9.8: Funciones cuadráticas de gráficas usando transformaciones

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Gráfica las funciones cuadráticas de la forma$f(x)=x^{2}+k$
Gráfica las funciones cuadráticas de la forma$f(x)=(x−h)^{2}$
Gráfica las funciones cuadráticas de la forma$f(x)=ax^{2}$
Graficar funciones cuadráticas usando transformaciones
Encuentra una función cuadrática a partir de su gráfica

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Grafica la función$f(x)=x^{2}$ trazando puntos.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 3.54.
Factor completamente:$y^{2}−14y+49$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.24.
Factor completamente:$2x^{2}−16x+32$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.26.

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma$f(x)=x^{2}+k$

En la última sección aprendimos a graficar funciones cuadráticas usando sus propiedades. Otro método consiste en comenzar con la gráfica básica$f(x)=x^{2}$ y 'moverla' de acuerdo con la información dada en la ecuación de la función. A esto lo llamamos graficar funciones cuadráticas usando transformaciones.

En el primer ejemplo, graficaremos la función cuadrática$f(x)=x^{2}$ trazando puntos. Entonces veremos qué efecto sumando una constante,$k$, a la ecuación tendrá sobre la gráfica de la nueva función$f(x)=x^{2}+k$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Gráfica$f(x)=x^{2}$,$g(x)=x^{2}+2$, y$h(x)=x^{2}−2$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Solución:

Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la$f(x)=x^{2}$ gráfica básica. Rellenamos la tabla para las tres funciones.

Una tabla que representa el efecto de las constantes sobre la función básica de x cuadrado. La tabla tiene siete columnas etiquetadas x, f de x es igual a x cuadrado, el par ordenado (x, f de x), g de x es igual a x cuadrado más 2, el par ordenado (x, g de x), h de x es igual a x cuadrado menos 2, y el par ordenado (x, h de x). En la columna x, los valores dados son negativo 3, negativo 2, negativo 1, 0, 1, 2 y 3. En la columna f de x es igual a x al cuadrado, los valores son 9, 4, 1, 0, 1, 4 y 9. En la columna (x, f de x) se dan los pares ordenados (negativo 3, 9), (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9). La columna g de x es igual a x al cuadrado más 2 contiene las expresiones 9 más 2, 4 más 2, 1 más 2, 0 más 2, 1 más 2, 4 más 2 y 9 más 2. La columna (x, g de x) tiene los pares ordenados de (negativo 3, 11), (negativo 2, 6), (negativo 1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6) y (3, 11). En la columna h de x es igual a x al cuadrado menos 2, las expresiones dadas son 9 menos 2, 4 menos 2, 1 menos 2, 0 menos 2, 1 menos 2, 4 menos 2 y 9 menos 2. En la última columna, (x, h de x), contiene los pares ordenados (negativo 3, 7), (negativo 2, 2), (negativo 1, negativo 1), (0, negativo 2), (1, negativo 1), (2, 2) y (3, 7). — Figura 9.7.1

Los$g(x)$ valores son dos más que los$f(x)$ valores. Además, los$h(x)$ valores son dos menores que los$f(x)$ valores. Ahora vamos a graficar las tres funciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.

Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. El medio es la gráfica de f de x es igual a x cuadrado tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La parábola superior se ha movido hacia arriba 2 unidades, y la parte inferior se ha movido hacia abajo 2 unidades. — Figura 9.7.2

La gráfica de$g(x)=x^{2}+2$ es la misma que la gráfica de$2$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia arriba.

La gráfica de$h(x)=x^{2}−2$ es la misma que la gráfica de$2$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia abajo.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+1,$ y$h(x)=x^{2}-1$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La gráfica media es de f de x es igual a x al cuadrado tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva superior se ha movido hacia arriba 1 unidad, y la parte inferior se ha movido hacia abajo 1 unidad. — Figura 9.7.3

b. La gráfica de$g(x)=x^{2}+1$ es la misma que la gráfica de la$1$ unidad$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia arriba. La gráfica de$h(x)=x^{2}−1$ es la misma que la gráfica de la$1$ unidad$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia abajo.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+6,$ y$h(x)=x^{2}-6$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva media es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva superior se ha movido hacia arriba 6 unidades, y la parte inferior se ha movido hacia abajo 6 unidades. — Figura 9.7.4

b. La gráfica de$h(x)=x^{2}+6$ es la misma que la gráfica de$6$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas hacia arriba. La gráfica de$h(x)=x^{2}-6$ es la misma que la gráfica de$6$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazada hacia abajo.

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=x^{2}+k$, tomamos la gráfica de parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y la desplazamos verticalmente hacia arriba$(k>0)$ o hacia abajo$(k<0)$.

A esta transformación se le llama desplazamiento vertical.

Graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=x^{2}+k$ usando un desplazamiento vertical

La gráfica de$f(x)=x^{2}+k$ desplaza la gráfica de$k$ unidades$f(x)=x^{2}$ verticalmente.

Si$k>0$, desvía la parábola verticalmente hacia arriba$k$ unidades.
Si$k<0$, desvía la parábola verticalmente hacia abajo$|k|$ unidades.

Ahora que hemos visto el efecto de la constante,$k$, es fácil graficar funciones de la forma$f(x)=x^{2}+k$. Simplemente comenzamos con la parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y luego la cambiamos hacia arriba o hacia abajo.

Puede ser útil practicar el bosquejo$f(x)=x^{2}$ rápidamente. Conocemos los valores y podemos esbozar la gráfica a partir de ahí.

Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y, con vértice (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 4, 16), (negativo 3, 9), (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (1, 1), (2, 4), (3, 9) y (4, 16). — Figura 9.7.5

Una vez que conocemos esta parábola, será fácil aplicar las transformaciones. El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento vertical.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Gráfica$f(x)=x^{2}−3$ usando un desplazamiento vertical.

Solución:

Cuadro 9.7.1
Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.	$Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y con un vértice de (0, 0) con otros puntos de la curva ubicados en (negativo 1, 1) y (1, 1). Es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado.$
Determinar$k$.	$.$
	$.$
Desplazar la gráfica$f(x)=x^{2}$ hacia abajo$3$.	$Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva superior es la gráfica de f de x es igual a x cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva inferior se ha movido hacia abajo 3 unidades.$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Gráfica$f(x)=x^{2}−5$ usando un desplazamiento vertical.

Contestar: $Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva superior es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva inferior se ha movido hacia abajo 5 unidades.$
Figura 9.7.10

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Gráfica$f(x)=x^{2}+7$ usando un desplazamiento vertical.

Contestar: $Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva inferior es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva superior se ha movido hacia arriba 7 unidades.$
Figura 9.7.11

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma$f(x)=(x-h)^{2}$

En el primer ejemplo, graficamos la función cuadrática$f(x)=x^{2}$ trazando puntos y luego vimos el efecto de agregar una constante$k$ a la función que tuvo en la gráfica resultante de la nueva función$f(x)=x^{2}+k$.

Ahora exploraremos el efecto de restar una constante,$h$, de$x$ has en la gráfica resultante de la nueva función$f(x)=(x−h)^{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=(x-1)^{2},$ y$h(x)=(x+1)^{2}$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Solución:

Trazar puntos nos ayudará a ver el efecto de las constantes en la$f(x)=x^{2}$ gráfica básica. Rellenamos la tabla para las tres funciones.

Una tabla que representa el efecto de las constantes sobre la función básica de x cuadrado. El cuadro tiene siete columnas etiquetadas x, f de x es igual a x cuadrado, el par ordenado (x, f de x), g de x es igual a la cantidad de x menos 1 cuadrado, el par ordenado (x, g de x), h de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado, y el par ordenado (x, h de x). En la columna x, los valores dados son negativo 3, negativo 2, negativo 1, 0, 1, 2 y 3. En la columna f de x es igual a x al cuadrado, los valores son 9, 4, 1, 0, 1, 4 y 9. En la columna (x, f de x) se dan los pares ordenados (negativo 3, 9), (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9). La g de x es igual a la cantidad de x menos 1 columna cuadrada contiene los valores de 16, 9, 4, 1, 0, 1 y 4. La columna (x, g de x) tiene los pares ordenados de (negativo 3, 1), (negativo 2, 9), (negativo 1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1) y (3, 4). En la h de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado, los valores dados son 4, 1, 0, 1, 4, 9 y 16. En la última columna, (x, h de x), contiene los pares ordenados (negativo 3, 4), (negativo 2, 1), (negativo 1, 0), (0, 4), (1, negativo 1), (2, 9) y (3, 16). — Figura 9.7.12

Los$g(x)$ valores y los$h(x)$ valores comparten los números comunes$0, 1, 4, 9$, y$16$, pero se desplazan.

La cifra dice en la primera línea que la gráfica de g de x es igual a la cantidad x menos 1 cuadrado es la misma que la gráfica de f de x es igual a x cuadrado pero desplazada a la derecha 1 unidad. La segunda línea establece que la gráfica de h de x es igual a la cantidad x más 1 cuadrado es la misma que la gráfica de f de x es igual a x cuadrada pero desplazada a la izquierda 1 unidad. La tercera línea de la figura dice g de x es igual a la cantidad x menos 1 cuadrado con una flecha debajo de ella apuntando a la derecha con 1 unidad escrita al lado de ella. Finalmente, da h de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado con una flecha debajo de ella apuntando a la izquierda con 1 unidad escrita al lado de ella. — Figura 9.7.14

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=(x+2)^{2},$ y$h(x)=(x-2)^{2}$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

b. La gráfica de$g(x)=(x+2)^{2}$ es la misma que la gráfica de$2$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas a la izquierda. La gráfica de$h(x)=(x−2)^{2}$ es la misma que la gráfica de$f(x)=x^{2}$ pero desplazan las$2$ unidades a la derecha.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Gráfica$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+5,$ y$h(x)=x^{2}-5$ en el mismo sistema de coordenadas rectangulares.
Describir qué efecto tiene la adición de una constante a la función sobre la parábola básica.

Contestar

b. La gráfica de$g(x)=(x+5)^{2}$ es la misma que la gráfica de$5$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas a la izquierda. La gráfica de$h(x)=(x-5)^{2}$ es la misma que la gráfica de$5$ unidades$f(x)=x^{2}$ pero desplazadas a la derecha.

El último ejemplo nos muestra que para graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=(x−h)^{2}$, tomamos la gráfica de parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y la desplazamos hacia la izquierda$(h>0)$ o la desplazamos hacia la derecha$(h<0)$.

A esta transformación se le llama un desplazamiento horizontal.

Graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=(x-h)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal

La gráfica de$f(x)=(x-h)^{2}$ desplaza la gráfica de$h$ unidades$f(x)=x^{2}$ horizontalmente.

Si$h>0$, desvía la parábola horizontalmente a la izquierda$h$ unidades.
Si$h<0$, cambie la parábola horizontalmente a la derecha$|h|$ unidades.

Ahora que hemos visto el efecto de la constante,$h$, es fácil graficar funciones de la forma$f(x)=(x−h)^{2}$. Simplemente comenzamos con la parábola básica de$f(x)=x^{2}$ y luego la desplazamos hacia la izquierda o hacia la derecha.

El siguiente ejemplo requerirá un desplazamiento horizontal.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Gráfica$f(x)=(x−6)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal.

Solución:

Cuadro 9.7.2
Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.	$.$
Determinar$h$.	$.$
	$.$
Desplazar la gráfica$f(x)=x^{2}$ a las$6$ unidades correctas.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Gráfica$f(x)=(x−4)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal.

Contestar: $Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva izquierda es la gráfica de f de x es igual a x cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva derecha se ha movido a la derecha 4 unidades.$
Figura 9.7.21

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Gráfica$f(x)=(x+6)^{2}$ usando un desplazamiento horizontal.

Contestar: $Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva derecha es la gráfica de f de x es igual a x cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva izquierda se ha movido hacia la izquierda 6 unidades.$
Figura 9.7.22

Ahora que conocemos el efecto de las constantes$h$ y$k$, graficaremos una función cuadrática de la forma$f(x)=(x-h)^{2}+k$ dibujando primero la parábola básica y luego haciendo un desplazamiento horizontal seguido de un desplazamiento vertical. Podríamos hacer el desplazamiento vertical seguido del desplazamiento horizontal, pero la mayoría de los estudiantes prefieren el desplazamiento horizontal seguido del vertical.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Gráfica$f(x)=(x+1)^{2}-2$ usando transformaciones.

Solución:

Esta función implicará dos transformaciones y necesitamos un plan.

Primero identifiquemos las constantes$h, k$.

F de x es igual a la cantidad x peluche 1 cuadrado menos 2 se da en la línea superior con f de x es igual a la cantidad x menos h minis k al cuadrado en la segunda línea. La ecuación dada se cambió a f de x es igual a la cantidad de x menos negativo 1 peluche cuadrado negativo 2 en la tercera línea. La línea final dice que h es igual a negativo 1 y k es igual a negativo 2. — Figura 9.7.23

La$h$ constante nos da un desplazamiento horizontal y el nos$k$ da un desplazamiento vertical.

F de x es igual a x cuadrado se da con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado menos 2. Las siguientes líneas dicen que h es igual a negativo 1 lo que significa desplazamiento a la izquierda 1 unidad y k es igual a negativo 2 lo que significa desplazamiento hacia abajo 2 unidades. — Figura 9.7.24

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.

La cifra dice en la primera línea que la gráfica de f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado es la misma que la gráfica de f de x es igual a x cuadrada pero desplazada a la izquierda 1 unidad. La segunda línea establece que la gráfica de f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado menos 2 es la misma que la gráfica de f de x es igual a la cantidad x más 1 al cuadrado pero desplazada hacia abajo 2 unidades. — Figura 9.7.25

La primera gráfica muestra 1 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Es la gráfica de f de x es igual a x cuadrada la cual tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). Al desplazar esa gráfica de f de x es igual a x cuadrada izquierda 1, pasamos a la siguiente gráfica, que muestra la f original de x es igual a x cuadrada y luego otra curva se movió a la izquierda una unidad para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 al cuadrado. Al mover f de x es igual a la cantidad de x más 1 al cuadrado hacia abajo 1, pasamos a la gráfica final, que muestra la f original de x es igual a x al cuadrado y la f de x es igual a la cantidad de x más 1, luego otra curva se movió hacia abajo 1 para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 al cuadrado menos 2. — Figura 9.7.26

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Gráfica$f(x)=(x+2)^{2}-3$ usando transformaciones.

Contestar: $Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). Entonces, la función original se mueve 2 unidades a la izquierda para producir f de x es igual a la cantidad de x más 2 al cuadrado. La curva final se produce bajando 3 unidades para producir f de x es igual a la cantidad de x más 2 al cuadrado menos 3.$
Figura 9.7.27

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Gráfica$f(x)=(x-3)^{2}+1$ usando transformaciones.

Contestar: $Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). Entonces, la función original se mueve 3 unidades a la derecha para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 3 al cuadrado. La curva final se produce moviendo hacia arriba 1 unidad para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 3cuadrado más 1.$
Figura 9.7.28

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma$f(x)=ax^{2}$

Hasta ahora graficamos la función cuadrática$f(x)=x^{2}$ y luego vimos el efecto de incluir una constante$h$ o$k$ en la ecuación que tuvo en la gráfica resultante de la nueva función. Ahora exploraremos el efecto del coeficiente$a$ en la gráfica resultante de la nueva función$f(x)=ax^{2}$.

Si graficamos estas funciones, podemos ver el efecto de la constante$a$, asumiendo$a>0$.

Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva más delgada de g de x es igual a 2 veces x cuadrado tiene un vértice en (0,0) y otros puntos de (negativo 1, medio) y (1, medio). La curva más ancha, h de x es igual a medio x cuadrado, tiene un vértice en (0,0) y otros puntos de (negativo 2, 2) y (2,2). — Figura 9.7.30

Para graficar una función con constante$a$ es más fácil elegir algunos puntos$f(x)=x^{2}$ y multiplicar los$y$ -valores por$a$.

Gráfica de una función cuadrática de la forma$f(x)=ax^{2}$

El coeficiente$a$ en la función$f(x)=ax^{2}$ afecta a la gráfica de$f(x)=x^{2}$ estirándola o comprimiéndola.

Si$0<|a|<1$, la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más ancha” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.
Si$|a|>1$, la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más flaca” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Gráfica$f(x)=3x^{2}$.

Solución:

Vamos a graficar las funciones$f(x)=x^{2}$ y$g(x)=3x^{2}$ en la misma cuadrícula. Vamos a elegir algunos puntos sobre$f(x)=x^{2}$ y luego multiplicar los$y$ -valores por$3$ para obtener los puntos para$g(x)=3x^{2}$.

La tabla representa el efecto de las constantes sobre la función básica de x cuadrado. La tabla tiene 3 columnas etiquetadas x, f de x es igual a x al cuadrado con el par ordenado (x, f de x), y g de x es igual a 3 veces x al cuadrado con el par ordenado (x, g de x). En la columna x, los valores dados son negativos 2, negativos 1, 0, 1 y 2. En la f de x es igual a x al cuadrado con el par ordenado (x, f de x), se dan los pares ordenados (negativo 2, 4), (negativo 1, 1), (0, 0), (1, 1) y (2, 4). El g de x es igual a 3 veces x al cuadrado con el par ordenado (x, g de x) columna tiene los pares ordenados de (negativo 2, 12) porque 3 veces 4 es igual a 12, (negativo 1, 3) porque 3 veces 1 es igual a 3, (0, 0) porque 3 veces 0 es igual a 0, (1, 3) porque 3 veces 1 es igual a 3, y (2,12) porque 3 veces 4 es igual a 12. La gráfica al lado de la tabla muestra 2 parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos dados en la curva se ubican en (negativo 2, 4) (negativo 1, 1), (1, 1) y (2,4). La curva más delgada de g de x es igual a 3 veces x cuadrado tiene un vértice en (0,0) y otros puntos dados de (negativo 2, 12), (negativo 1, 3), (1, 3) y (2,12). — Figura 9.7.31

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Gráfica$f(x)=-3x^{2}$.

Contestar: $La gráfica muestra la parábola de apertura hacia arriba en el plano de coordenadas x y de f de x es igual a x cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos dados en la curva se ubican en (negativo 2, 4) (negativo 1, 1), (1, 1) y (2,4). También se muestra una parábola de apertura hacia abajo de f de x es igual a negativo 3 veces x cuadrado. Tiene un vértice de (0,0) con otros puntos en (negativo 1, negativo 3) y (1, negativo 3)$
Figura 9.7.32

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Gráfica$f(x)=2x^{2}$.

Contestar: $Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva más delgada de f de x es igual a 2 veces x cuadrado tiene un vértice en (0,0) y otros puntos de (negativo 1, medio) y (1, medio).$
Figura 9.7.33

Gráfica funciones cuadráticas usando transformaciones

Hemos aprendido cómo las constantes$a, h$, y$k$ en las funciones,$f(x)=x^{2}+k, f(x)=(x−h)^{2}$, y$f(x)=ax^{2}$ afectan sus gráficas. Ahora podemos armar esto y graficar las funciones$f(x)=ax^{2}+bx+c$ cuadráticas poniéndolas primero en el formulario$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ completando el cuadrado. Esta forma a veces se conoce como la forma de vértice o forma estándar.

Debemos tener cuidado de sumar y restar el número al MISMO lado de la función para completar el cuadrado. No podemos sumar el número a ambos lados como lo hicimos cuando completamos el cuadrado con ecuaciones cuadráticas.

Esta figura muestra la diferencia al completar el cuadrado con una ecuación cuadrática y una función cuadrática. Para la ecuación cuadrática, comience con x al cuadrado más 8 veces x más 6 es igual a cero. Restar 6 de ambos lados para obtener x al cuadrado más 8 veces x es igual a 6 negativo mientras se deja espacio para completar el cuadrado. Luego, completa el cuadrado agregando 16 a ambos lados para obtener x felpa cuadrada 8 veces x felpa 16 es igual a negativo 6 felpa 16. Factor para obtener la cantidad x más 4 al cuadrado es igual a 10. Para la función cuadrática, comience con f de x es igual a x cuadrado más 8 veces x más 6. La segunda línea muestra dejar espacio entre los 8 tiempos x y los 6 con el fin de completar el cuadrado. Completa el cuadrado sumando 16 y restando 16 en el mismo lado para obtener f de x es igual a x cuadrado más 8 veces x felpa 16 más 6 menos 16. Factor para obtener f de x es igual a la cantidad de x felpa 4 al cuadrado menos 10. — Figura 9.7.34

Cuando completamos el cuadrado en una función con un coeficiente de$x^{2}$ que no es uno, tenemos que facturar ese coeficiente solo desde los$x$ -términos. No lo facticamos desde el término constante. A menudo es útil mover el término constante un poco hacia la derecha para que sea más fácil enfocarse solo en los$x$ términos.

Una vez que obtenemos la constante queremos completar el cuadrado, debemos recordar multiplicarlo por ese coeficiente antes de luego restarlo.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Reescribir$f(x)=−3x^{2}−6x−1$ en el$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ formulario completando el cuadrado.

Solución:

Cuadro 9.7.3
	$.$
Separar los$x$ términos de la constante.	$.$
Facturar el coeficiente de$x^{2}, -3$.	$.$
Prepárense para completar la plaza.	$.$
Toma la mitad$2$ y luego cuadrázala para completar el cuadrado$(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$
La constante$1$ completa el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por$-3$. Entonces realmente estamos agregando$-3$. Debemos entonces sumar$3$ para no cambiar el valor de la función.	$.$
Reescribe el trinomio como un cuadrado y resta las constantes.	$.$
La función se encuentra ahora en la$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma.	$.$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Reescribir$f(x)=−4x^{2}−8x+1$ en el$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ formulario completando el cuadrado.

Contestar: $f(x)=-4(x+1)^{2}+5$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Reescribir$f(x)=2x^{2}−8x+3$ en el$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ formulario completando el cuadrado.

Contestar: $f(x)=2(x-2)^{2}-5$

Una vez que ponemos la función en la$f(x)=(x−h)^{2}+k$ forma, entonces podemos usar las transformaciones como hicimos en los últimos problemas. El siguiente ejemplo nos mostrará cómo hacer esto.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Gráfica$f(x)=x^{2}+6x+5$ mediante transformaciones.

Solución:

Paso 1: Reescribe la función en forma de$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ vértice completando el cuadrado.

Cuadro 9.7.4
	$.$
Separar los$x$ términos de la constante.	$.$
Toma la mitad$6$ y luego cuadrácala para completar el cuadrado. $(\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9$
Ambos sumamos$9$ y restamos$9$ para no cambiar el valor de la función.	$.$
Reescribe el trinomio como un cuadrado y resta las constantes.	$.$
La función se encuentra ahora en la$f(x)=(x-h)^{2}+k$ forma.	$.$

Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

Al observar los$h, k$ valores, vemos que la gráfica tomará la gráfica de$f(x)=x^{2}$ y la desplazará hacia las$3$ unidades de la izquierda y hacia abajo$4$.

F de x es igual a x cuadrado se da con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado menos 4. Las siguientes líneas dicen que h es igual a negativo 3 lo que significa desplazamiento a la izquierda 3 unidad y k es igual a negativo 4 lo que significa desplazamiento hacia abajo 4 unidades — Figura 9.7.47

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.

Para graficar f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado, desplaza la gráfica de f de x es igual a x cuadrados a la izquierda 3 unidades. Para graficar f de x es igual a la cantidad x más 3 al cuadrado menos 4, desplaza la gráfica la cantidad x más 3 al cuadrado hacia abajo 4 unidades. — Figura 9.7.48

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Gráfica$f(x)=x^{2}+2x-3$ mediante transformaciones.

Contestar: $Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva a la izquierda se ha movido 1 unidad a la izquierda para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado. La tercera gráfica se ha movido hacia abajo 4 unidades para producir f de x es igual a la cantidad de x más 1 cuadrado menos 4.$
Figura 9.7.50

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Gráfica$f(x)=x^{2}-8x+12$ mediante transformaciones.

Contestar: $Esta figura muestra 3 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. Una es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado y tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva a la derecha se ha movido 4 unidades a la derecha para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 4 al cuadrado. La tercera gráfica se ha movido hacia abajo 4 unidades para producir f de x es igual a la cantidad de x menos 4 al cuadrado menos 4.$
Figura 9.7.51

Aquí enumeramos los pasos para tomar una gráfica una función cuadrática usando transformaciones.

Graficar una función cuadrática usando transformaciones

Reescribe la función en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma completando el cuadrado.
Grafica la función usando transformaciones.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Gráfica$f(x)=-2x^{2}-4x+2$ mediante transformaciones.

Solución:

Paso 1: Reescribe la función en forma de$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ vértice completando el cuadrado.

Cuadro 9.7.5
	$.$
Separar los$x$ términos de la constante.	$.$
Necesitamos el coeficiente de$x^{2}$ ser uno. Nosotros facetamos$-2$ a partir de los$x$ -términos.	$.$
Toma la mitad$2$ y luego cuadrácala para completar el cuadrado. $(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$
Agregamos$1$ para completar el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por$-2$. Entonces realmente estamos agregando$-2$. Para no cambiar el valor de la función agregamos$2$.	$.$
Reescribir el trinomio como un anuncio cuadrado restar las constantes.	$.$
La función se encuentra ahora en la$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma.	$.$

Paso 2: Grafica la función usando transformaciones.

F de x es igual a x cuadrado se da con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a negativo 2 veces x al cuadrado con una flecha que viene de ella apuntando a f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 al cuadrado. Una flecha viene de ella al punto a f de x equivale a negativo 2 veces la cantidad x más 1 al cuadrado más 4. La siguiente línea dice a es igual a negativo 2 lo que significa multiplicar los valores y por negativo 2, luego h es igual a negativo 1 lo que significa desplazamiento a la izquierda 1 unidad y k es igual a 4 lo que significa desplazar hacia arriba 4 unidades — Figura 9.7.58

Primero dibujamos la gráfica de$f(x)=x^{2}$ en la cuadrícula.

Para graficar f de x es igual a negativo 2 veces x cuadrado, multiplique los valores y en parábola de f de x es igual a x cuadrado por negativo 2. Para graficar f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 cuadrado, desplaza la gráfica de f de x igual a negativo 2 veces x cuadrado a la izquierda 1 unidad. Para graficar f de x es igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 al cuadrado más 4, desplaza la gráfica de f de x igual a negativo 2 veces la cantidad x más 1 al cuadrado 4 unidades. — Figura 9.7.59

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Gráfica$f(x)=-3x^{2}+12x-4$ mediante transformaciones.

Contestar: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo en el plano de la coordenada x y con un vértice de (2,8) y otros puntos de (1,5) y (3,5).$
Figura 9.7.61

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Gráfica$f(x)=−2x^{2}+12x−9$ mediante transformaciones.

Contestar: $Esta figura muestra una parábola de apertura hacia abajo en el plano de la coordenada x y con un vértice de (3, 9) y otros puntos de (1, 1) y (5, 1).$
Figura 9.7.62

Ahora que hemos completado el cuadrado para poner una función cuadrática en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma, también podemos utilizar esta técnica para graficar la función usando sus propiedades como en la sección anterior.

Si miramos hacia atrás a los últimos ejemplos, vemos que el vértice está relacionado con las constantes$h$ y$k$.

La primera gráfica muestra una parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y con un vértice de (negativo 3, negativo 4) con otros puntos de (0, negativo 5) y (0, negativo 1). Debajo de la gráfica, muestra la forma estándar de una parábola, f de x es igual a la cantidad x menos h al cuadrado más k, con la ecuación de la parábola f de x es igual a la cantidad de x más 3 al cuadrado menos 4 donde h es igual a negativo 3 y k es igual a negativo 4. La segunda gráfica muestra una parábola de apertura hacia abajo en el plano de la coordenada x y con un vértice de (negativo 1, 4) y otros puntos de (0,2) y (negativo 2,2). Debajo de la gráfica, se muestra la forma estándar de una parábola, f de x es igual a veces la cantidad x menos h al cuadrado más k, con la ecuación de la parábola f de x igual a negativo 2 veces la cantidad de x más 1 al cuadrado más 4 donde h es igual a negativo 1 y k es igual a 4. — Figura 9.7.63

En cada caso, el vértice es$(h,k)$. También el eje de simetría es la línea$x=h$.

Reescribimos nuestros pasos para graficar una función cuadrática usando propiedades para cuando la función está en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma.

Graficar una función cuadrática en el formulario$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ usando propiedades

Reescribe el$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ formulario de función.
Determinar si la parábola se abre hacia arriba$a>0$, o hacia abajo,$a<0$.
Encuentra el eje de simetría,$x=h$.
Encuentra el vértice,$(h,k$.
Encuentra la$y$ -intercepción. Encuentra el punto simétrico a la$y$ -intercepción a través del eje de simetría.
Encuentra las$x$ -intercepciones.
Grafica la parábola.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Reescribir$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$ en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma
Graficar la función usando propiedades

Solución:

Cuadro 9.7.6
Reescribe la función en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma completando el cuadrado.	$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$
	$f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5$
	$f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2$
	$f(x)=2(x+1)^{2}+3$
Identificar las constantes$a, h, k$.	$a=2 h=-1 k=3$
Ya que$a=2$, la parábola se abre hacia arriba.	$.$
El eje de simetría es$x=h$.	El eje de simetría es$x=-1$.
El vértice es$(h,k)$.	El vértice es$(-1,3)$.
Encuentra la$y$ -intercepción encontrando$f(0)$.	$f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5$
	$f(0)=5$
	$y$-interceptar$(0,5)$
Encuentra el punto simétrico a$(0,5)$ través del eje de simetría.	$(-2,5)$
Encuentra las$x$ -intercepciones.	El discriminante es negativo, por lo que no hay$x$ -intercepciones. Grafica la parábola.
	$.$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

Reescribir$f(x)=3 x^{2}-6 x+5$ en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma
Graficar la función usando propiedades

Contestar

$f(x)=3(x-1)^{2}+2$
$La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (1, 2) e intercepción y (0, 5). Se muestra el eje de simetría, x es igual a 1.$
Figura 9.7.66

Ejercicio$\PageIndex{20}$

Reescribir$f(x)=-2 x^{2}+8 x-7$ en$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ forma
Graficar la función usando propiedades

Contestar

$f(x)=-2(x-2)^{2}+1$
$El gráfico que se muestra es una parábola orientada hacia abajo con vértice (2, 1) e intercepciones x (1, 0) y (3, 0). Se muestra el eje de simetría, x es igual a 2.$
Figura 9.7.67

Encontrar una función cuadrática a partir de su gráfica

Hasta el momento hemos empezado con una función y luego encontramos su gráfica.

Ahora vamos a revertir el proceso. Comenzando con la gráfica, encontraremos la función.

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (negativo 2, negativo 1) e intercepción y (0, 7). — Figura 9.7.68

Solución:

Al ser cuadrático, comenzamos con la$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma.

El vértice,$(h,k)$, es$(−2,−1)$ así$h=−2$ y$k=−1$.

$f(x)=a(x-(-2))^{2}-1$

Para encontrar$a$, usamos la$y$ -intercepción,$(0,7)$.

Entonces$f(0)=7$.

$7=a(0+2)^{2}-1$

Resolver para$a$.

$\begin{array}{l}{7=4 a-1} \\ {8=4 a} \\ {2=a}\end{array}$

Escribe la función.

$f(x)=a(x-h)^{2}+k$

Sustituto en$h=-2, k=-1$ y$a=2$.

$f(x)=2(x+2)^{2}-1$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

Escribe la función cuadrática en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma cuya gráfica se muestra.

La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (3, negativo 4) e intercepción y (0, 5). — Figura 9.7.69

Contestar: $f(x)=(x-3)^{2}-4$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

Determinar la función cuadrática cuya gráfica se muestra.

La gráfica que se muestra es una parábola orientada hacia arriba con vértice (negativo 3, negativo 1) e intercepción y (0, 8). — Figura 9.7.70

Contestar: $f(x)=(x+3)^{2}-1$

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con gráficos de funciones cuadráticas usando transformaciones.

Conceptos clave

Graficar una función cuadrática de la forma$f(x)=x^{2}+k$ usando un desplazamiento vertical
- La gráfica de$f(x)=x^{2}+k$ desplaza la gráfica de$k$ unidades$f(x)=x^{2}$ verticalmente.
  - Si$k>0$, desvía la parábola verticalmente hacia arriba$k$ unidades.
  - Si$k<0$, desvía la parábola verticalmente hacia abajo$|k|$ unidades.
Graficar una Función Cuadrática de la Forma$f(x)=(x−h)^{2}$ Usando un Desplazamiento Horizontal
- La gráfica de$f(x)=(x−h)^{2}$ desplaza la gráfica de$h$ unidades$f(x)=x^{2}$ horizontalmente.
  - Si$h>0$, desvía la parábola horizontalmente a la izquierda$h$ unidades.
  - Si$h<0$, cambie la parábola horizontalmente a la derecha$|h|$ unidades.
Gráfica de una función cuadrática de la forma$f(x)=ax^{2}$
- El coeficiente$a$ en la función$f(x)=ax^{2}$ afecta a la gráfica de$f(x)=x^{2}$ estirándola o comprimiéndola.
  Si$0<|a|<1$, entonces la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más ancha” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.
  Si$|a|>1$, entonces la gráfica de$f(x)=ax^{2}$ será “más delgada” que la gráfica de$f(x)=x^{2}$.
Cómo graficar una función cuadrática usando transformaciones
1. Reescribe la función en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma completando el cuadrado.
2. Grafica la función usando transformaciones.
Graficar una función cuadrática en forma de vértice$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ usando propiedades
1. Reescribe la función en$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ forma.
2. Determinar si la parábola se abre hacia arriba$a>0$, o hacia abajo,$a<0$.
3. Encuentra el eje de simetría,$x=h$.
4. Encuentra el vértice,$(h,k)$.
5. Encuentra la$y$ -intercepción. Encuentra el punto simétrico a la$y$ -intercepción a través del eje de simetría.
6. Encuentra las$x$ -intercepciones, si es posible.
7. Grafica la parábola.

Reescribe la función en\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma completando el cuadrado.	\(f(x)=2 x^{2}+4 x+5\)
	\(f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5\)
	\(f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2\)
	\(f(x)=2(x+1)^{2}+3\)
Identificar las constantes\(a, h, k\).	\(a=2 h=-1 k=3\)
Ya que\(a=2\), la parábola se abre hacia arriba.	$.$
El eje de simetría es\(x=h\).	El eje de simetría es\(x=-1\).
El vértice es\((h,k)\).	El vértice es\((-1,3)\).
Encuentra la\(y\) -intercepción encontrando\(f(0)\).	\(f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5\)
	\(f(0)=5\)
	\(y\)-interceptar\((0,5)\)
Encuentra el punto simétrico a\((0,5)\) través del eje de simetría.	\((-2,5)\)
Encuentra las\(x\) -intercepciones.	El discriminante es negativo, por lo que no hay\(x\) -intercepciones. Grafica la parábola.
	$.$

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

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Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

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Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Primero dibujamos la gráfica de\(f(x)=x^{2}\) en la cuadrícula.	$Esta figura muestra una parábola de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y con un vértice de (0, 0) con otros puntos de la curva ubicados en (negativo 1, 1) y (1, 1). Es la gráfica de f de x es igual a x al cuadrado.$
Determinar\(k\).	$.$
	$.$
Desplazar la gráfica\(f(x)=x^{2}\) hacia abajo\(3\).	$Esta figura muestra 2 parábolas de apertura hacia arriba en el plano de la coordenada x y. La curva superior es la gráfica de f de x es igual a x cuadrado que tiene un vértice de (0, 0). Otros puntos de la curva se ubican en (negativo 1, 1) y (1, 1). La curva inferior se ha movido hacia abajo 3 unidades.$

Primero dibujamos la gráfica de\(f(x)=x^{2}\) en la cuadrícula.	$.$
Determinar\(h\).	$.$
	$.$
Desplazar la gráfica\(f(x)=x^{2}\) a las\(6\) unidades correctas.	$.$

	$.$
Separar los\(x\) términos de la constante.	$.$
Facturar el coeficiente de\(x^{2}, -3\).	$.$
Prepárense para completar la plaza.	$.$
Toma la mitad\(2\) y luego cuadrázala para completar el cuadrado\((\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1\)
La constante\(1\) completa el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por\(-3\). Entonces realmente estamos agregando\(-3\). Debemos entonces sumar\(3\) para no cambiar el valor de la función.	$.$
Reescribe el trinomio como un cuadrado y resta las constantes.	$.$
La función se encuentra ahora en la\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma.	$.$

	$.$
Separar los\(x\) términos de la constante.	$.$
Toma la mitad\(6\) y luego cuadrácala para completar el cuadrado. \((\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9\)
Ambos sumamos\(9\) y restamos\(9\) para no cambiar el valor de la función.	$.$
Reescribe el trinomio como un cuadrado y resta las constantes.	$.$
La función se encuentra ahora en la\(f(x)=(x-h)^{2}+k\) forma.	$.$

	$.$
Separar los\(x\) términos de la constante.	$.$
Necesitamos el coeficiente de\(x^{2}\) ser uno. Nosotros facetamos\(-2\) a partir de los\(x\) -términos.	$.$
Toma la mitad\(2\) y luego cuadrácala para completar el cuadrado. \((\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1\)
Agregamos\(1\) para completar el cuadrado entre paréntesis, pero los paréntesis se multiplica por\(-2\). Entonces realmente estamos agregando\(-2\). Para no cambiar el valor de la función agregamos\(2\).	$.$
Reescribir el trinomio como un anuncio cuadrado restar las constantes.	$.$
La función se encuentra ahora en la\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) forma.	$.$

Objetivos de aprendizaje

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma\(f(x)=x^{2}+k\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Graficar una función cuadrática de la forma\(f(x)=x^{2}+k\) usando un desplazamiento vertical

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma\(f(x)=(x-h)^{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Graficar una función cuadrática de la forma\(f(x)=(x-h)^{2}\) usando un desplazamiento horizontal

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Gráfica Funciones Cuadráticas de la Forma\(f(x)=ax^{2}\)

Gráfica de una función cuadrática de la forma\(f(x)=ax^{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Gráfica funciones cuadráticas usando transformaciones

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

Graficar una función cuadrática usando transformaciones

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

Graficar una función cuadrática en el formulario\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) usando propiedades

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Encontrar una función cuadrática a partir de su gráfica

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Conceptos clave