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##### Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Resolver:$$2x−3=0$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 2.2.
2. Resolver:$$2y^{2}+y=15$$.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.45.
3. Resolver$$\frac{1}{x^{2}+2 x-8}>0$$
Si te perdiste este problema, revisa Ejemplo 7.56.

Anteriormente hemos aprendido a resolver desigualdades lineales y racionales. Algunas de las técnicas que utilizamos para resolverlos fueron las mismas y otras diferentes. Ahora aprenderemos a resolver desigualdades que tienen una expresión cuadrática. Utilizaremos algunas de las técnicas de resolución de desigualdades lineales y racionales, así como ecuaciones cuadráticas. Resolveremos las desigualdades cuadráticas de dos maneras, tanto gráfica como algebraicamente.

Una ecuación cuadrática está en forma estándar cuando se escribe como$$ax^{2}+bx+c=0$$. Si reemplazamos el signo igual por un signo de desigualdad, tenemos una desigualdad cuadrática en forma estándar.

##### Definición$$\PageIndex{1}$$: Quadratic Inequality

$$\begin{array}{ll}{a x^{2}+b x+c<0} & {a x^{2}+b x+c \leq 0} \\ {a x^{2}+b x+c>0} & {a x^{2}+b x+c \geq 0}\end{array}$$

La gráfica de una función cuadrática$$f(x)=a x^{2}+b x+c=0$$ es una parábola. Cuando preguntamos cuándo es$$a x^{2}+b x+c<0$$, estamos preguntando cuándo es$$f(x)<0$$. Queremos saber cuándo la parábola está por debajo del$$x$$ eje -eje.

Cuando preguntamos cuándo es$$a x^{2}+b x+c>0$$, estamos preguntando cuándo es$$f(x)>0$$. Queremos saber cuándo la parábola está por encima del$$y$$ eje -eje.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: How to Solve a Quadratic Inequality Graphically

Resuelve$$x^{2}−6x+8<0$$ gráficamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Solución:

La desigualdad está en forma estándar.

$$x^{2}-6 x+8<0$$

Paso 2: Grafica la función$$f(x)=a x^{2}+b x+c$$ usando propiedades o transformaciones.

Vamos a graficar usando las propiedades.

$$f(x)=x^{2}-6 x+8$$

Mirar$$a$$ en la ecuación.

$$\color{red}{a=1, b=-6, c=8}$$

$$f(x)=x^{2}-6 x+8$$

Como$$a$$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

La parábola se abre hacia arriba.

$$f(x)=x^{2}-6 x+8$$

El eje de simetría es la línea$$x=-\frac{b}{2 a}$$.

Eje de simetría

$$x=-\frac{b}{2 a}$$

$$\begin{array}{l}{x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}} \\ {x=3}\end{array}$$

El eje de simetría es la línea$$x=3$$.

El vértice está en el eje de simetría. Sustituir$$x=3$$ a la función.

Vertex

$$\begin{array}{l}{f(x)=x^{2}-6 x+8} \\ {f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8} \\ {f(3)=-1}\end{array}$$

El vértice es$$(3,-1)$$.

ENCONTRAMOS$$f(0)$$

$$y$$-interceptar

$$\begin{array}{l}{f(x)=x^{2}-6 x+8} \\ {f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8} \\ {f(0)=8}\end{array}$$

El$$y$$ -intercepto es$$(0.8)$$.

Utilizamos el eje de simetría para encontrar un punto simétrico a la$$y$$ intersección. El$$y$$ -intercepto es$$3$$ unidades a la izquierda del eje de simetría,$$x=3$$. A$$3$$ unidades de punto a la derecha del eje de simetría tiene$$x=6$$.

Punto simétrico a$$y$$ -intercepción

El punto es$$(6,8)$$.

Resolvemos$$f(x)=0$$.

$$x$$-intercepta

Podemos resolver esta ecuación cuadrática factorizando.

\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-6 x+8 \\ \color{red}{0} &\color{black}{=}x^{2}-6 x+8 \\ \color{red}{0} &\color{black}{=}(x-2)(x-4) \\ x &=2 \text { or } x=4 \end{aligned}

Los$$x$$ -interceptos son$$(2,0)$$ y$$(4,0)$$.

Gráficamos el vértice, las intercepciones y el punto simétrico a la$$y$$ intersección. Conectamos estos$$5$$ puntos para bosquejar la parábola.

Paso 3: Determine la solución a partir de la gráfica.

$$x^{2}-6 x+8<0$$

La desigualdad pide los valores de los$$x$$ cuales hacen que la función sea menor que$$0$$. Que valores de$$x$$ hacen la parábola por debajo del$$x$$ eje -.

No incluimos los valores$$2$$,$$4$$ ya que la desigualdad es menor que solo.

La solución, en notación de intervalos, es$$(2,4)$$.

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$
1. Resolver$$x^{2}+2 x-8<0$$ gráficamente
2. Escribir la solución en notación de intervalos
Contestar

1. Figura 9.8.4
2. $$(-4,2)$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$
1. Resolver$$x^{2}-8 x+12 \geq 0$$ gráficamente
2. Escribir la solución en notación de intervalos
Contestar

1. Figura 9.8.5
2. $$(-\infty, 2] \cup[6, \infty)$$

2. Grafica la función$$f(x)=ax^{2}+bx+c$$.
3. Determine la solución a partir de la gráfica.

En el último ejemplo, la parábola se abrió hacia arriba y en el siguiente ejemplo, se abre hacia abajo. En ambos casos, estamos buscando la parte de la parábola que está por debajo del$$x$$ eje -pero note cómo la posición de la parábola afecta a la solución.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Resuelve$$-x^{2}-8 x-12 \leq 0$$ gráficamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Solución:

 La desigualdad cuadrática en forma estándar. $$-x^{2}-8 x-12 \leq 0$$ Graficar la función $$f(x)=-x^{2}-8 x-12$$ La parábola se abre hacia abajo. Figura 9.8.6 Encuentra la línea de simetría. $$\begin{array}{l}{x=-\frac{b}{2 a}} \\ {x=-\frac{-8}{2(-1)}} \\ {x=-4}\end{array}$$ Encuentra el vértice. \begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-8 x-12 \\ f(-4) &=-(-4)^{2}-8(-4)-12 \\ f(-4) &=-16+32-12 \\ & f(-4)=4 \end{aligned} Vértice$$(-4,4)$$ Encuentra las$$x$$ -intercepciones. Vamos$$f(x)=0$$. \begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-8 x-12 \\ 0 &=-x^{2}-8 x-12 \end{aligned} Factor: Utilice la Propiedad de Producto Cero. $$\begin{array}{l}{0=-1(x+6)(x+2)} \\ {x=-6 \quad x=-2}\end{array}$$ Grafica la parábola. $$x$$-intercepta$$(-6,0), (-2.0)$$ Figura 9.8.7 Determine la solución a partir de la gráfica. Incluimos los$$x$$ -interceptos ya que la desigualdad es “menor o igual a”. $$(-\infty,-6] \cup[-2, \infty)$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$
1. Resolver$$-x^{2}-6 x-5>0$$ gráficamente
2. Escribir la solución en notación de intervalos
Contestar

1. Figura 9.8.8
2. $$(-5,-1)$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$
1. Resolver$$−x^{2}+10x−16≤0$$ gráficamente
2. Escribir la solución en notación de intervalos
Contestar

1. Figura 9.8.9
2. $$(-\infty, 2] \cup[8, \infty)$$

El método algebraico que usaremos es muy similar al método que usamos para resolver desigualdades racionales. Encontraremos los puntos críticos para la desigualdad, que serán las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada. Recuerde que una expresión polinómica puede cambiar signos solo donde la expresión es cero.

Utilizaremos los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos y luego determinar si la expresión cuadrática será positiva o negativa en el intervalo. Luego determinamos la solución a la desigualdad.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$: How to Solve Quadratic Inequalities Algebraically

Resolver$$x^{2}-x-12 \geq 0$$ algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Solución:

 Paso 1: Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar. La desigualdad está en forma estándar. $$x^{2}-x-12 \geq 0$$ Paso 2: Determinar los puntos críticos, las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada. Cambiar el signo de desigualdad por un signo igual y luego resolver la ecuación. $$\begin{array}{c}{x^{2}-x-12=0} \\ {(x+3)(x-4)=0} \\ {x+3=0 \quad x-4=0} \\ {x=-3 \quad x=4}\end{array}$$ Paso 3: Utilice los puntos críticos para dividir la línea numérica en intervalos. Utilizar$$-3$$ y$$4$$ dividir la recta numérica en intervalos. Paso 4: Por encima de la recta numérica se muestra el signo de cada expresión cuadrática utilizando puntos de prueba de cada intervalo sustituidos de la desigualdad original. Prueba: $$x=-5$$ $$x=0$$ $$x=5$$ $$\begin{array}{ccc}{x^{2}-x-12} & {x^{2}-x-12} & {x^{2}-x-12} \\ {(-5)^{2}-(-5)-12} & {0^{2}-0-12} & {5^{2}-5-12} \\ {18} & {-12} & {8}\end{array}$$ Figura 9.8.11 Paso 5: Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos. $$x^{2}-x-12 \geq 0$$ La desigualdad es positiva en los intervalos primero y último e igual$$0$$ en los puntos$$-4,3$$. La solución, en notación de intervalos, es$$(-\infty,-3] \cup[4, \infty)$$.
##### Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Resolver$$x^{2}+2x−8≥0$$ algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar

$$(-\infty,-4] \cup[2, \infty)$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Resolver$$x^{2}−2x−15≤0$$ algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar

$$[-3,5]$$

En este ejemplo, dado que los$$x^{2}−x−12$$ factores de expresión muy bien, también podemos encontrar el signo en cada intervalo como lo hicimos cuando resolvimos desigualdades racionales. Encontramos el signo de cada uno de los factores, y luego el signo del producto. A nuestra línea numérica le gustaría esto:

El resultado es el mismo que encontramos usando el otro método.

Resumimos los pasos aquí.

2. Determinar los puntos críticos: las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada.
3. Utilice los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
4. Por encima de la recta numérica se muestra el signo de cada expresión cuadrática utilizando puntos de prueba de cada intervalo sustituido a la desigualdad original.
5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.
##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Resolver$$x^{2}+6x−7≥0$$ algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Solución:

 Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar. $$-x^{2}+6 x-7 \geq 0$$ Multiplicar ambos lados de la desigualdad por$$-1$$. Recuerda revertir el signo de desigualdad. $$x^{2}-6 x+7 \leq 0$$ Determinar los puntos críticos resolviendo la ecuación cuadrática relacionada. $$x^{2}-6 x+7=0$$ Escribe la Fórmula Cuadrática. $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$$ Después sustituya en los valores de$$a, b, c$$. $$x=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(7)}}{2 \cdot 1}$$ Simplificar. $$x=\frac{6 \pm \sqrt{8}}{2}$$ Simplifica lo radical. $$x=\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$$ Eliminar el factor común,$$2$$. $$\begin{array}{l}{x=\frac{2(3 \pm \sqrt{2})}{2}} \\ {x=3 \pm \sqrt{2}} \\ {x=3+\sqrt{2}} \quad x=3-\sqrt{2} \\ {x \approx 1.6}\quad\quad\:\:\: x\approx 4.4\end{array}$$ Utilice los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos. Pruebe los números de cada intervalo en la desigualdad original. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos. $$-x^{2}+6 x-7 \geq 0$$en el intervalo medio$$[3-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}]$$
##### Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Resolver$$−x^{2}+2x+1≥0$$ algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar

$$[-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2}]$$

##### Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Resolver$$−x^{2}+8x−14<0$$ algebraicamente. Escribe la solución en notación de intervalos.

Contestar

$$(-\infty, 4-\sqrt{2}) \cup(4+\sqrt{2}, \infty)$$

Las soluciones de las desigualdades cuadráticas en cada uno de los ejemplos anteriores, fueron o bien un intervalo o la unión de dos intervalos. Esto resultó de que, en cada caso encontramos dos soluciones a la ecuación cuadrática correspondiente$$ax^{2}+bx+c=0$$. Estas dos soluciones nos dieron entonces ya sea las dos$$x$$ - intercepciones para la gráfica o los dos puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.

Esto se correlaciona con nuestra discusión previa del número y tipo de soluciones a una ecuación cuadrática usando el discriminante.

Para una ecuación cuadrática de la forma$$ax^{2}+bc+c=0, a≠0$$.

La última fila de la tabla nos muestra cuando las parábolas nunca se cruzan con el$$x$$ eje. Usando la Fórmula Cuadrática para resolver la ecuación cuadrática, el radicando es negativo. Obtenemos dos soluciones complejas.

En el siguiente ejemplo, las soluciones de desigualdad cuadrática resultarán de que la solución de la ecuación cuadrática sea compleja.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Resuelve, escribiendo cualquier solución en notación de intervalos:

1. $$x^{2}-3 x+4>0$$
2. $$x^{2}-3 x+4 \leq 0$$

Solución:

a.

 Escribir la desigualdad cuadrática en forma estándar. $$-x^{2}-3 x+4>0$$ Determinar los puntos críticos resolviendo la ecuación cuadrática relacionada. $$x^{2}-3 x+4=0$$ Escribe la Fórmula Cuadrática. $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$$ Después sustituya en los valores de$$a, b, c$$. $$x=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(4)}}{2 \cdot 1}$$ Simplificar. $$x=\frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$$ Simplifica el radicando. $$x=\frac{3 \pm \sqrt{7 i}}{2}$$ Las soluciones complejas nos dicen que la parábola no intercepta el$$x$$ eje -eje. También, la parábola se abre hacia arriba. Esto nos dice que la parábola está completamente por encima del$$x$$ eje -eje. Soluciones complejas Figura 9.8.15

Estamos para encontrar la solución a$$x^{2}−3x+4>0$$. Ya que para todos los valores de$$x$$ la gráfica está por encima del$$x$$ eje -, todos los valores de$$x$$ hacen que la desigualdad sea verdadera. En notación de intervalos escribimos$$(−∞,∞)$$.

$$x^{2}-3 x+4 \leq 0$$

$$x^{2}-3 x+4=0$$

Dado que la ecuación cuadrática correspondiente es la misma que en la parte (a), la parábola será la misma. La parábola se abre hacia arriba y está completamente por encima del$$x$$ eje -no hay parte de ella por debajo del$$x$$ eje-.

Estamos para encontrar la solución a$$x^{2}−3x+4≤0$$. Ya que para todos los valores de$$x$$ la gráfica nunca se encuentra por debajo del$$x$$ eje -, ningún valor de$$x$$ hacer verdadera la desigualdad. No hay solución a la desigualdad.

##### Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Resuelve y escribe cualquier solución en notación de intervalos:

1. $$-x^{2}+2 x-4 \leq 0$$
2. $$-x^{2}+2 x-4 \geq 0$$
Contestar
1. $$(-\infty, \infty)$$
2. no hay solución
##### Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Resuelve y escribe cualquier solución en notación de intervalos:

1. $$x^{2}+3 x+3<0$$
2. $$x^{2}+3 x+3>0$$
Contestar
1. no hay solución
2. $$(-\infty, \infty)$$

## Conceptos clave

2. Grafica la función$$f(x)=ax^{2}+bx+c$$ usando propiedades o transformaciones.
3. Determine la solución a partir de la gráfica.
2. Determinar los puntos críticos — las soluciones a la ecuación cuadrática relacionada.
3. Utilice los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
4. Por encima de la recta numérica se muestra el signo de cada expresión cuadrática utilizando puntos de prueba de cada intervalo sustituido a la desigualdad original.
5. Determinar los intervalos donde la desigualdad es correcta. Escribe la solución en notación de intervalos.