11.3: Fórmula cuadrática
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La fórmula cuadrática se deriva del método de completar el cuadrado. Si tomamos una ecuación cuadrática general
\[ax^2+bx+c=0\nonumber\]
y resuelto\(x\) por completando el cuadrado, obtendríamos la fórmula cuadrática. Vamos a probar esto.
Resuelve\(x\) por completando la plaza:\(ax^2+bx+c=0\)
Solución
Primero, debemos reescribir la ecuación para que el coeficiente principal sea uno y c esté del otro lado.
\[\begin{aligned}ax^2+bx+c&=0 \\ ax^2+bx&=-c \\ a\left(x^2+\dfrac{b}{a}\right)&=-c \\ x^2+\dfrac{b}{a}x&=\dfrac{-c}{a}\end{aligned}\]
A continuación, tomamos\(\dfrac{b}{a}\) y formamos\(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\).
\[\begin{aligned}x^2+\dfrac{b}{a}x+\color{blue}{\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{b}{a}\right)^2}&\color{black}{=}\dfrac{-c}{a}+\color{blue}{\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{b}{a}\right)^2} \\ x^2+\dfrac{b}{a}x+\color{blue}{\dfrac{b^2}{4a^2}}&\color{black}{=}\dfrac{-c}{a}+\color{blue}{\dfrac{b^2}{4a^2}}\end{aligned}\]
Vamos a factorizar el lado izquierdo y combinar fracciones a la derecha:
\[\begin{aligned}x^2+\dfrac{b}{a}x+\color{blue}{\dfrac{b^2}{4a^2}}&\color{black}{=}\dfrac{-c}{a}\cdot\color{blue}{\dfrac{4a}{4a}}\color{black}{+}\color{blue}{\dfrac{b^2}{4a^2}} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2&=\dfrac{-4ac}{4a^2}+\dfrac{b^2}{4a^2}\end{aligned}\]
Podemos aplicar la propiedad de raíz cuadrada y resolver como de costumbre:
\[\begin{array}{rl}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}&\text{Apply the square root property} \\ x+\dfrac{b}{2a}=\pm\sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}&\text{Simplify} \\ x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\text{Isolate }x\\ x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\text{Same denominator; combine fractions} \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Dejar\(a\),\(b\) ser coeficientes de\(x^2\),\(x\), respectivamente, y\(c\) ser el coeficiente constante de la ecuación cuadrática\(ax^2 + bx + c = 0\). Entonces
\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\nonumber\]
se llama la fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática es una fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas en términos de los coeficientes.
El matemático indio, Brahmagupta, dio la primera fórmula explícita para resolver cuadrráticas en 628 d.C. No obstante, en ese momento, las matemáticas no se escribieron con variables y símbolos, por lo que la fórmula que dio fue: “Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el cuadrado, sumar el cuadrado del término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el término medio, estando dividido por dos veces el cuadrado es el valor”. Matemáticamente, esto se traduciría en
\[\dfrac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}\nonumber\]
como la solución a la ecuación\(ax^2+bx=c\).
Aplicar la Fórmula Cuadrática
Resolver:\(x^2+3x+2=0\)
Solución
Podemos señalar que podemos resolver esta ecuación factorizando. Sin embargo, utilizaremos la fórmula cuadrática y posteriormente compararemos.
\[\begin{array}{rl}x^2+3x+2=0&\text{Apply quadratic formula} \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\text{Plug-n-chug }a=1,\: b=3,\: c=2 \\ x=\dfrac{-\color{blue}{3}\color{black}{\pm}\sqrt{\color{blue}{3}\color{black}{^2}-4\color{blue}{(1)(2)}}}{2\color{blue}{(1)}}&\color{black}{\text{Simplify using order of operations}} \\ x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2} \\ x=\dfrac{-3\pm\sqrt{1}}{2} \\ x=\dfrac{-3\pm 1}{2}&\text{Rewrite as two solutions} \\ x=\dfrac{-3+1}{2}\text{ or }\dfrac{-3-1}{2}&\text{Evaluate} \\ x=-1\text{ or }x=-2&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Comparemos con factorizar la ecuación:
\[\begin{aligned}x^2+3x+2&=0 \\ (x+1)(x+2)&=0 \\ x+1=0\text{ or }x+2&=0 \\ x=-1\text{ or }x&=-2\end{aligned}\]
Observe, el factorización habría sido mucho más rápido que usar la fórmula cuadrática.
Cuando podemos factorizar la ecuación cuadrática, deberíamos, y cuando la ecuación no es factorizable, debemos usar la fórmula cuadrática.
Hacer igual a cero
Resolver:\(25x^2=30x+11\)
Solución
Primero reescribimos la ecuación para que el cero esté en un lado de la ecuación. Entonces podemos resolver como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}25x^2=30x+11&\text{Rewrite where zero is one side} \\ 25x^2-30x-11=0&\text{Apply the quadratic formula} \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\text{Plug-n-chug }a=25,\: b=-30,\: c=-11 \\ x=\dfrac{-\color{blue}{(-30)}\color{black}{\pm}\sqrt{\color{blue}{(-30)}\color{black}{^2}-4\color{blue}{(25)(-11)}}}{2\color{blue}{(25)}}&\text{Simplify using order of operations} \\ x=\dfrac{30\pm\sqrt{900+1100}}{50} \\ x=\dfrac{30\pm\sqrt{2000}}{50}&\text{Rewrite }\sqrt{2000} \\ x=\dfrac{30\pm\sqrt{400\cdot 5}}{50}&\text{Apply product property of radicals} \\ x=\dfrac{30\pm 20\sqrt{5}}{50}&\text{Factor the numerator} \\ x=\dfrac{\cancel{10}(3\pm 2\sqrt{5})}{\cancel{50}^5}&\text{Reduce by a factor of }10 \\ x=\dfrac{3\pm 2\sqrt{5}}{5}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Podemos ver que la ecuación no era factorizable, así que aplicamos la fórmula cuadrática
Resolver:\(3x^2+4x+8=2x^2+6x-5\)
Solución
Primero reescribimos la ecuación para que el cero esté en un lado de la ecuación. Entonces podemos resolver como de costumbre.
\[\begin{array}{rl}3x^2+4x+8=2x^2+6x-5 &\text{Rewrite where zero is on one side} \\ x^2-2x+13=0 &\text{Apply the quadratic formula} \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\text{Plug-n-chug }a=1,\: b=-2,\: c=13 \\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{\color{blue}{(-2)}\color{black}{^2}-4\color{blue}{(1)(13)}}}{2\color{blue}{(1)}}&\text{Simplify using order of operations} \\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{4-52}}{2} \\ x=\dfrac{2\pm\sqrt{-48}}{2}&\text{Rewrite the radical using }i \\ x=\dfrac{2\pm i\sqrt{48}}{2}&\text{Simplify the radical} \\ x=\dfrac{2\pm 4i\sqrt{3}}{2}&\text{Factor a 2 from the numerator} \\ x=\dfrac{2(1\pm 2i\sqrt{3})}{2}&\text{Reduce by a factor of 2} \\ x=\dfrac{\color{blue}{\cancel{2}}\color{black}{(}1\pm 2i\sqrt{3})}{\color{blue}{\cancel{2}}}&\text{Rewrite} \\ x=1\pm 2i\sqrt{3}&\text{Solutions}\end{array}\nonumber\]
Cuando hay un valor negativo como radicando, reescribimos el radical usando la unidad imaginaria y las soluciones son números no reales
Resolver:\(3x^2-7=0\)
Solución
Si falta el término en la ecuación cuadrática, resolvemos la ecuación usando la fórmula cuadrática y plug-n-chug cero para ese término. Si falta el término lineal, entonces\(b = 0\), y si falta el término constante, entonces\(c = 0\).
\[\begin{array}{rl}3x^2-7=0&\text{Apply the quadratic formula} \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&\text{Plug-n-chug }a=3,\: b=0,\: c=-7 \\ x=\dfrac{-\color{blue}{0}\color{black}{\pm}\sqrt{\color{blue}{0}\color{black}{^2}-4\color{blue}{(3)(-7)}}}{2\color{blue}{(3)}}&\text{Simplify using order of operations} \\ x=\dfrac{\pm\sqrt{84}}{6}&\text{Rewrite }\sqrt{84} \\ x=\dfrac{\pm\sqrt{4\cdot 21}}{6}&\text{Apply product property of radicals} \\ x=\dfrac{\pm\cancel{2}\sqrt{21}}{\cancel{6}^3}&\text{Reduce by a factor of }2 \\ x=\dfrac{\pm\sqrt{21}}{3}&\text{Solution}\end{array}\nonumber\]
Cuando podemos factorizar la ecuación cuadrática, deberíamos, y cuando la ecuación no es factorizable, debemos usar la fórmula cuadrática.
Si falta el término lineal, entonces\(b = 0\), y podemos resolverlo por la propiedad de raíz cuadrada. Si falta el término constante, entonces\(c = 0\), entonces podemos resolver factorizando.
Tareas de Fórmula Cuadrática
Resuelve cada ecuación aplicando la fórmula cuadrática.
\(4a^2-6=0\)
\(2x^2-8x-2=0\)
\(2m^2-3=0\)
\(3r^2-2r-1=0\)
\(4n^2-36=0\)
\(v^2-4v-5=-8\)
\(2a^2+3a+14=6\)
\(3k^2+3k-4=7\)
\(7x^2+3x-16=-2\)
\(2p^2+6p-16=4\)
\(3n^2+3n=-3\)
\(2x^2=-7x+49\)
\(5x^2=7x+7\)
\(8n^2=-3n-8\)
\(2x^2+5x=-3\)
\(4a^2-64=0\)
\(4p^2+5p-36=3p^2\)
\(-5n^2-3n-52=2-7n^2\)
\(7r^2-12=-3r\)
\(2n^2-9=4\)
\(3k^2+2=0\)
\(6n^2-1=0\)
\(5p^2+2p+6=0\)
\(2x^2-2x-15=0\)
\(3b^2+6=0\)
\(2x^2+4x+12=8\)
\(6n^2-3n+3=-4\)
\(4x^2-14=-2\)
\(4n^2+5n=7\)
\(m^2+4m-48=-3\)
\(3b^2-3=8b\)
\(3r^2+4=-6r\)
\(6a^2=-5a+13\)
\(6v^2=4+6v\)
\(x^2=8\)
\(2k^2+6k-16=2k\)
\(12x^2+x+7=5x^2+5x\)
\(7m^2-6m+6=-m\)
\(3x^2-3=x^2\)
\(6b^2=b^2+7-b\)