \quad \quad \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \\ ad =bc \quad \quad \quad ad=bc \end{aligned} \nonumber$

Para resolver aplicaciones con proporciones, seguiremos nuestra estrategia habitual para resolver aplicaciones Pero cuando configuramos la proporción, debemos asegurarnos de tener las unidades correctas, las unidades en los numeradores deben coincidir entre sí y las unidades en los denominadores también deben coincidir entre sí.

Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, prescriben 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras del peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de acetaminofén le recetará su médico?

Solución

Identificar lo que se nos pide encontrar, y elegir una variable para representarlo.

¿Cuántos ml de acetaminofén prescribirá el médico?

Dejar $a=ml$ de acetaminofén.

Escribe una frase que dé la información para encontrarla.

Si se recetan 5 ml por cada 25 libras, ¿cuánto se recetará por 80 libras?

Traduzca en una proporción: tenga cuidado con las unidades.

Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha. Nuestra desigualdad está en esta forma.

$\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0 \nonumber$

Paso 2. Determinar los puntos críticos, los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.

La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Desde $x-1=0$ cuando $x=1$ , entonces 1 es un punto crítico. La expresión racional quedará indefinida cuando el denominador sea cero. Desde $x+3=0$ cuando $x=-3$ , entonces -3 es un punto crítico.

Paso 3. Utilice los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.

$clipboard_ee2fe708799269f0539168f8443a351d2.png$

Paso 4. Por encima de la recta numérica se muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del cociente.

Utilice valores en cada intervalo para determinar el valor de cada factor en el intervalo. En el intervalo (-3,1), cero es un buen valor para probar. Por ejemplo, cuando $x=0$ entonces $x-1=-1$ y $x+3=3$ El factor $x-1$ está marcado negativo y $x+3$ marcado positivo. Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca negativo en ese intervalo.

Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.

$clipboard_edae13eef9fc14a8139b8d2bcd44dd965.png$

Queremos que el cociente sea mayor o igual a cero, por lo que los números en los intervalos $(-\infty,-3)$ y $(1, \infty)$ son soluciones. Ya que 3 debe ser excluido ya que hace la expresión racional 0, no podemos incluirlo en la solución. Podemos incluir 1 en nuestra solución.

$(-\infty,-3) \cup[1, \infty) \nonumber$

Multiplique ambos lados por la pantalla LCD, 400. Elimine los factores comunes en cada lado. Simplifica, pero no multipliques por la izquierda. Observe cuál será el siguiente paso.

$16 \cdot 5=5 a \nonumber$

Resolver para $a$ .

$\begin{aligned} \dfrac{16 \cdot 5}{5}&=\dfrac{5 a}{5}\\ 16&=a \end{aligned} \nonumber$

Cheque. ¿La respuesta es razonable? Escribe una oración completa.

El pediatra le recetaría 16 ml de acetaminofén a Zoe.

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Los pediatras prescriben 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras del peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofén le recetará el médico a Emilia, quien pesa 60 libras?

Contestar: El pediatra le recetará 12 ml de acetaminofén a Emilia.

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Por cada 1 kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras prescriben 15 miligramos (mg) de un reductor de fiebre. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos del reductor de fiebre prescribirá el pediatra?

Contestar: El pediatra le recetará 180 mg de reductor de fiebre a Isabella.

Resolver aplicaciones de figuras similares

Cuando encoge o agrandas una foto en un teléfono o tableta, averiguas una distancia en un mapa, o usas un patrón para construir una estantería o coser un vestido, estás trabajando con figuras similares. Si dos figuras tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños, se dice que son similares. Uno es un modelo a escala del otro. Todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes tienen la misma proporción.

Cifras Similares

Dos cifras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes tienen la misma relación.

Por ejemplo, los dos triángulos de la Figura a continuación son similares. Cada lado de $\Delta ABC$ es cuatro veces la longitud del lado correspondiente de $\Delta XYZ$ .

$clipboard_e856a7de8b3a79dcd08723d9871ccd270.png$

Esto se resume en la Propiedad de Triángulos Similares.

Propiedad de Triángulos Similares

Si $\Delta ABC$ es similar a $\Delta XYZ$ , entonces su medida de ángulo correspondiente es igual y sus lados correspondientes tienen la misma relación.

$clipboard_e4fdc3b30588979c50d44a48aef0d74a0.png$

Para resolver aplicaciones con cifras similares seguiremos la Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones Geométricas que usamos anteriormente.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

En un mapa, San Francisco, Las Vegas y Los Ángeles forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de abajo a la izquierda representa el triángulo formado por las ciudades del mapa. Si la distancia real de Los Ángeles a Las Vegas es de 270 millas, encuentre la distancia de Los Ángeles a San Francisco.

$clipboard_efb0263e1d94381d6b9257775d879ded0.png$

Solución

Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales.

Lee el problema. Dibuja las figuras y etiquétalas con la información dada. Las cifras se muestran arriba.

Identifica lo que estamos buscando: la distancia real de Los Ángeles a San Francisco

Nombra las variables: Let $x$ = distancia de Los Ángeles a San Francisco.

Traducir en una ecuación. Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales. Haremos los numeradores “millas” y los denominadores “pulgadas”.

$$\dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}$ \nonumber$

Resuelve la ecuación.

$\begin{aligned} 1.3\left(\dfrac{x}{1.3}\right)&=1.3\left(\dfrac{270}{1}\right) \\ x&=351 \end{aligned} \nonumber$

Cheque. En el mapa, la distancia de Los Ángeles a San Francisco es más que la distancia de Los Ángeles a Las Vegas. Ya que 351 es más de 270 la respuesta tiene sentido.

Consultar $x=351$ la proporción original. Usa una calculadora.

$\begin {aligned} \dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{351 \text { miles }}{1.3 \text { inches }} &\overset{?}{=} \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }} \surd \end{aligned} \nonumber$

Responde a la pregunta: La distancia de Los Ángeles a San Francisco es de 351 millas.

En el mapa, Seattle, Portland y Boise forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de abajo a la izquierda representa el triángulo formado por las ciudades del mapa. La distancia real de Seattle a Boise es de 400 millas.

$clipboard_e545a49106f741f6a3b36f53e39ed4458.png$

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Encuentra la distancia real de Seattle a Portland.

Contestar: La distancia es de 150 millas.

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Encuentra la distancia real de Portland a Boise.

Contestar: La distancia es de 350 millas.

Podemos usar figuras similares para encontrar alturas que no podemos medir directamente.

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Tyler mide 6 pies de altura. Al final de la tarde, su sombra medía 8 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un árbol tenía 24 pies de largo. Encuentra la altura del árbol.

Solución

Lee el problema y dibuja una figura. Estamos buscando $h$ , la altura del árbol.

$clipboard_ee900ec650dd61d33cbc8b7d340874f27.png$

Usaremos triángulos similares para escribir una ecuación. El triángulo pequeño es similar al triángulo grande.

$\dfrac{h}{24}=\dfrac{6}{8} \nonumber$

Resolver la proporción.

$\begin {aligned} 24\left(\dfrac{6}{8}\right)&=24\left(\dfrac{h}{24}\right)\\ 18&=h \end{aligned} \nonumber$

Simplificar. Cheque.

La altura de Tyler es menor que la longitud de su sombra por lo que tiene sentido que la altura del árbol sea menor que la longitud de su sombra. Consultar $h=18$ la proporción original.

$\begin{aligned} &\dfrac{6}{8}=\dfrac{h}{24}\\ &\dfrac{6}{8} \overset{?}{=} \dfrac{18}{24}\\ &\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} \surd \end{aligned} \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Un poste telefónico proyecta una sombra de 50 pies de largo. Cerca, una señal de tráfico de 8 pies de altura proyecta una sombra que mide 10 pies de largo. ¿Qué tan alto es el poste telefónico?

Contestar: El poste telefónico mide 40 pies de altura.

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Un pino proyecta una sombra de 80 pies junto a un edificio de 30 pies de altura que arroja una sombra de 40 pies. ¿Qué tan alto es el pino?

Contestar: El pino mide 60 pies de altura.

Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

Hemos resuelto problemas de movimiento uniforme utilizando la fórmula $D=r t$ de capítulos anteriores. Utilizamos una tabla como la de abajo para organizar la información y llevarnos a la ecuación.

	Tasa $\cdot$ Tiempo = Distancia
	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia” class="lt-math-14671">
	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia” class="lt-math-14671">

La fórmula $D=r t$ supone que conocemos $r$ $t$ y los usamos para encontrar $D$ . Si conocemos $D$ $r$ y necesitamos encontrar $t$ , resolveríamos la ecuación para $t$ y obtendríamos la fórmula $t=\dfrac{D}{r}$ .

También hemos explicado cómo volar con o contra el viento afecta la velocidad de un avión. Volveremos a visitar esa idea en el siguiente ejemplo.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Un avión puede volar 200 millas en un viento en contra de 30 mph en la misma cantidad de tiempo que lleva volar 300 millas con un viento de cola de 30 mph. ¿Cuál es la velocidad del avión?

Solución

Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

$clipboard_e675478d490b6955418a9d40f7346c6b5.png$

Rellenamos la tabla para organizar la información.

Estamos buscando la velocidad del avión. Let $r$ = la velocidad del avión.

Cuando el avión vuela con el viento, el viento aumenta su velocidad y así la velocidad es $r + 30$ .

Cuando el avión vuela contra el viento, el viento disminuye su velocidad y la velocidad es $r − 30$ .

Escribe en las tarifas. Escribe en las distancias. Ya que $D=r \cdot t$ , resolvemos para $t$ y obtenemos $t=\dfrac{D}{r}$ . Dividimos la distancia por la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

	Tasa $\cdot$ Tiempo = Distancia
Viento en contra	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> $r-30$	$\dfrac{200}{r-30}$	200
Viento de cola	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> $r+30$	$\dfrac{300}{r+30}$	300

Sabemos que los tiempos son iguales y así escribimos nuestra ecuación.

$\dfrac{200}{r-30}=\dfrac{300}{r+30} \nonumber$

Multiplicamos ambos lados por el LCD.

$(r+30)(r-30)\left(\frac{200}{r-30}\right)=(r+30)(r-30)\left(\frac{300}{r+30}\right) \nonumber$

Simplificar y resolver.

$\begin{aligned} (r+30)(200)&=(r-30) 300 \\ 200 r+6000&=300 r-9000 \\ 15000&=100 r \end{aligned} \nonumber$

Cheque.

¿Es $150 \mathrm{mph}$ una velocidad razonable para un avión? Sí. Si el avión está viajando $150 \mathrm{mph}$ y el viento es $30 \mathrm{mph}$ ,

$\text { Tailwind } \quad 150+30=180 \mathrm{mph} \quad \dfrac{300}{180}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber$

$\text { Headwind } 150-30=120 \mathrm{mph} \dfrac{200}{120}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber$

Los tiempos son iguales, por lo que comprueba. El avión viajaba $150 \mathrm{mph}$ .

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Link puede montar su bicicleta 20 millas en un viento en contra de 3 mph en la misma cantidad de tiempo que puede recorrer 30 millas con un viento de cola de 3 mph. ¿Cuál es la velocidad de ciclismo de Link?

Contestar: La velocidad de ciclismo de Link es de 15 mph.

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Danica puede navegar su bote 5 millas en un viento en contra de 7 mph en la misma cantidad de tiempo que puede navegar 12 millas con un viento de cola de 7 mph. ¿Cuál es la velocidad del barco de Danica sin viento?

Contestar: La velocidad del barco de Danica es de 17 mph.

En el siguiente ejemplo, conoceremos el tiempo total resultante de recorrer diferentes distancias a diferentes velocidades.

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Jazmine entrenó durante 3 horas el sábado. Corrió 8 millas y luego viajó en bicicleta 24 millas. Su velocidad de ciclismo es 4 mph más rápida que su velocidad de carrera. ¿Cuál es su velocidad de carrera?

Solución

Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

$clipboard_ea415f63ad2acc69c7ea17326f1ee0337.png$

Rellenamos la tabla para organizar la información. Estamos buscando la velocidad de carrera de Jazmine. $r$ Let= La velocidad de carrera de Jazmine.

Su velocidad de ciclismo es 4 millas más rápida que su velocidad de carrera. $r + 4$ = su velocidad en bicicleta

Se dan las distancias, ingréselas en el gráfico. Ya que $D=r \cdot t$ , resolvemos para $t$ y obtenemos $t=\dfrac{D}{r}$ .Dividimos la distancia por la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

	Tasa $\cdot$ Tiempo = Distancia
Run	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> $r$	$\dfrac{8}{r}$	8
Bici	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> $r+4$	$\dfrac{24}{r+4}$	24
	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">	3

Escribe una frase de palabras: Su tiempo más el tiempo en bicicleta es de 3 horas.

Traduzca la oración para obtener la ecuación.

$\dfrac{8}{r}+\dfrac{24}{r+4}=3 \nonumber$

Resolver.

\ [\ comenzar {alineado}
r (r+4)\ izquierda (\ dfrac {8} {r} +\ dfrac {24} {r+4}\ derecha) &=3\ cdot r (r+4)\
8 (r+4) +24 r &=3 r (r+4)\
8 r+32+24 r &=3 r^ {2} +12 r\
32+32 r &=3 r^ {2} +12 r\\
0 &=3 r^ {2} -20 r-32\\
0 & =( 3 r+ 4) (r-8)
\ final {alineado}\ nonumber\]

$\begin{array}{lc} {(3 r+4)=0} & {(r-8)=0} \\ \cancel{r=\dfrac{4}{3}} \quad & {r=8} \end{array} \nonumber$

Cheque.

Una velocidad negativa no tiene sentido en este problema, así $r=8$ es la solución.

¿8 mph es una velocidad de carrera razonable? Sí.

Si la tasa de carrera de Jazmine es de 4, entonces su tasa de ciclismo $r+4$ ,, que es $8+4=12$ .

$\text { Run } 8 \mathrm{mph} \quad \dfrac{8 \mathrm{miles}}{8 \mathrm{mph}}=1 \text { hour } \nonumber$

$\text { Bike } 12 \text { mph } \quad \dfrac{24 \text { miles }}{12 \mathrm{mph}}=2 \text { hours } \nonumber$

Ejercicio $\PageIndex{11}$

Dennis fue a esquiar a campo traviesa durante 6 horas el sábado. Esquió 20 millas cuesta arriba y luego 20 millas atrás cuesta abajo, volviendo a su punto de partida. Su velocidad cuesta arriba era 5 mph más lenta que su velocidad cuesta abajo. ¿Cuál era la velocidad de Dennis subiendo y su velocidad bajando?

Contestar: La velocidad cuesta arriba de Dennis era de 10 mph y su velocidad cuesta abajo fue de 5 mph.

Ejercicio $\PageIndex{12}$

Joon condujo 4 horas hasta su casa, manejando 208 millas en la interestatal y 40 millas en caminos rurales. Si manejaba 15 mph más rápido en la interestatal que en las carreteras rurales, ¿cuál era su tasa en las carreteras rurales?

Contestar: La tasa de Joon en las carreteras rurales es de 50 mph.

Una vez más, utilizaremos la fórmula de movimiento uniforme resuelta para la variable $t$ .

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Hamilton montó su bicicleta cuesta abajo 12 millas por el sendero del río desde su casa hasta el océano y luego montó cuesta arriba para regresar a casa. Su velocidad cuesta arriba era 8 millas por hora más lenta que su velocidad cuesta abajo. Le tomó 2 horas más llegar a casa de lo que le llevó llegar al océano. Encuentra la velocidad de descenso de Hamilton.

Solución

Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.

$clipboard_eafa696bc696539ea8097deeeb9c97f3b.png$

Rellenamos la tabla para organizar la información.

Estamos buscando la velocidad de descenso de Hamilton. $h$ Let= La velocidad cuesta abajo de Hamilton.

Su velocidad cuesta arriba es de 8 millas por hora más lenta. $h-8$ = La velocidad cuesta arriba de Hamilton.

Ingresa las tarifas en el gráfico.

La distancia es la misma en ambas direcciones: 12 millas.

Ya que $D=r \cdot t$ , resolvemos para $t$ y obtenemos $t=\dfrac{D}{r}$ . Dividimos la distancia por la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo.

	Tasa $\cdot$ Tiempo = Distancia
Downhill	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> $h$	$\dfrac{12}{h}$	12
Cuesta arriba	\ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> $h-8$	$\dfrac{12}{h-8}$	12

Escribe una frase de palabras sobre la línea: Tomó 2 horas más cuesta arriba que cuesta abajo. El tiempo cuesta arriba es 2 más que el tiempo de descenso.

Traduzca la oración para obtener la ecuación.

$\dfrac{12}{h-8}=\dfrac{12}{h}+2 \nonumber$

Resolver.

\ [\ comenzar {alineado}
h (h-8)\ izquierda (\ dfrac {12} {h-8}\ derecha) &=h (h-8)\ izquierda (\ dfrac {12} {h} +2\ derecha)\\
12 h &=12 (h-8) +2 h (h-8)\
12 h &=12 h-96+2 h^ {2} -16 h\
0 &=2 h^ {2} -16 h-96\\
0 &=2\ izquierda (h^ {2} -8 h-48\ derecha)\\
0 &=2 (h-12) (h+4)
\ final {alineado}\ nonumber\]

$\begin{array}{lc} h-12=0 & h+4=0 \\ h=12 & \cancel {h=4} \end{array} \nonumber$

Cheque. ¿Es $12 \mathrm{mph}$ una velocidad razonable para andar en bicicleta cuesta abajo? Sí.

$\text { Downhill } 12 \mathrm{mph} \quad \dfrac{12 \text { miles }}{12 \mathrm{mph}}=1 \text { hour } \nonumber$

$\text { Uphill } 12-8=4 \mathrm{mph} \quad \dfrac{12 \text { miles }}{4 \mathrm{mph}}=3 \text { hours} \nonumber$

El tiempo cuesta arriba es de 2 horas más que el tiempo de descenso.

La velocidad de descenso de Hamilton es $12 \mathrm{mph}$ .

Ejercicio $\PageIndex{13}$

Kayla montó su bicicleta a 75 millas a casa desde la universidad un fin de semana y luego viajó en autobús de regreso a la universidad. Le tomó 2 horas menos regresar a la universidad en el autobús de lo que le tomó viajar a casa en su bicicleta, y la velocidad promedio del autobús era 10 millas por hora más rápida que la velocidad de Kayla en bicicleta. Encuentra la velocidad de ciclismo de Kayla.

Contestar: La velocidad de Kayla en bicicleta era de 15 mph.

Ejercicio $\PageIndex{14}$

Victoria corre 12 millas hasta el parque a lo largo de un sendero plano y luego regresa trotando en un sendero montañoso de 20 millas. Ella corre 1 milla por hora más lenta en el sendero montañoso que en el sendero plano, y su viaje de regreso le lleva dos horas más. Encuentra su tasa de trotar en el sendero plano.

Contestar: Victoria trotó 6 mph en el sendero plano.

Resolver aplicaciones de trabajo

La revista semanal de chismes tiene una gran historia sobre el bebé de la Princesa y el editor quiere que la revista se imprima lo antes posible. Ella le ha pedido a la impresora que ejecute una imprenta extra para que la impresión se haga más rápidamente. Press #1 tarda 6 horas en hacer el trabajo y Press #2 tarda 12 horas en hacer el trabajo. ¿Cuánto tiempo tardará la impresora en imprimir la revista con ambas prensas funcionando juntas?

Esta es una aplicación típica de 'trabajo'. Aquí hay tres cantidades involucradas: el tiempo que tomaría a cada una de las dos prensas hacer el trabajo sola y el tiempo que les tomaría hacer el trabajo juntos.

Si Press #1 puede completar el trabajo en 6 horas, en una hora $\dfrac{1}{6}$ completaría el trabajo.

Si Press #2 puede completar el trabajo en 12 horas, en una hora $\dfrac{1}{12}$ completaría el trabajo.

Dejaremos $t$ ser el número de horas que tardarían las prensas en imprimir las revistas con ambas prensas funcionando juntas. Por lo que en 1 hora trabajando juntos han concluido $\dfrac{1}{t}$ el trabajo.

Podemos modelar esto con la ecuación de la palabra y luego traducirlo a una ecuación racional. Para encontrar el tiempo que tomaría a las prensas completar el trabajo si trabajaban juntas, resolvemos para $t$ .

Sigue los pasos para organizar la información. Estamos buscando cuántas horas tardarían en completar el trabajo con ambas prensas funcionando juntas.

Paso 1: Dejar $t$ = el número de horas necesarias para completar el trabajo juntos.

Paso 2: Ingresa las horas por empleo para Prensa #1, Prensa #2, y cuando trabajen juntos.

Si un trabajo en Prensa #1 tarda 6 horas, entonces en 1 hora $\dfrac{1}{6}$ del trabajo se completa.

De igual manera encontrar la parte del trabajo completado/horas para Prensa #2 y cuando ambos juntos.

	Número de horas para completar el trabajo.	Parte del trabajo completado/hora
Prensa #1	6	$\dfrac{1}{6}$
Prensa #2	12	$\dfrac{1}{12}$
Juntos	$t$	$\dfrac{1}{t}$

Escribe una frase de palabra. La parte completada por Prensa #1 más la parte completada por Prensa #2 equivale a la cantidad completada en conjunto.

Paso 3: Traducir en una ecuación.

$\text {Work completed by}\\ \underbrace{\text {Press } \#1 + \text {Press } \#2 = \text {Together}}\\ \dfrac{1}{6} \qquad+\qquad\dfrac{1}{12}\qquad =\qquad \dfrac{1}{t} \nonumber$

Paso 4: Resolver. Simplificar.

$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{t} \nonumber$

Multiplique por la pantalla LCD $12t$ y simplifique.

\ [\ begin {alineado}
12 t\ izquierda (\ dfrac {1} {6} +\ dfrac {1} {12}\ derecha) &=12 t\ izquierda (\ dfrac {1} {t}\ derecha)\\
2 t+t &=12\\
3 t &=12\\
t &=4
\ end {alineado}\ nonumber\]

Cuando ambas prensas están funcionando, se necesitan 4 horas para hacer el trabajo.

Tenga en cuenta que dos prensas deben tomar menos tiempo para que dos prensas completen un trabajo en conjunto que para que cualquiera de las dos prensas lo haga sola.

Ejemplo $\PageIndex{8}$

Supongamos que Pete puede pintar una habitación en 10 horas. Si trabaja a ritmo constante, en 1 hora pintaría $\dfrac{1}{10}$ de la habitación. Si Alicia tardaría 8 horas en pintar la misma habitación, entonces en 1 hora pintaría $\dfrac{1}{8}$ de la habitación. ¿Cuánto tiempo tardarían a Pete y Alicia en pintar la habitación si trabajaban juntos (y no interfirieran con el progreso del otro)?

Solución

Se trata de una aplicación de 'trabajo'. Los pasos a continuación nos ayudarán a organizar la información. Estamos buscando el número de horas que les llevará pintar la habitación juntos.

En una hora Pete hizo $\dfrac{1}{10}$ del trabajo. Alicia hizo $\dfrac{1}{8}$ del trabajo. Y juntos hicieron $\dfrac{1}{t}$ del trabajo.

Paso 1: Deja $t$ ser el número de horas necesarias para pintar la habitación juntos.

Paso 2: Ingresa las horas por empleo para Pete, Alicia, y cuando trabajan juntos. En 1 hora trabajando juntos, han concluido $\dfrac{1}{t}$ el trabajo. De igual manera, encuentra la parte del trabajo completado/hora por Pete y luego por Alicia.

	Número de horas para completar el trabajo.	Parte del trabajo completado/hora
Pete	10	$\dfrac{1}{10}$
Alicia	8	$\dfrac{1}{8}$
Juntos	$t$	$\dfrac{1}{t}$

Escribe una frase de palabra. El trabajo realizado por Pete más el trabajo realizado por Alicia equivale al trabajo total terminado.

Paso 3: Traducir en una ecuación.

$\text {Work completed by}\\ \underbrace{\text {Pete } + \text {Alicia } = \text {Together}}\\ \dfrac{1}{10} \qquad+\qquad\dfrac{1}{8}\qquad =\qquad \dfrac{1}{t} \nonumber$

Paso 4: Simplificar. Resolver.

Multiplicar por la pantalla LCD, $40t$ .

$40 t\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{8}\right)=40 t\left(\dfrac{1}{t}\right) \nonumber$

Distribuir.

$40 t \cdot \dfrac{1}{10}+40 t \cdot \dfrac{1}{8}=40 t\left(\dfrac{1}{t}\right) \nonumber$

Simplificar y resolver.

\ [\ begin {array} {r}
{4 t+5 t=40}\\
{9 t=40}\\
{t=\ dfrac {40} {9}}
\ end {array}\ nonumber\]

Escribiremos como un número mixto para que podamos convertirlo en horas y minutos.

$t=4 \dfrac{4}{9} \text { hours } \nonumber$

Recuerda, 1 hora = 60 minutos.

$t=4 \text { hours }+\dfrac{4}{9}(60 \text { minutes }) \nonumber$

Multiplicar, y luego redondear al minuto más cercano.

$t=4 \text { hours }+27\text { minutes } \nonumber$

Pete y Alica tardarían unas 4 horas y 27 minutos en pintar la habitación.

Ejercicio $\PageIndex{15}$

Un jardinero puede segar un campo de golf en 4 horas, mientras que otro jardinero puede segar el mismo campo de golf en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría si los dos jardineros trabajaran juntos para segar el campo de golf?

Contestar: Cuando los dos jardineros trabajan juntos toma 2 horas y 24 minutos.

Ejercicio $\PageIndex{16}$

Daria puede desyerbar el jardín en 7 horas, mientras que su madre puede hacerlo en 3. ¿Cuánto tiempo les llevará a los dos trabajar juntos?

Contestar: Cuando Daria y su madre trabajan juntas toma 2 horas y 6 minutos.

Ejemplo $\PageIndex{9}$

Ra'shon puede limpiar la casa en 7 horas. Cuando su hermana le ayuda tarda 3 horas. ¿Cuánto tiempo le toma a su hermana cuando limpia la casa sola?

Solución

Este es un problema de trabajo. Los pasos a continuación nos ayudarán a organizar la información. Estamos buscando cuántas horas le tomaría a la hermana de Ra'shon completar el trabajo sola.

Paso 1: $s$ Sea el número de horas que la hermana de Ra'shon tarda en limpiar la casa sola.

Paso 2: Ingresa las horas por trabajo para Ra'shon, su hermana, y cuando trabajan juntos. Si Ra'shon tarda 7 horas, entonces en 1 hora $\dfrac{1}{s}$ del trabajo se termina. Si la hermana de Ra'shon toma $s$ horas, entonces en 1 hora $\dfrac{1}{s}$ del trabajo se completa.

	Número de horas para completar el trabajo.	Parte del trabajo completado/hora
Ra'shon	7	$\dfrac{1}{7}$
Su hermana	$s$	$\dfrac{1}{s}$
Juntos	3	$\dfrac{1}{3}$

Escribe una frase de palabra. La parte que completó Ra'shon más la parte de su hermana equivale a la cantidad completada en conjunto.

Paso 3: Traducir a una ecuación.

$\text {Work completed by}\\ \underbrace{\text {Ra'shon } + \text {His sister } = \text {Together}}\\ \dfrac{1}{7} \qquad+\qquad\dfrac{1}{s}\qquad =\qquad \dfrac{1}{3} \nonumber$

Paso 4: Simplificar. Resolver.

$\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3} \nonumber$

Multiplicar por la pantalla LCD, 21s.

\ [\ comenzar {alineado}
21 s\ izquierda (\ dfrac {1} {7} +\ dfrac {1} {s}\ derecha) &=\ izquierda (\ dfrac {1} {3}\ derecha) 21 s\\
3 s+21 &=7 s
\ final {alineado}\ nonumber\]

Simplificar.

\ [\ begin {alineado}
-4 s &=-21\\
s &=\ frac {-21} {-4} =\ frac {21} {4}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Escribe como un número mixto para convertirlo en horas y minutos.

$s=5 \dfrac{1}{4} \text { hours } \nonumber$

Hay 60 minutos en 1 hora.

$s=5 \text { hours }+\dfrac{1}{4}(60 \text { minutes })\\ s=5\text { hours }+15\text { minutes } \nonumber$

A la hermana de Ra'shon le tomaría 5 horas y 15 minutos limpiar sola la casa.

Ejercicio $\PageIndex{17}$

Alice puede pintar una habitación en 6 horas. Si Kristina la ayuda les toma 4 horas pintar la habitación. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Kristina pintar la habitación sola?

Contestar: Kristina puede pintar la habitación en 12 horas.

Ejercicio $\PageIndex{18}$

Tracy puede colocar una losa de concreto en 3 horas, con la ayuda de Jordan pueden hacerlo en 2 horas. Si Jordan trabaja solo, ¿cuánto tiempo tardará?

Contestar: Tomará a Jordan 6 horas.

Resolver problemas de variación directa

Cuando dos cantidades están relacionadas por una proporción, decimos que son proporcionales entre sí. Otra forma de expresar esta relación es hablar de la variación de las dos cantidades. Discutiremos la variación directa y la variación inversa en esta sección.

A Lindsay le pagan 15 dólares por hora en su trabajo. Si dejamos $s$ ser su salario y h sea el número de horas que ha trabajado, podríamos modelar esta situación con la ecuación

$s=15 h \nonumber$

El salario de Lindsay es producto de una constante, 15, y del número de horas que trabaja. Decimos que el salario de Lindsay varía directamente con el número de horas que trabaja. Dos variables varían directamente si una es producto de una constante y la otra.

Variación directa

Para dos variables cualquiera $x$ y $y$ , $y$ varía directamente con $x$ si

$y=kx$ , donde

$k\neq 0$

La constante $k$ se llama la constante de variación.

En aplicaciones que utilizan variación directa, generalmente conoceremos los valores de un par de las variables y se nos pedirá encontrar la ecuación que relaciona $x$ y $y$ . Entonces podemos usar esa ecuación para encontrar valores de $y$ para otros valores de $x$ .

Vamos a enumerar los pasos aquí.

Cómo resolver problemas de variación directa

Paso 1. Escribe la fórmula para la variación directa.

Paso 2. Sustituir los valores dados por las variables.

Paso 3. Resuelve la constante de variación.

Paso 4. Escribe la ecuación que relaciona $x$ y $y$ usando la constante de variación.

Ahora resolveremos una aplicación de variación directa.

Ejemplo $\PageIndex{10}$

Cuando Raoul corre en la cinta de correr en el gimnasio, el número de calorías $c$ ,, quema varía directamente con el número de minutos, $m$ , usa la cinta de correr. Quemó 315 calorías cuando usó la cinta de correr durante 18 minutos.

Escribe la ecuación que relaciona $c$ y $m$ .
¿Cuántas calorías quemaría si corría en la cinta de correr durante 25 minutos?

Solución

El número de calorías, $c$ , varía directamente con el número de minutos, $m$ , en la cinta de correr, y $c=315$ cuándo $m=18$ .

Escribe la fórmula para la variación directa.

$y=kx \nonumber$

Vamos a utilizar $c$ en lugar de $y$ y $m$ en lugar de $x$ .

$c=k m \nonumber$

Sustituir los valores dados por las variables.

$315=k \cdot 18 \nonumber$

Resuelve la constante de variación.

\ [\ begin {alineado}
&\ dfrac {315} {18} =\ dfrac {k\ cdot 18} {18}\\
&17.5=k
\ end {alineado}\ nonumber\]

Escribe la ecuación que relaciona $c$ y $m$ .

$c=k m \nonumber$

Sustituto en la constante de variación.

$c=17.5 m \nonumber$

$y=\dfrac{k}{x}$

Ejemplo $\PageIndex{11}$

La frecuencia de una cuerda de guitarra varía inversamente con su longitud. A 26 pulg. -La cuerda larga tiene una frecuencia de 440 vibraciones por segundo.

Escribe la ecuación de variación.
¿Cuántas vibraciones por segundo habrá si la longitud de la cuerda se reduce a 20 pulgadas poniendo un dedo en un traste?

Solución

La frecuencia varía inversamente con la longitud.

Nombra las variables. Let $f$ = frecuencia. $L$ = longitud

Escribe la fórmula para la variación inversa.

$y=\dfrac{k}{x} \nonumber$

Vamos a utilizar $f$ en lugar de $y$ y $L$ en lugar de $x$ .

$f=\dfrac{k}{L} \nonumber$

$f=440 \text { when } L=26 \nonumber$

$440=\dfrac{k}{26} \nonumber$

Resuelve la constante de variación.

\ [\ begin {alineado}
&26 (440) =26\ izquierda (\ dfrac {k} {26}\ derecha)\\
&11,440=k
\ end {alineado}\ nonumber\]

Escribe la ecuación que relaciona $f$ y $L$ .

$f=\dfrac{k}{L} \nonumber$

Sustituir la constante de variación.

$f=\dfrac{11,440}{L} \nonumber$

Encuentra $f$ cuándo $L=20$ .

Escribe la ecuación que relaciona $f$ y $L$ .

$f=\dfrac{11,440}{L} \nonumber$

Sustituir el valor dado porL.

$f=\dfrac{11,440}{20} \nonumber$

Simplificar.

$f=572 \nonumber$

Una cuerda de guitarra de 20"-tiene frecuencia 572 vibraciones por segundo.

Objetivos de aprendizaje

Nota

Resolver proporciones

Proporción

Ejemplo7.6.1\PageIndex{1}

Ejercicio7.6.1\PageIndex{1}

Ejercicio7.6.2\PageIndex{2}

Ejercicio7.6.3\PageIndex{3}

Ejercicio7.6.4\PageIndex{4}

Resolver aplicaciones de figuras similares

Cifras Similares

Propiedad de Triángulos Similares

Ejemplo7.6.3\PageIndex{3}

Ejercicio7.6.5\PageIndex{5}

Ejercicio7.6.6\PageIndex{6}

Ejemplo7.6.4\PageIndex{4}

Ejercicio7.6.7\PageIndex{7}

Ejercicio7.6.8\PageIndex{8}

Resolver aplicaciones de movimiento uniforme

Ejemplo7.6.5\PageIndex{5}

Ejercicio7.6.9\PageIndex{9}

Ejercicio7.6.10\PageIndex{10}

Ejemplo7.6.6\PageIndex{6}

Ejercicio7.6.19\PageIndex{19}

Ejercicio7.6.20\PageIndex{20}

Resolver problemas de variación inversa

Variación inversa

cómo resolver problemas de variación inversa

Ejercicio7.6.21\PageIndex{21}

Ejercicio7.6.22\PageIndex{22}

Acceso a medios Recursos adicionales en línea

Support Center

How can we help?

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Ejemplo $\PageIndex{6}$