7.6: Resolver aplicaciones con ecuaciones racionales
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- Resolver aplicaciones de figuras similares
- Resolver aplicaciones de movimiento uniforme
- Resolver aplicaciones de trabajo
- Resolver problemas de variación directa
- Resolver problemas de variación inversa
Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.
- Ejemplo 2.2.13. Ejemplo 2.5.13. Ejemplo 2.2.9.
Resolver proporciones
Cuando dos expresiones racionales son iguales, la ecuación que las relaciona se llama proporción.
Una proporción es una ecuación de la forma\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), donde\(b \neq 0, d \neq 0\).
La proporción se lee “\(a\)es\(b\) como\(c\) es a”\(d\).
La ecuación\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\) es una proporción porque las dos fracciones son iguales. La proporción\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8}\) se lee “1 es a 2 como 4 es a 8”.
Dado que una proporción es una ecuación con expresiones racionales, resolveremos proporciones de la misma manera que resolvimos ecuaciones racionales. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por la LCD para borrar las fracciones y luego resolver la ecuación resultante.
Resolver:\(\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}\).
Solución
\[\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7}, \quad n \neq-14 \nonumber \]
Multiplique ambos lados por LCD.
\[7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \nonumber \]
Elimine los factores comunes en cada lado.
\[7 n=5(n+14) \nonumber \]
Simplificar.
\[7 n=5 n+70 \nonumber \]
Resolver para\(n\).
\[\begin{aligned} 2n&=70\\ n&=35 \end{aligned} \nonumber \]
Cheque.
\[\dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \nonumber \]
Sustituto\(n=35\)
\[\dfrac{35}{35+14} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{35}{49} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]
Mostrar factores comunes.
\[\dfrac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} \overset{?}{=} \dfrac{5}{7} \nonumber \]
Simplificar.
\[\dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{7}\; \surd \nonumber \]
Resolver la proporción:\(\dfrac{y}{y+55}=\dfrac{3}{8}\).
- Contestar
-
\(y=33\)
Resolver la proporción:\(\dfrac{z}{z-84}=-\dfrac{1}{5}\).
- Contestar
-
\(z=14\)
Observe en el último ejemplo que cuando limpiamos las fracciones multiplicando por la LCD, el resultado es el mismo que si hubiéramos multiplicado cruzadamente.
\[\begin{aligned} \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7(n+14)\left(\dfrac{n}{n+14}\right)=7(n+14)\left(\dfrac{5}{7}\right) \quad \quad \quad \dfrac{n}{n+14}=\dfrac{5}{7} \\ 7n=5(n+14) \quad \quad \quad 7n=5(n+14) \end{aligned} \nonumber \]
Para cualquier proporción,\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), obtenemos el mismo resultado cuando limpiamos las fracciones multiplicando por la LCD como cuando multiplicamos cruzadamente.
\[\begin{aligned} \dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d} \quad \quad \quad \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \\ bd\left(\dfrac{a}{b}=\frac{c}{d}\right) bd \quad \quad \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \\ ad =bc \quad \quad \quad ad=bc \end{aligned} \nonumber \]
Para resolver aplicaciones con proporciones, seguiremos nuestra estrategia habitual para resolver aplicaciones Pero cuando configuramos la proporción, debemos asegurarnos de tener las unidades correctas, las unidades en los numeradores deben coincidir entre sí y las unidades en los denominadores también deben coincidir entre sí.
Cuando los pediatras recetan acetaminofén a los niños, prescriben 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras del peso del niño. Si Zoe pesa 80 libras, ¿cuántos mililitros de acetaminofén le recetará su médico?
Solución
Identificar lo que se nos pide encontrar, y elegir una variable para representarlo.
¿Cuántos ml de acetaminofén prescribirá el médico?
Dejar\(a=ml\) de acetaminofén.
Escribe una frase que dé la información para encontrarla.
Si se recetan 5 ml por cada 25 libras, ¿cuánto se recetará por 80 libras?
Traduzca en una proporción: tenga cuidado con las unidades.
Paso 1. Escribe la desigualdad como un cociente a la izquierda y cero a la derecha. Nuestra desigualdad está en esta forma.
\[\dfrac{x-1}{x+3} \geq 0 \nonumber \]
Paso 2. Determinar los puntos críticos, los puntos donde la expresión racional será cero o indefinida.
La expresión racional será cero cuando el numerador sea cero. Desde\(x-1=0\) cuando\(x=1\), entonces 1 es un punto crítico. La expresión racional quedará indefinida cuando el denominador sea cero. Desde\(x+3=0\) cuando\(x=-3\), entonces -3 es un punto crítico.
Paso 3. Utilice los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
Paso 4. Por encima de la recta numérica se muestra el signo de cada factor de la expresión racional en cada intervalo. Debajo de la línea numérica se muestra el signo del cociente.
Utilice valores en cada intervalo para determinar el valor de cada factor en el intervalo. En el intervalo (-3,1), cero es un buen valor para probar. Por ejemplo, cuando\(x=0\) entonces\(x-1=-1\) y\(x+3=3\) El factor\(x-1\) está marcado negativo y\(x+3\) marcado positivo. Dado que un negativo dividido por un positivo es negativo, el cociente se marca negativo en ese intervalo.
Paso 5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.
Queremos que el cociente sea mayor o igual a cero, por lo que los números en los intervalos\((-\infty,-3)\) y\((1, \infty)\) son soluciones. Ya que 3 debe ser excluido ya que hace la expresión racional 0, no podemos incluirlo en la solución. Podemos incluir 1 en nuestra solución.
\[(-\infty,-3) \cup[1, \infty) \nonumber \]
Multiplique ambos lados por la pantalla LCD, 400. Elimine los factores comunes en cada lado. Simplifica, pero no multipliques por la izquierda. Observe cuál será el siguiente paso.
\[16 \cdot 5=5 a \nonumber \]
Resolver para\(a\).
\[\begin{aligned} \dfrac{16 \cdot 5}{5}&=\dfrac{5 a}{5}\\ 16&=a \end{aligned} \nonumber \]
Cheque. ¿La respuesta es razonable? Escribe una oración completa.
El pediatra le recetaría 16 ml de acetaminofén a Zoe.
Los pediatras prescriben 5 mililitros (ml) de acetaminofén por cada 25 libras del peso de un niño. ¿Cuántos mililitros de acetaminofén le recetará el médico a Emilia, quien pesa 60 libras?
- Contestar
-
El pediatra le recetará 12 ml de acetaminofén a Emilia.
Por cada 1 kilogramo (kg) de peso de un niño, los pediatras prescriben 15 miligramos (mg) de un reductor de fiebre. Si Isabella pesa 12 kg, ¿cuántos miligramos del reductor de fiebre prescribirá el pediatra?
- Contestar
-
El pediatra le recetará 180 mg de reductor de fiebre a Isabella.
Resolver aplicaciones de figuras similares
Cuando encoge o agrandas una foto en un teléfono o tableta, averiguas una distancia en un mapa, o usas un patrón para construir una estantería o coser un vestido, estás trabajando con figuras similares. Si dos figuras tienen exactamente la misma forma, pero diferentes tamaños, se dice que son similares. Uno es un modelo a escala del otro. Todos sus ángulos correspondientes tienen las mismas medidas y sus lados correspondientes tienen la misma proporción.
Dos cifras son similares si las medidas de sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes tienen la misma relación.
Por ejemplo, los dos triángulos de la Figura a continuación son similares. Cada lado de \(\Delta ABC\)es cuatro veces la longitud del lado correspondiente de \(\Delta XYZ\).
Esto se resume en la Propiedad de Triángulos Similares.
Si\(\Delta ABC\) es similar a\(\Delta XYZ\), entonces su medida de ángulo correspondiente es igual y sus lados correspondientes tienen la misma relación.
Para resolver aplicaciones con cifras similares seguiremos la Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones Geométricas que usamos anteriormente.
En un mapa, San Francisco, Las Vegas y Los Ángeles forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de abajo a la izquierda representa el triángulo formado por las ciudades del mapa. Si la distancia real de Los Ángeles a Las Vegas es de 270 millas, encuentre la distancia de Los Ángeles a San Francisco.
Solución
Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales.
Lee el problema. Dibuja las figuras y etiquétalas con la información dada. Las cifras se muestran arriba.
Identifica lo que estamos buscando: la distancia real de Los Ángeles a San Francisco
Nombra las variables: Let\(x\) = distancia de Los Ángeles a San Francisco.
Traducir en una ecuación. Dado que los triángulos son similares, los lados correspondientes son proporcionales. Haremos los numeradores “millas” y los denominadores “pulgadas”.
\[$\dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}$ \nonumber \]
Resuelve la ecuación.
\[\begin{aligned} 1.3\left(\dfrac{x}{1.3}\right)&=1.3\left(\dfrac{270}{1}\right) \\ x&=351 \end{aligned} \nonumber \]
Cheque. En el mapa, la distancia de Los Ángeles a San Francisco es más que la distancia de Los Ángeles a Las Vegas. Ya que 351 es más de 270 la respuesta tiene sentido.
Consultar\(x=351\) la proporción original. Usa una calculadora.
\[\begin {aligned} \dfrac{x \text { miles }}{1.3 \text { inches }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{351 \text { miles }}{1.3 \text { inches }} &\overset{?}{=} \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}\\ \dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }}&=\dfrac{270 \text { miles }}{1 \text { inch }} \surd \end{aligned} \nonumber \]
Responde a la pregunta: La distancia de Los Ángeles a San Francisco es de 351 millas.
En el mapa, Seattle, Portland y Boise forman un triángulo. La distancia entre las ciudades se mide en pulgadas. La figura de abajo a la izquierda representa el triángulo formado por las ciudades del mapa. La distancia real de Seattle a Boise es de 400 millas.
Encuentra la distancia real de Seattle a Portland.
- Contestar
-
La distancia es de 150 millas.
Encuentra la distancia real de Portland a Boise.
- Contestar
-
La distancia es de 350 millas.
Podemos usar figuras similares para encontrar alturas que no podemos medir directamente.
Tyler mide 6 pies de altura. Al final de la tarde, su sombra medía 8 pies de largo. Al mismo tiempo, la sombra de un árbol tenía 24 pies de largo. Encuentra la altura del árbol.
Solución
Lee el problema y dibuja una figura. Estamos buscando\(h\), la altura del árbol.
Usaremos triángulos similares para escribir una ecuación. El triángulo pequeño es similar al triángulo grande.
\[\dfrac{h}{24}=\dfrac{6}{8} \nonumber \]
Resolver la proporción.
\[\begin {aligned} 24\left(\dfrac{6}{8}\right)&=24\left(\dfrac{h}{24}\right)\\ 18&=h \end{aligned} \nonumber \]
Simplificar. Cheque.
La altura de Tyler es menor que la longitud de su sombra por lo que tiene sentido que la altura del árbol sea menor que la longitud de su sombra. Consultar\(h=18\) la proporción original.
\[\begin{aligned} &\dfrac{6}{8}=\dfrac{h}{24}\\ &\dfrac{6}{8} \overset{?}{=} \dfrac{18}{24}\\ &\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} \surd \end{aligned} \nonumber \]
Un poste telefónico proyecta una sombra de 50 pies de largo. Cerca, una señal de tráfico de 8 pies de altura proyecta una sombra que mide 10 pies de largo. ¿Qué tan alto es el poste telefónico?
- Contestar
-
El poste telefónico mide 40 pies de altura.
Un pino proyecta una sombra de 80 pies junto a un edificio de 30 pies de altura que arroja una sombra de 40 pies. ¿Qué tan alto es el pino?
- Contestar
-
El pino mide 60 pies de altura.
Resolver aplicaciones de movimiento uniforme
Hemos resuelto problemas de movimiento uniforme utilizando la fórmula\(D=r t\) de capítulos anteriores. Utilizamos una tabla como la de abajo para organizar la información y llevarnos a la ecuación.
| Tasa\(\cdot\) Tiempo = Distancia | |||
|---|---|---|---|
| \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia” class="lt-math-14671"> | |||
| \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia” class="lt-math-14671"> | |||
La fórmula\(D=r t\) supone que conocemos\(r\)\(t\) y los usamos para encontrar\(D\). Si conocemos\(D\)\(r\) y necesitamos encontrar\(t\), resolveríamos la ecuación para\(t\) y obtendríamos la fórmula\(t=\dfrac{D}{r}\).
También hemos explicado cómo volar con o contra el viento afecta la velocidad de un avión. Volveremos a visitar esa idea en el siguiente ejemplo.
Un avión puede volar 200 millas en un viento en contra de 30 mph en la misma cantidad de tiempo que lleva volar 300 millas con un viento de cola de 30 mph. ¿Cuál es la velocidad del avión?
Solución
Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.
Rellenamos la tabla para organizar la información.
Estamos buscando la velocidad del avión. Let\(r\) = la velocidad del avión.
Cuando el avión vuela con el viento, el viento aumenta su velocidad y así la velocidad es\(r + 30\).
Cuando el avión vuela contra el viento, el viento disminuye su velocidad y la velocidad es\(r − 30\).
Escribe en las tarifas. Escribe en las distancias. Ya que\(D=r \cdot t\), resolvemos para\(t\) y obtenemos\(t=\dfrac{D}{r}\). Dividimos la distancia por la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo.
| Tasa\(\cdot\) Tiempo = Distancia | |||
|---|---|---|---|
| Viento en contra | \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r-30\) | \(\dfrac{200}{r-30}\) | 200 |
| Viento de cola | \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r+30\) | \(\dfrac{300}{r+30}\) | 300 |
Sabemos que los tiempos son iguales y así escribimos nuestra ecuación.
\[\dfrac{200}{r-30}=\dfrac{300}{r+30} \nonumber \]
Multiplicamos ambos lados por el LCD.
\[(r+30)(r-30)\left(\frac{200}{r-30}\right)=(r+30)(r-30)\left(\frac{300}{r+30}\right) \nonumber \]
Simplificar y resolver.
\[\begin{aligned} (r+30)(200)&=(r-30) 300 \\ 200 r+6000&=300 r-9000 \\ 15000&=100 r \end{aligned} \nonumber \]
Cheque.
¿Es\(150 \mathrm{mph}\) una velocidad razonable para un avión? Sí. Si el avión está viajando\(150 \mathrm{mph}\) y el viento es\(30 \mathrm{mph}\),
\[\text { Tailwind } \quad 150+30=180 \mathrm{mph} \quad \dfrac{300}{180}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber \]
\[\text { Headwind } 150-30=120 \mathrm{mph} \dfrac{200}{120}=\dfrac{5}{3} \text { hours } \nonumber \]
Los tiempos son iguales, por lo que comprueba. El avión viajaba\(150 \mathrm{mph}\).
Link puede montar su bicicleta 20 millas en un viento en contra de 3 mph en la misma cantidad de tiempo que puede recorrer 30 millas con un viento de cola de 3 mph. ¿Cuál es la velocidad de ciclismo de Link?
- Contestar
-
La velocidad de ciclismo de Link es de 15 mph.
Danica puede navegar su bote 5 millas en un viento en contra de 7 mph en la misma cantidad de tiempo que puede navegar 12 millas con un viento de cola de 7 mph. ¿Cuál es la velocidad del barco de Danica sin viento?
- Contestar
-
La velocidad del barco de Danica es de 17 mph.
En el siguiente ejemplo, conoceremos el tiempo total resultante de recorrer diferentes distancias a diferentes velocidades.
Jazmine entrenó durante 3 horas el sábado. Corrió 8 millas y luego viajó en bicicleta 24 millas. Su velocidad de ciclismo es 4 mph más rápida que su velocidad de carrera. ¿Cuál es su velocidad de carrera?
Solución
Esta es una situación de movimiento uniforme. Un diagrama nos ayudará a visualizar la situación.
Rellenamos la tabla para organizar la información. Estamos buscando la velocidad de carrera de Jazmine. \(r\)Let= La velocidad de carrera de Jazmine.
Su velocidad de ciclismo es 4 millas más rápida que su velocidad de carrera. \(r + 4\)= su velocidad en bicicleta
Se dan las distancias, ingréselas en el gráfico. Ya que\(D=r \cdot t\), resolvemos para\(t\) y obtenemos\(t=\dfrac{D}{r}\).Dividimos la distancia por la tasa en cada fila, y colocamos la expresión en la columna de tiempo.
| Tasa\(\cdot\) Tiempo = Distancia | |||
|---|---|---|---|
| Run | \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r\) | \(\dfrac{8}{r}\) | 8 |
| Bici | \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia">\(r+4\) | \(\dfrac{24}{r+4}\) | 24 |
| \ (\ cdot\) Tiempo = Distancia"> | 3 | ||
Escribe una frase de palabras: Su tiempo más el tiempo en bicicleta es de 3 horas.
Traduzca la oración para obtener la ecuación.
\[\dfrac{8}{r}+\dfrac{24}{r+4}=3 \nonumber \]
Resolver.
\ [\ comenzar {alineado}
r (r+4)\ izquierda (\ dfrac {8} {r} +\ dfrac {24} {r+4}\ derecha) &=3\ cdot r (r+4)\
8 (r+4) +24 r &=3 r (r+4)\
8 r+32+24 r &=3 r^ {2} +12 r\
32+32 r &=3 r^ {2} +12 r\\
0 &=3 r^ {2} -20 r-32\\
0 & =( 3 r+ 4) (r-8)
\ final {alineado}\ nonumber\]
\[\begin{array}{lc} {(3 r+4)=0} & {(r-8)=0} \\ \cancel{r=\dfrac{4}{3}} \quad & {r=8} \end{array} \nonumber \]
Cheque.
Una velocidad negativa no tiene sentido en este problema, así\(r=8\) es la solución.
¿8 mph es una velocidad de carrera razonable? Sí.
Si la tasa de carrera de Jazmine es de 4, entonces su tasa de ciclismo\(r+4\),, que es\(8+4=12\).
\[\text { Run } 8 \mathrm{mph} \quad \dfrac{8 \mathrm{miles}}{8 \mathrm{mph}}=1 \text { hour } \nonumber \]
\[\text { Bike } 12 \text { mph } \quad \dfrac{24 \text { miles }}{12 \mathrm{mph}}=2 \text { hours } \nonumber \]
\(y=\dfrac{k}{x}\)