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11.4: Elipses

Última actualización

30 oct 2022
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- 11.3E: Ejercicios
- 11.4E: Ejercicios

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Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

Grafica una elipse con el centro en el origen
Encuentra la ecuación de una elipse con el centro en el origen
Graficar una elipse con el centro no en el origen
Resolver aplicación con elipses

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

Gráfica $y=(x-1)^{2}-2$ usando transformaciones.
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 9.57.
Completa el cuadrado: $x^{2}-8 x=8$ .
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 9.12.
Escribir en forma estándar. $y=2 x^{2}-12 x+14$
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 9.59.

Grafica una elipse con el centro en el origen

La siguiente sección cónica que veremos es una elipse. Definimos una elipse como todos los puntos en un plano donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos dados se llama foco de la elipse.

Definición $\PageIndex{1}$

Una elipse son todos los puntos de un plano donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos se llama foco de la elipse.

Esta figura muestra un doble cono intersectado por un plano para formar una elipse. — Figura 11.3.1

Podemos dibujar una elipse tomando alguna longitud fija de cuerda flexible y uniendo los extremos a dos tachuelas. Usamos una pluma para tirar de la cuerda tensa y girarla alrededor de las dos tachuelas. La cifra que resulta es una elipse.

Esta figura muestra una pluma unida a dos cuerdas, cuyos otros extremos están unidos a dos tachuelas. Las cuerdas se tiran tensas y la pluma se gira para dibujar una elipse. Las tachuelas están etiquetadas con subíndice F 1 y F subíndice 2. — Figura 11.3.2

Una línea dibujada a través de los focos intersecta la elipse en dos puntos. Cada punto se llama un vértice de la elipse. El segmento que conecta los vértices se denomina eje mayor. El punto medio del segmento se llama el centro de la elipse. Un segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro e intersecta la elipse en dos puntos se denomina eje menor.

Esta figura muestra dos elipses. En cada uno, dos puntos dentro de la elipse se etiquetan como focos. Una línea dibujada a través de los focos intersecta la elipse en dos puntos. Cada punto está etiquetado como un vértice. En La figura de la izquierda, el segmento que conecta los vértices se denomina eje mayor. Un segmento perpendicular al eje mayor que pasa por su punto medio e intersecta la elipse en dos puntos se denomina eje menor. El eje mayor es más largo que el eje menor. En La figura de la derecha, el segmento a través de los focos, conectando los vértices es más corto y se etiqueta eje menor. Su punto medio está etiquetado como centro. — Figura 11.3.3

Mencionamos anteriormente que nuestro objetivo es conectar la geometría de una cónica con el álgebra. Colocar la elipse en un sistema de coordenadas rectangulares nos da esa oportunidad. En la figura, colocamos la elipse de manera que los focos $((−c,0),(c,0))$ estén en el $x$ eje -y el centro sea el origen.

La figura de la izquierda muestra una elipse con su centro en el origen de los ejes de coordenadas y sus focos en los puntos menos (c, 0) y (c, 0). Un segmento conecta (negativo c, 0) a un punto (x, y) en la elipse. El segmento se etiqueta con d subíndice 1. Otro segmento, etiquetado d subíndice 2 conecta (c, 0) a (x, y). La figura de la derecha muestra una elipse con centro en el origen, focos (negativo c, 0) y (c, 0) y vértices (negativo a, 0) y (a, 0). El punto donde la elipse intersecta el eje y está etiquetado (0, b). Los segmentos que conectan (0, 0) a (c, 0), (c, 0) a (0, b) y (0, b) a (0, 0) forman un triángulo en ángulo estrecho con lados c, a y b respectivamente. La ecuación es a cuadrado igual a b al cuadrado más c al cuadrado. — Figura 11.3.4

La definición establece que la suma de la distancia desde los focos a un punto $(x,y)$ es constante. Entonces $d_{1}+d_{2}$ es una constante a la que llamaremos $2a$ así, $d_{1}+d_{2}=2 a$ . Usaremos la fórmula de distancia para llevarnos a una fórmula algebraica para una elipse.

$d_{1} \quad+\quad \quad d_{2} \quad=\quad 2 a$

Usa la fórmula de distancia para encontrar $d_{1},d_{2}$ .

$\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2 a$

Después de eliminar radicales y simplificar, obtenemos:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$

Para simplificar la ecuación de la elipse, $a^{2}−c^{2}=b^{2}$ dejamos.Entonces, la ecuación de una elipse centrada en el origen en forma estándar es:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Para graficar la elipse, será útil conocer las intercepciones. Encontraremos las $x$ -intercepciones e $y$ -intercepciones usando la fórmula.

$y$ -intercepta

Vamos $x=0$ .

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} &=1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=b^{2} \\ y &=\pm b \end{aligned}$

Los $y$ -interceptos son $(0,b)$ y $(0, -b)$ .

$x$ -intercepta

Vamos $y=0$ .

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}$

Los $x$ -interceptos son $(a,0)$ y $(-a,0)$ .

Definición $\PageIndex{2}$

Forma estándar de la ecuación una elipse con centro $(0,0)$

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(0,0)$ , es

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Los $x$ -interceptos son $(a,0)$ y $(−a,0)$ .

Los $y$ -interceptos son $(0,b)$ y $(0,−b)$ .

Dos figuras muestran elipses con sus centros en el origen de los ejes de coordenadas. Intersectan el eje x en puntos (negativo a, 0) y (a, 0) y el eje y en los puntos (0, b) y (0, negativo b). En la figura de la izquierda el eje mayor de la elipse está a lo largo del eje x y en la figura de la derecha, está a lo largo del eje y. — Figura 11.3.5

Observe que cuando el eje mayor es horizontal, el valor de $a$ será mayor que el valor de $b$ y cuando el eje mayor sea vertical, el valor de $b$ será mayor que el valor de $a$ . Utilizaremos esta información para graficar una elipse centrada en el origen.

Elipse con centro $(0,0)$

Cuadro 11.3.1
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$a>b$	$b>a$
Eje mayor	en el $x$ eje -.	en el $y$ eje
$x$ -intercepta	$(-a, 0),(a, 0)$
$y$ -intercepta	$(0,-b),(0, b)$

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Gráfica: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ .

Solución:

Cuadro 11.3.2
Paso 1. Escribe la ecuación en forma estándar.	Está en forma estándar.	$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Paso 2. Determinar si el eje mayor es horizontal o vertical.	Ya que $9>4$ y $9$ está en el $y^{2}$ término, el eje mayor es vertical.	El eje mayor es vertical.
Paso 3. Encuentra los puntos finales del eje mayor.	Los puntos finales serán los $y$ -interceptos. Desde $b^{2}=9$ entonces $b=\pm 3$ . Los puntos finales del eje mayor son $(0,3),(0,-3)$ .	Los puntos finales del eje mayor son $(0,3),(0,-3)$ .
Paso 4. Encuentra los extremos del eje menor.	Los puntos finales serán los $x$ -interceptos. Desde $a^{2}=4$ entonces $a=\pm 2$ . Los puntos finales del eje mayor son $(2,0),(-2,0)$ .	Los puntos finales del eje mayor son $(2,0),(-2,0)$ .
Paso 5. Esboza la elipse.		$Captura de pantalla (147) .png$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Gráfica: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$ .

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con intercepciones x (negativo 2, 0) y (2, 0) e y intercepta (0, 4) y (0, negativo 4).$
Figura 11.3.7

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Gráfica: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$ .

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con intercepciones x (negativo 3, 0) y (3, 0) e y intercepta (0, 4) y (0, negativo 4).$
Figura 11.3.8

Resumimos los pasos para referencia.

CÓMO GRAPAR UNA ELIPSE CON CENTRO $(0,0)$ .

Escribe la ecuación en forma estándar.
Determinar si el eje mayor es horizontal o vertical.
Encuentra los puntos finales del eje mayor.
Encontrar los puntos finales del eje menor
Esboza la elipse.

A veces nuestra ecuación primero tendrá que ser puesta en forma estándar.

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Gráfica $x^{2}+4 y^{2}=16$ .

Solución:

Cuadro 11.3.3
Reconocemos esto como la ecuación de una elipse ya que tanto los $x$ $y$ términos como son cuadrados y tienen coeficientes diferentes.	$x^{2}+4 y^{2}=16$
Para obtener la ecuación en forma estándar, divida ambos lados por $16$ para que la ecuación sea igual a $1$ .	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16}=\frac{16}{16}$
Simplificar.	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$
La ecuación está en forma estándar. La elipse está centrada en el origen.	El centro es $(0,0)$ .
Ya que $16>4$ y $16$ está en el $x^{2}$ término, el eje mayor es horizontal.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	Los vértices son $(4,0),(−4,0)$ . Los extremos del eje menor son $(0,2),(0,−2)$ .
Esbozar la parábola.	$.$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Gráfica $9 x^{2}+16 y^{2}=144$ .

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con intercepciones x (negativo 4, 0) y (4, 0) e y intercepta (0, 3) y (0, negativo 3).$
Figura 11.3.10

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Gráfica $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ .

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con intercepciones x (negativo 5, 0) y (5, 0) e y intercepta (0, 4) y (0, negativo 4).$
Figura 11.3.11

Encuentra la ecuación de una elipse con el centro en el origen

Si se nos da la gráfica de una elipse, podemos encontrar la ecuación de la elipse.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Encuentra la ecuación de la elipse mostrada.

Esta gráfica muestra una elipse con intercepciones x (negativo 4, 0) y (4, 0) e y intercepta (0, 3) y (0, negativo 3). — Figura 11.3.12

Solución:

Reconocemos esto como una elipse que se centra en el origen.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Ya que el eje mayor es horizontal y la distancia desde el centro hasta el vértice es $4$ , sabemos $a=4$ y así $a^{2}=16$ .

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

El eje menor es vertical y la distancia desde el centro a la elipse es $3$ , sabemos $b=3$ y así $b^{2}=9$ .

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Encuentra la ecuación de la elipse mostrada.

Esta gráfica muestra una elipse con intercepciones x (negativo 2, 0) y (2, 0) e y intercepta (0, 5) y (0, negativo 5). — Figura 11.3.13

Contestar: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Encuentra la ecuación de la elipse mostrada.

Esta gráfica muestra una elipse con intercepciones x (negativo 3, 0) y (3, 0) e y intercepta (0, 2) y (0, negativo 2). — Figura 11.3.14

Contestar: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Grafica una elipse con el centro no en el origen

Las elipses que hemos mirado hasta ahora han sido todas centradas en el origen. Ahora veremos elipses cuyo centro es $(h,k)$ .

La ecuación es $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ y cuándo $a>b$ , el eje mayor es horizontal por lo que la distancia desde el centro al vértice es $a$ . Cuando $b>a$ , el eje mayor es vertical por lo que la distancia desde el centro al vértice es $b$ .

Definición $\PageIndex{3}$

Forma estándar de la ecuación una elipse con centro $(h,k)$

La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(h,k)$ , es

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Cuando $a>b$ , el eje mayor es horizontal por lo que la distancia desde el centro al vértice es $a$ .

Cuando $b>a$ , el eje mayor es vertical por lo que la distancia desde el centro al vértice es $b$ .

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Gráfica: $\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ .

Solución:

Cuadro 11.3.4
La ecuación está en forma estándar, $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ .	$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$
La elipse está centrada en $(h,k)$ .	El centro es $(3,1)$ .
Ya que $9>4$ y $9$ está en el $x^{2}$ término, el eje mayor es horizontal.
$a^{2}=9, a=\pm 3$ $b^{2}=4, b=\pm 2$	La distancia desde el centro a los vértices es $3$ . La distancia desde el centro hasta los extremos del eje menor es $2$ .
Esboza la elipse.	$.$

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Gráfica: $\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{16}=1$ .

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con centro en (negativo 3, 5), vértices en (negativo 3, 9) y (negativo 3, 1) y puntos finales del eje menor en (negativo 5, 5) y (negativo 1, 5).$
Figura 11.3.16

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Gráfica: $\frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$ .

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con centro en 1, negativo 3, vértices en (negativo 4, negativo 3) y (6, negativo 3) y puntos finales del eje menor en 1, 1) y (negativo 1, negativo 7).$
Figura 11.3.17

Si miramos las ecuaciones de $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ y $\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ , vemos que ambas son elipses con $a=3$ y $b=2$ . Por lo que tendrán el mismo tamaño y forma. Son diferentes en que no tienen el mismo centro.

La ecuación en la primera figura es x al cuadrado sobre 9 más y al cuadrado sobre 4 es igual a 1. Aquí, a es 3 y b es 2. La elipse se grafica con el centro en (0, 0). La ecuación de la derecha es paréntesis abiertos x menos 3 paréntesis cercanos al cuadrado sobre 9 más paréntesis abiertos y menos 1 paréntesis cercanos al cuadrado sobre 4 es igual a 1. Aquí, también, a es 3 y b es 2, pero el centro es (3, 1). La elipse se muestra en la misma gráfica junto con la primera elipse. Se muestra que el centro ha movido 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba. — Figura 11.3.18

Observe en la gráfica anterior que podríamos haber graficado $\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ por traducciones. Trasladamos la elipse original a las $3$ unidades correctas y luego subimos $1$ la unidad.

Esta gráfica muestra una elipse traducida del centro (0, 0) al centro (3, 1). El centro ha movido 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba. La elipse original tiene vértices en (negativo 3, 0) y (3, 0) y punto final del eje menor en (negativo 2, 0) y (2, 0). La elipse traducida tiene vértices en (0, 1) y (6, 1) y puntos finales del eje menor en (3, negativo 1) y (3, 3). — Figura 11.3.19

En el siguiente ejemplo usaremos el método de traducción para graficar la elipse.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Gráfica $\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$ por traducción.

Solución:

Esta elipse tendrá el mismo tamaño y forma que $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ cuyo centro es $(0,0)$ . Primero graficamos esta elipse.

Cuadro 11.3.5
El centro es $(0,0)$ .	Centro $(0,0)$
Ya que $16>9$ , el eje mayor es horizontal.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=9, \quad b=\pm 3$	Los vértices son $(4,0),(−4,0)$ . Los extremos del eje menor son $(0,3),(0,−3)$ .
Esboza la elipse.	$.$
La ecuación original está en forma estándar, $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ .	$\frac{(x-(-4))^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$
La elipse está centrada en $(h,k)$ .	El centro es $(-4,6)$ .
Traducimos la gráfica de $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ cuatro unidades a la izquierda y luego hacia arriba $6$ unidades. Verificar que el centro sea $(−4,6)$ . La nueva elipse es la elipse cuya ecuación es $\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$ .	$.$

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Gráfica $\frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{4}=1$ por traducción.

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con centro (5, negativo 4), vértices (2, negativo 4) y (8, negativo 4) y puntos finales de eje menor (5, negativo 2) y (5, negativo 6).$
Figura 11.3.22

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Gráfica $\frac{(x+6)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1$ por traducción.

Contestar: $Esta gráfica muestra una elipse con centro (negativo 6, negativo 2), vértices (negativo 6, 3) y (negativo 6, negativo 7) y puntos finales de eje menor (negativo 10, negativo 2), y (negativo 2, negativo 2).$
Figura 11.3.23

Cuando una ecuación tiene tanto a como a $y^{2}$ con coeficientes diferentes, verificamos que es una elipsis poniéndola en forma estándar. $x^{2}$ Entonces podremos graficar la ecuación.

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Escribe la ecuación $x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$ en forma estándar y grafica.

Solución:

Ponemos la ecuación en forma estándar completando los cuadrados en ambos $x$ y $y$ .

Cuadro 11.3.6
	$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$
Reescribir agrupando los $x$ términos y $y$ términos.	$.$
Hacer los coeficientes de $x^{2}$ e $y^{2}$ iguales $1$ .	$.$
Completa los cuadrados.	$.$
Escribir como cuadrados binomiales.	$.$
Dividir ambos lados por $16$ para $1$ ponerse a la derecha.	$.$
Simplificar.	$.$
La ecuación está en forma estándar, $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$	$.$
La elipse está centrada en $(h,k)$ .	El centro es $(2,-3)$ .
Ya que $16>4$ y $16$ está en el $x^{2}$ término, el eje mayor es horizontal. $a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	La distancia desde el centro a los vértices es $4$ . La distancia desde el centro hasta los extremos del eje menor es $2$ .
Esboza la elipse.	$.$

Ejercicio $\PageIndex{11}$

Escribe la ecuación $6 x^{2}+4 y^{2}+12 x-32 y+34=0$ en forma estándar y
Gráfica.

Contestar

$\frac{(x+1)^{2}}{6}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$

Esta gráfica muestra una elipse con centro (negativo 1, 4), vértices menos (1, 1) y (negativo 1, 7) y puntos finales de eje menor aproximadamente (negativos 3.5, 4) y (aproximadamente 1.5, 4). — Figura 11.3.32

Ejercicio $\PageIndex{12}$

Escribe la ecuación $4 x^{2}+y^{2}-16 x-6 y+9=0$ en forma estándar y
Gráfica.

Contestar

$\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1$

Esta gráfica muestra una elipse con centro (2, 3), vértices (2, negativo 1) y (2, 7) y puntos finales de eje menor (0, 3) y (4, 3). — Figura 11.3.33

Resolver aplicación con elipses

Las órbitas de los planetas alrededor del sol siguen caminos elípticos.

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Plutón (un planeta enano) se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Lo más cercano que Plutón llega al Sol son aproximadamente unidades $30$ astronómicas (AU) y la más alejada es aproximadamente $50$ AU. El Sol es uno de los focos de la órbita elíptica. Dejando que la elipse se centre en el origen y etiquetando los ejes en AU, la órbita se verá como la figura de abajo. Usa la gráfica para escribir una ecuación para la órbita elíptica de Plutón.

Esta gráfica muestra una elipse con centro (0, 0) y vértices (negativos 40, 0) y (40, 0). El sol se muestra en el punto (10, 0). Se trata de 30 unidades del vértice derecho y 50 unidades del vértice izquierdo. — Figura 11.3.34

Solución:

Reconocemos esto como una elipse que se centra en el origen.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Ya que el eje mayor es horizontal y la distancia desde el centro hasta el vértice es $40$ , sabemos $a=40$ y así $a^{2}=1600$ .

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

El eje menor es vertical pero no se dan los puntos finales.Para encontrar $b$ usaremos la ubicación del Sol. Ya que el Sol es un foco de la elipse en el punto $(10,0)$ , lo sabemos $c=10$ . Usa esto para resolver para $b^{2}$ .

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$
$b^{2}=40^{2}-10^{2}$
$b^{2}=1600-100$
$b^{2}=1500$

Sustituir $a^{2}$ y $b^{2}$ en la forma estándar de la elipse.

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{1500}=1$

Ejercicio $\PageIndex{13}$

Un planeta se mueve en órbita elíptica alrededor de su sol. Lo más cerca que el planeta se acerca al sol es aproximadamente $20$ AU y el más lejano es aproximadamente $30$ AU. El sol es uno de los focos de la órbita elíptica. Dejando que la elipse se centre en el origen y etiquetando los ejes en AU, la órbita se verá como la figura de abajo. Usa la gráfica para escribir una ecuación para la órbita elíptica del planeta.

Esta gráfica muestra una elipse con centro (0, 0) y vértices (negativo 25, 0) y (25, 0). El sol se muestra en el punto (5, 0). Se trata de 20 unidades del vértice derecho y 30 unidades del vértice izquierdo. — Figura 11.3.35

Contestar: $\frac{x^{2}}{625}+\frac{y^{2}}{600}=1$

Ejercicio $\PageIndex{14}$

Un planeta se mueve en órbita elíptica alrededor de su sol. Lo más cerca que el planeta se acerca al sol es aproximadamente $20$ AU y el más lejano es aproximadamente $50$ AU. El sol es uno de los focos de la órbita elíptica. Dejando que la elipse se centre en el origen y etiquetando los ejes en AU, la órbita se verá como la figura de abajo. Usa la gráfica para escribir una ecuación para la órbita elíptica del planeta.

Esta gráfica muestra una elipse con centro (0, 0) y vértices (negativo 35, 0) y (35, 0). El sol se muestra en el punto (15, 0). Se trata de 20 unidades del vértice derecho y 50 unidades del vértice izquierdo. — Figura 11.3.36

Contestar: $\frac{x^{2}}{1225}+\frac{y^{2}}{1000}=1$

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practique con elipses.

Secciones Cónicas: Elipses Gráficas Parte 1
Secciones Cónicas: Gráficas Elipses Parte 2
Ecuación para elipse a partir de gráfico

Conceptos clave

Elipse: Una elipse es todos los puntos en un plano donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos se llama foco de la elipse.
$Esta figura muestra dos elipses. En cada uno, dos puntos dentro de la elipse se etiquetan como focos. Una línea dibujada a través de los focos intersecta la elipse en dos puntos. Cada punto está etiquetado como un vértice. En La figura de la izquierda, el segmento que conecta los vértices se denomina eje mayor. Un segmento perpendicular al eje mayor que pasa por su punto medio e intersecta la elipse en dos puntos se denomina eje menor. El eje mayor es más largo que el eje menor. En La figura de la derecha, el segmento a través de los focos, conectando los vértices es más corto y se etiqueta eje menor. Su punto medio está etiquetado como centro.$

Figura 11.3.37

Si dibujamos una línea a través de los focos, la elipse se cruza en dos puntos, cada uno se llama un vértice de la elipse.
El segmento que conecta los vértices se denomina eje mayor.
El punto medio del segmento se llama el centro de la elipse.
Un segmento perpendicular al eje mayor que pasa por el centro e intersecta la elipse en dos puntos se denomina eje menor.
Forma estándar de la ecuación una elipse con centro $(0,0)$ : La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(0,0)$ , es
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
Los $x$ -interceptos son $(a,0)$ y $(−a,0)$ .
Los $y$ -interceptos son $(0,b)$ y $(0,−b)$ .
Cómo hacer una elipse con centro $(0,0)$
1. Escribe la ecuación en forma estándar.
2. Determinar si el eje mayor es horizontal o vertical.
3. Encuentra los puntos finales del eje mayor.
4. Encontrar los puntos finales del eje menor
5. Esboza la elipse.
Forma estándar de la ecuación una elipse con centro $(h,k)$ : La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro $(h,k)$ , es
$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
Cuando $a>b$ , el eje mayor es horizontal por lo que la distancia desde el centro al vértice es $a$ .
Cuando $b>a$ , el eje mayor es vertical por lo que la distancia desde el centro al vértice es $b$ .

Glosario

elipse: Una elipse son todos los puntos de un plano donde la suma de las distancias desde dos puntos fijos es constante.

Objetivos de aprendizaje

Grafica una elipse con el centro en el origen

Definición11.4.1\PageIndex{1}

yy-intercepta

xx-intercepta

Definición11.4.2\PageIndex{2}

Ejemplo11.4.1\PageIndex{1}

Ejercicio11.4.1\PageIndex{1}

Ejercicio11.4.2\PageIndex{2}

CÓMO GRAPAR UNA ELIPSE CON CENTRO(0,0)(0,0).

Ejemplo11.4.2\PageIndex{2}

Ejercicio11.4.3\PageIndex{3}

Ejercicio11.4.4\PageIndex{4}

Encuentra la ecuación de una elipse con el centro en el origen

Ejemplo11.4.3\PageIndex{3}

Ejercicio11.4.5\PageIndex{5}

Ejercicio11.4.6\PageIndex{6}

Grafica una elipse con el centro no en el origen

Definición11.4.3\PageIndex{3}

Ejemplo11.4.4\PageIndex{4}

Ejercicio11.4.7\PageIndex{7}

Ejercicio11.4.8\PageIndex{8}

Ejemplo11.4.5\PageIndex{5}

Ejercicio11.4.9\PageIndex{9}

Ejercicio11.4.10\PageIndex{10}

Ejemplo11.4.6\PageIndex{6}

Ejercicio11.4.11\PageIndex{11}

Ejercicio11.4.12\PageIndex{12}

Resolver aplicación con elipses

Ejemplo11.4.7\PageIndex{7}

Ejercicio11.4.13\PageIndex{13}

Ejercicio11.4.14\PageIndex{14}

Conceptos clave

Glosario

Support Center

How can we help?

Definición $\PageIndex{1}$

$y$ -intercepta

$x$ -intercepta

Definición $\PageIndex{2}$

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

CÓMO GRAPAR UNA ELIPSE CON CENTRO $(0,0)$ .

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Definición $\PageIndex{3}$

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Ejercicio $\PageIndex{9}$

Ejercicio $\PageIndex{10}$

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Ejercicio $\PageIndex{11}$

Ejercicio $\PageIndex{12}$

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Ejercicio $\PageIndex{13}$

Ejercicio $\PageIndex{14}$