9.8: Funciones cuadráticas de gráficas usando transformaciones

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Gráfica las funciones cuadráticas de la forma$f(x)=x^{2}+k$
• Gráfica las funciones cuadráticas de la forma$f(x)=(x−h)^{2}$
• Gráfica las funciones cuadráticas de la forma$f(x)=ax^{2}$
• Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones
• Encuentra una función cuadrática a partir de su gráfica

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Grafica la función$f(x)=x^{2}$ trazando puntos.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.54.
2. Factor completamente:$y^{2}−14y+49$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.24.
3. Factor completamente:$2x^{2}−16x+32$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.26.

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma$f(x)=x^{2}+k$

En la última sección aprendimos a graficar funciones cuadráticas usando sus propiedades. Otro método consiste en comenzar con la gráfica básica$f(x)=x^{2}$ y 'moverla' de acuerdo con la información dada en la ecuación de la función. A esto lo llamamos graficar funciones cuadráticas usando transformaciones.

En el primer ejemplo, graficaremos la función cuadrática$f(x)=x^{2}$ trazando puntos. Entonces veremos qué efecto sumando una constante,$k$, a la ecuación tendrá sobre la gráfica de la nueva función$f(x)=x^{2}+k$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Gráfica$f(x)=x^{2}$,$g(x)=x^{2}+2$, y$h(x)=x^{2}−2$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Solución:

Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la$f(x)=x^{2}$ gráfica básica. Rellenamos la tabla para las tres funciones.

Figura 9.7.1

Los$g(x)$ valores son dos más que los$f(x)$ valores. Además, los$h(x)$ valores son dos menores que los$f(x)$ valores. Ahora vamos a graficar las tres funciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 9.7.2

La gráfica de$g(x)=x^{2}+2$ es la misma que la gráfica de$2$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia arriba.

La gráfica de$h(x)=x^{2}−2$ es la misma que la gráfica de$2$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia abajo.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

1. Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+1,$ y$h(x)=x^{2}-1$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

a.

Figura 9.7.3

b. La gráfica de$g(x)=x^{2}+1$ es la misma que la gráfica de la$1$ unidad$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia arriba. La gráfica de$h(x)=x^{2}−1$ es la misma que la gráfica de la$1$ unidad$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia abajo.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

1. Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+6,$ y$h(x)=x^{2}-6$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

a.

Figura 9.7.4

b. La gráfica de$h(x)=x^{2}+6$ es la misma que la gráfica de$6$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas hacia arriba. La gráfica de$h(x)=x^{2}-6$ es la misma que la gráfica de$6$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia abajo.

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=x^{2}+k$, tomamos la gráfica de parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y la desplazamos verticalmente hacia arriba$(k>0)$ o hacia abajo$(k<0)$.

A esta transformación se le llama desplazamiento vertical.

Graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=x^{2}+k$ usando un desplazamiento vertical

La gráfica de$f(x)=x^{2}+k$ desplaza la gráfica de$k$ unidades$f(x)=x^{2}$ verticalmente.

• Si$k>0$, desvía la parábola verticalmente hacia arriba$k$ unidades.
• Si$k<0$, desvía la parábola verticalmente hacia abajo$|k|$ unidades.

Ahora que hemos visto el efecto de la constante,$k$, es fácil graficar funciones de la forma$f(x)=x^{2}+k$. Simplemente comenzamos con la parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y luego la cambiamos hacia arriba o hacia abajo.

Puede ser útil practicar el bosquejo$f(x)=x^{2}$ rápidamente. Conocemos los valores y podemos esbozar la gráfica a partir de ahí.

Figura 9.7.5

Una vez que conocemos esta parábola, será fácil aplicar las transformaciones. El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento vertical.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Gráfica$f(x)=x^{2}−3$ usando un desplazamiento vertical.

Solución:

Cuadro 9.7.1

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.
Determinar$k$.
Desplazar la gráfica$f(x)=x^{2}$ hacia abajo$3$.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Gráfica$f(x)=x^{2}−5$ usando un desplazamiento vertical.

Contestar

Figura 9.7.10

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Gráfica$f(x)=x^{2}+7$ usando un desplazamiento vertical.

Contestar

Figura 9.7.11

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma$f(x)=(x-h)^{2}$

En el primer ejemplo, graficamos la función cuadrática$f(x)=x^{2}$ trazando puntos y luego vimos el efecto de agregar una constante$k$ a la función que tuvo en la gráfica resultante de la nueva función$f(x)=x^{2}+k$.

Ahora exploraremos el efecto de restar una constante,$h$, de$x$ has en la gráfica resultante de la nueva función$f(x)=(x−h)^{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=(x-1)^{2},$ y$h(x)=(x+1)^{2}$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Solución:

Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la$f(x)=x^{2}$ gráfica básica. Rellenamos la tabla para las tres funciones.

Figura 9.7.12

Los$g(x)$ valores y los$h(x)$ valores comparten los números comunes$0, 1, 4, 9$, y$16$, pero se desplazan.

Figura 9.7.13

Figura 9.7.14

Ejercicio$\PageIndex{5}$

1. Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=(x+2)^{2},$ y$h(x)=(x-2)^{2}$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

a.

Figura 9.7.15

b. La gráfica de$g(x)=(x+2)^{2}$ es la misma que la gráfica de$2$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas a la izquierda. La gráfica de$h(x)=(x−2)^{2}$ es la misma que la gráfica de$f(x)=x^{2}$ pero desplazan las$2$ unidades a la derecha.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

1. Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+5,$ y$h(x)=x^{2}-5$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
2. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

a.

Figura 9.7.16

b. La gráfica de$g(x)=(x+5)^{2}$ es la misma que la gráfica de$5$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas a la izquierda. La gráfica de$h(x)=(x-5)^{2}$ es la misma que la gráfica de$5$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas a la derecha.

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=(x−h)^{2}$, tomamos la gráfica de parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y la desplazamos hacia la izquierda$(h>0)$ o la desplazamos hacia la derecha$(h<0)$.

A esta transformación se le llama un desplazamiento horizontal.

Graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=(x-h)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal

La gráfica de$f(x)=(x-h)^{2}$ desplaza la gráfica de$h$ unidades$f(x)=x^{2}$ horizontalmente.

• Si$h>0$, desvía la parábola horizontalmente a la izquierda$h$ unidades.
• Si$h<0$, cambie la parábola horizontalmente a la derecha$|h|$ unidades.

Ahora que hemos visto el efecto de la constante,$h$, es fácil graficar funciones de la forma$f(x)=(x−h)^{2}$. Simplemente comenzamos con la parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y luego la desplazamos hacia la izquierda o hacia la derecha.

El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento horizontal.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Gráfica$f(x)=(x−6)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal.

Solución:

Cuadro 9.7.2

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.
Determinar$h$.
Desplazar la gráfica$f(x)=x^{2}$ a las$6$ unidades correctas.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Gráfica$f(x)=(x−4)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal.

Contestar

Figura 9.7.21

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Gráfica$f(x)=(x+6)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal.

Contestar

Figura 9.7.22

Ahora que conocemos el efecto de las constantes$h$ y$k$, graficaremos una función cuadrática de la forma$f(x)=(x-h)^{2}+k$ dibujando primero la parábola básica y luego haciendo un desplazamiento horizontal seguido de un desplazamiento vertical. Podríamos hacer el desplazamiento vertical seguido del desplazamiento horizontal, pero la mayoría de los estudiantes prefieren el desplazamiento horizontal seguido del vertical.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Gráfica$f(x)=(x+1)^{2}-2$ usando transformaciones.

Solución:

Esta función implicará dos transformaciones y necesitamos un plan.

Primero identifiquemos las constantes$h, k$.

Figura 9.7.23

La$h$ constante nos da un desplazamiento horizontal y el nos$k$ da un desplazamiento vertical.

Figura 9.7.24

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.

Figura 9.7.25

Figura 9.7.26

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Gráfica$f(x)=(x+2)^{2}-3$ usando transformaciones.

Contestar

Figura 9.7.27

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Gráfica$f(x)=(x-3)^{2}+1$ usando transformaciones.

Contestar

Figura 9.7.28

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma$f(x)=ax^{2}$

Hasta ahora graficamos la función cuadrática$f(x)=x^{2}$ y luego vimos el efecto de incluir una constante$h$ o$k$ en la ecuación que tuvo en la gráfica resultante de la nueva función. Ahora exploraremos el efecto del coeficiente$a$ en la gráfica resultante de la nueva función$f(x)=ax^{2}$.

Figura 9.7.29

Si graficamos estas funciones, podemos ver el efecto de la constante$a$, asumiendo$a>0$.

Figura 9.7.30

Para graficar una función con constante$a$ es más fácil elegir algunos puntos$f(x)=x^{2}$ y multiplicar los$y$ -valores por$a$.

Gráfica de una función cuadrática de la forma$f(x)=ax^{2}$

El coeficiente$a$ en la función$f(x)=ax^{2}$ afecta a la gráfica de$f(x)=x^{2}$ estirándola o comprimiéndola.

• Si$0<|a|<1$, la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más ancha” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.
• Si$|a|>1$, la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más flaca” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Gráfica$f(x)=3x^{2}$.

Solución:

Vamos a graficar las funciones$f(x)=x^{2}$ y$g(x)=3x^{2}$ en la misma cuadrícula. Vamos a elegir algunos puntos sobre$f(x)=x^{2}$ y luego multiplicar los$y$ -valores por$3$ para obtener los puntos para$g(x)=3x^{2}$.

Figura 9.7.31

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Gráfica$f(x)=-3x^{2}$.

Contestar

Figura 9.7.32

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Gráfica$f(x)=2x^{2}$.

Contestar

Figura 9.7.33

Gráfica funciones cuadráticas usando transformaciones

Hemos aprendido cómo las constantes$a, h$, y$k$ en las funciones,$f(x)=x^{2}+k, f(x)=(x−h)^{2}$, y$f(x)=ax^{2}$ afectan sus gráficas. Ahora podemos armar esto y graficar las funciones$f(x)=ax^{2}+bx+c$ cuadráticas poniéndolas primero en el formulario$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ completando el cuadrado. Esta forma a veces se conoce como la forma de vértice o forma estándar.

Debemos tener cuidado de sumar y restar el número al MISMO lado de la función para completar el cuadrado. No podemos sumar el número a ambos lados como lo hicimos cuando completamos el cuadrado con ecuaciones cuadráticas.

Figura 9.7.34

Cuando completamos el cuadrado en una función con un coeficiente de$x^{2}$ que no es uno, tenemos que facturar ese coeficiente solo desde los$x$ -términos. No lo facticamos desde el término constante. A menudo es útil mover el término constante un poco hacia la derecha para que sea más fácil enfocarse solo en los$x$ términos.

Una vez que obtenemos la constante queremos completar el cuadrado, debemos recordar multiplicarlo por ese coeficiente antes de luego restarlo.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Reescribir$f(x)=−3x^{2}−6x−1$ en el$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ formulario completando el cuadrado.

Solución:

Cuadro 9.7.3

Separar los$x$ términos de la constante.
Facturar el coeficiente de$x^{2}, -3$.
Prepárense para completar la plaza.
Toma la mitad$2$ y luego cuadrázala para completar el cuadrado$(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$
La constante$1$ completa el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por$-3$. Entonces realmente estamos agregando$-3$. Debemos entonces sumar$3$ para no cambiar el valor de la función.
Reescribe el trinomio como un cuadrado y resta las constantes.
La función se encuentra ahora en la$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Reescribir$f(x)=−4x^{2}−8x+1$ en el$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ formulario completando el cuadrado.

Contestar

$f(x)=-4(x+1)^{2}+5$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Reescribir$f(x)=2x^{2}−8x+3$ en el$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ formulario completando el cuadrado.

Contestar

$f(x)=2(x-2)^{2}-5$

Una vez que ponemos la función en la$f(x)=(x−h)^{2}+k$ forma, entonces podemos usar las transformaciones como hicimos en los últimos problemas. El siguiente ejemplo nos mostrará cómo hacer esto.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Gráfica$f(x)=x^{2}+6x+5$ mediante transformaciones.

Solución:

Paso 1: Reescribe la función en forma de$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ vértice completando el cuadrado.

Cuadro 9.7.4

Separar los$x$ términos de la constante.
Toma la mitad$6$ y luego cuadrácala para completar el cuadrado. $(\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9$
Ambos sumamos$9$ y restamos$9$ para no cambiar el valor de la función.
Reescribe el trinomio como un cuadrado y resta las constantes.
La función se encuentra ahora en la$f(x)=(x-h)^{2}+k$ forma.

Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

Al observar los$h, k$ valores, vemos que la gráfica tomará la gráfica de$f(x)=x^{2}$ y la desplazará hacia las$3$ unidades de la izquierda y hacia abajo$4$.

Figura 9.7.47

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.

Figura 9.7.48

Figura 9.7.49

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Gráfica$f(x)=x^{2}+2x-3$ mediante transformaciones.

Contestar

Figura 9.7.50

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Gráfica$f(x)=x^{2}-8x+12$ mediante transformaciones.

Contestar

Figura 9.7.51

Aquí enumeramos los pasos para tomar una gráfica una función cuadrática usando transformaciones.

Graficar una función cuadrática usando transformaciones

1. Reescribe la función en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma completando el cuadrado.
2. Grafica la función usando transformaciones.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Gráfica$f(x)=-2x^{2}-4x+2$ mediante transformaciones.

Solución:

Paso 1: Reescribe la función en forma de$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ vértice completando el cuadrado.

Cuadro 9.7.5

Separar los$x$ términos de la constante.
Necesitamos el coeficiente de$x^{2}$ ser uno. Nosotros facetamos$-2$ a partir de los$x$ -términos.
Toma la mitad$2$ y luego cuadrácala para completar el cuadrado. $(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$
Agregamos$1$ para completar el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por$-2$. Entonces realmente estamos agregando$-2$. Para no cambiar el valor de la función agregamos$2$.
Reescribir el trinomio como un anuncio cuadrado restar las constantes.
La función se encuentra ahora en la$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma.

Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

Figura 9.7.58

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.

Figura 9.7.59

Figura 9.7.60

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Gráfica$f(x)=-3x^{2}+12x-4$ mediante transformaciones.

Contestar

Figura 9.7.61

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Gráfica$f(x)=−2x^{2}+12x−9$ mediante transformaciones.

Contestar

Figura 9.7.62

Ahora que hemos completado el cuadrado para poner una función cuadrática en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma, también podemos utilizar esta técnica para graficar la función usando sus propiedades como en la sección anterior.

Si miramos hacia atrás a los últimos ejemplos, vemos que el vértice está relacionado con las constantes$h$ y$k$.

Figura 9.7.63

En cada caso, el vértice es$(h,k)$. También el eje de simetría es la línea$x=h$.

Reescribimos nuestros pasos para graficar una función cuadrática usando propiedades para cuando la función está en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma.

Graficar una función cuadrática en el formulario$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ usando propiedades

1. Reescribe el$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ formulario de función.
2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba$a>0$, o hacia abajo,$a<0$.
3. Encuentra el eje de simetría,$x=h$.
4. Encuentra el vértice,$(h,k$.
5. Encuentra la$y$ -intercepción. Encuentra el punto simétrico a la$y$ -intercepción a través del eje de simetría.
6. Encuentra las$x$ -intercepciones.
7. Grafica la parábola.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

1. Reescribir$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$ en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma
2. Graficar la función usando propiedades

Solución:

Cuadro 9.7.6

Reescribe la función en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma completando el cuadrado.	$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$
	$f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5$
	$f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2$
	$f(x)=2(x+1)^{2}+3$
Identificar las constantes$a, h, k$.	$a=2 h=-1 k=3$
Ya que$a=2$, la parábola se abre hacia arriba.
El eje de simetría es$x=h$.	El eje de simetría es$x=-1$.
El vértice es$(h,k)$.	El vértice es$(-1,3)$.
Encuentra la$y$ -intercepción encontrando$f(0)$.	$f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5$
	$f(0)=5$
	$y$-interceptar$(0,5)$
Encuentra el punto simétrico a$(0,5)$ través del eje de simetría.	$(-2,5)$
Encuentra las$x$ -intercepciones.	El discriminante es negativo, por lo que no hay$x$ -intercepciones. Grafica la parábola.

Ejercicio$\PageIndex{19}$

1. Reescribir$f(x)=3 x^{2}-6 x+5$ en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma
2. Graficar la función usando propiedades

Contestar

1. $f(x)=3(x-1)^{2}+2$
2. 
   
   Figura 9.7.66

Ejercicio$\PageIndex{20}$

1. Reescribir$f(x)=-2 x^{2}+8 x-7$ en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma
2. Graficar la función usando propiedades

Contestar

1. $f(x)=-2(x-2)^{2}+1$
2. 
   
   Figura 9.7.67

Encontrar una función cuadrática a partir de su gráfica

Hasta el momento hemos empezado con una función y luego encontramos su gráfica.

Ahora vamos a revertir el proceso. Comenzando con la gráfica, encontraremos la función.

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

Figura 9.7.68

Solución:

Al ser cuadrático, comenzamos con la$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma.

El vértice,$(h,k)$, es$(−2,−1)$ así$h=−2$ y$k=−1$.

$f(x)=a(x-(-2))^{2}-1$

Para encontrar$a$, usamos la$y$ -intercepción,$(0,7)$.

Entonces$f(0)=7$.

$7=a(0+2)^{2}-1$

Resolver para$a$.

$\begin{array}{l}{7=4 a-1} \\ {8=4 a} \\ {2=a}\end{array}$

Escribe la función.

$f(x)=a(x-h)^{2}+k$

Sustituto en$h=-2, k=-1$ y$a=2$.

$f(x)=2(x+2)^{2}-1$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Escribe la función cuadrática en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma cuya gráfica se muestra.

Figura 9.7.69

Contestar

$f(x)=(x-3)^{2}-4$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

Figura 9.7.70

Contestar

$f(x)=(x+3)^{2}-1$

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con gráficos de funciones cuadráticas usando transformaciones.

• Reglas de cambio de función aplicadas a funciones cuadráticas
• Cambio de una Forma Cuadrática de Forma Estándar a Forma de Vértice
• Uso de transformaciones para graficar funciones cuadráticas
• Encontrar la ecuación cuadrática en forma de vértice a partir de gráfica

Conceptos clave

• Graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=x^{2}+k$ usando un desplazamiento vertical
  • La gráfica de$f(x)=x^{2}+k$ desplaza la gráfica de$k$ unidades$f(x)=x^{2}$ verticalmente.
    • Si$k>0$, desvía la parábola verticalmente hacia arriba$k$ unidades.
    • Si$k<0$, desvía la parábola verticalmente hacia abajo$|k|$ unidades.
• Graficar una Función Cuadrática de la Forma$f(x)=(x−h)^{2}$ Usando un Desplazamiento Horizontal
  • La gráfica de$f(x)=(x−h)^{2}$ desplaza la gráfica de$h$ unidades$f(x)=x^{2}$ horizontalmente.
    • Si$h>0$, desvía la parábola horizontalmente a la izquierda$h$ unidades.
    • Si$h<0$, cambie la parábola horizontalmente a la derecha$|h|$ unidades.
• Gráfica de una función cuadrática de la forma$f(x)=ax^{2}$
  • El coeficiente$a$ en la función$f(x)=ax^{2}$ afecta a la gráfica de$f(x)=x^{2}$ estirándola o comprimiéndola.
    Si$0<|a|<1$, entonces la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más ancha” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.
    Si$|a|>1$, entonces la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más delgada” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.
• Cómo graficar una función cuadrática usando transformaciones
  1. Reescribe la función en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma completando el cuadrado.
  2. Grafica la función usando transformaciones.
• Graficar una función cuadrática en forma de vértice$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ usando propiedades
  1. Reescribe la función en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma.
  2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba$a>0$, o hacia abajo,$a<0$.
  3. Encuentra el eje de simetría,$x=h$.
  4. Encuentra el vértice,$(h,k)$.
  5. Encuentra la$y$ -intercepción. Encuentra el punto simétrico a la$y$ -intercepción a través del eje de simetría.
  6. Encuentra las$x$ -intercepciones, si es posible.
  7. Grafica la parábola.