3.2: Gráfica por puntos de trazado

Objetivos de aprendizaje

• Verificar soluciones a ecuaciones lineales con dos variables.
• Gráfica líneas trazando puntos.
• Identificar y graficar líneas horizontales y verticales.

Soluciones a Ecuaciones con Dos Variables

Una ecuación lineal con dos variables tiene forma estándar$ax+by=c$, donde$a,b$, y$c$ son números reales y$a$ y no$b$ son ambos$0$. Las soluciones a ecuaciones de esta forma son pares ordenados$(x, y)$, donde las coordenadas, cuando se sustituyen en la ecuación, producen una declaración verdadera.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Determinar si$(1, −2)$ y$(−4, 1)$ son soluciones para$6x−3y=12$.

Solución:

Sustituya los$y$ valores$x$ - y -en la ecuación para determinar si el par ordenado produce una declaración verdadera.

$\begin{array}{c|c}{\underline{Check\:\:(1,-2)}}&{\underline{Check\:\:(-4,1)}}\\{6x-3y=12}&{6x-3y=12} \\{6(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)-3(}\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)=12}}&{6(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)-3(}\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)=12}}\\{6+6=12}&{-24-3=12}\\{12=12\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{-27=12\quad\color{red}{x}}\end{array}$

Respuesta:

$(1,-2)$es una solución, y no$(-4,1)$ lo es.

A menudo ocurre que una ecuación lineal se da en una forma donde una de las variables, generalmente$y$, está aislada. Si este es el caso, entonces podemos comprobar que un par ordenado es una solución sustituyendo en un valor una de las coordenadas y simplificando para ver si obtenemos la otra.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

¿Son$(\frac{1}{2}, −3)$ y$(−5, 14)$ soluciones para$y=2x−4$?

Solución:

Sustituir los$x$ valores -y simplificar para ver si se obtienen$y$ los valores -correspondientes.

$\begin{array}{c|c} {\underline{x=\frac{1}{2}}}&{\underline{x=-5}}\\{y=2x-4}&{y=2x-4}\\{=2\color{black}{\left(\color{OliveGreen}{\frac{1}{2}} \right)-4}}&{=2(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)-4}}\\{=1-4}&{=-10-4}\\{=-3\quad\color{Cerulean}{\checkmark}}&{=-14\quad\color{red}{x}} \end{array}$

Respuesta:

$(\frac{1}{2},-3)$es una solución, y no$(-5,14)$ lo es.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

¿Es$(6, −1)$ una solución para$y=−\frac{2}{3}x+3$?

Responder

Sí

Cuando se dan ecuaciones lineales con dos variables, podemos resolver para una de las variables, generalmente$y$, y obtener una ecuación equivalente de la siguiente manera:

Escrito en esta forma, podemos ver que$y$ depende de$x$. Aquí$x$ está la variable independiente y$y$ es la variable dependiente.

$\left. \begin{aligned} 6x-3y&=12 \\ y&=2x-4\end{aligned}\right\} \color{Cerulean}{Equivalent\:equations}$

La ecuación lineal se$y=2x−4$ puede utilizar para encontrar soluciones de pares ordenados. Si sustituimos cualquier número real por$x$, entonces podemos simplificar para encontrar el valor y correspondiente. Por ejemplo, si$x=3$, entonces$y=2(3)−4=6−4=2$, y podemos formar una solución de par ordenado,$(3, 2)$. Dado que hay infinitamente muchos números reales para elegir$x$, la ecuación lineal tiene infinitamente muchas soluciones de pares ordenados$(x, y)$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentre soluciones de pares ordenados a la ecuación$5x−y=14$ con los$x$ valores -dados$\{−2, −1, 0, 4, 6\}$.

Solución:

Primero, resolver para$y$.

A continuación, sustituya los$x$ valores -en la ecuación$y=5x−14$ para encontrar los$y$ valores -correspondientes.

$x-value$$y-value$$Solution$$x=-2$$(-2,-24)$$x=-1$$(-1,-19)$$x=0$$(0,-14)$$x=4$$(4,6)$$x=6$$(6,16)$ Mesa$\PageIndex{1}$

Respuesta:

$\{(−2, −24), (−1, −19), (0, −14), (4, 6), (6, 16)\}$

En el ejemplo anterior, se dan ciertos$x$ -valores, pero ese no siempre va a ser el caso. Al tratar$x$ como la variable independiente, podemos elegir cualquier valor para$x$ y luego sustituirlos en la ecuación para encontrar los$y$ valores correspondientes. Este método produce tantas soluciones de pares ordenados como deseamos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentre cinco soluciones de pares ordenados para$6x+2y=10$.

Solución:

Primero, resolver para$y$.

$\begin{aligned} 6x+2y&=10 \\ 6x+2y\color{Cerulean}{-6x}&=10\color{Cerulean}{-6x} \\ 2y&=-6x+10 \\ \frac{2y}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{-6x+10}{\color{Cerulean}{2}} \\ y&=\frac{-6x}{2}+\frac{10}{2} \\ y&=-3x+5 \end{aligned}$

A continuación, elija cualquier conjunto de$x$ -valores. Por lo general, elegimos algunos valores negativos y algunos valores positivos. En este caso, encontraremos los$y$ -valores correspondientes cuando$x$ es$\{−2, −1, 0, 1, 2\}$. Haga las sustituciones necesarias para rellenar la siguiente tabla (a menudo denominada gráfico t):

Figura$\PageIndex{1}$

Respuesta:

$\{(−2, 11), (−1, 8), (0, 5), (1, 2), (2, −1)\}$. Dado que hay infinitamente muchas soluciones de pares ordenados, las respuestas pueden variar dependiendo de la elección de valores para la variable independiente.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Encuentre cinco soluciones de pares ordenados para$10x−2y=2$.

Responder

$\{(−2, −11), (−1, −6), (0, −1), (1, 4), (2, 9)\}$(las respuestas pueden variar)

Gráfica por puntos de trazado

Dado que las soluciones a las ecuaciones lineales son pares ordenados, se pueden graficar usando el sistema de coordenadas rectangulares. El conjunto de todas las soluciones a una ecuación lineal se puede representar en un plano de coordenadas rectangulares usando una línea recta que conecta al menos dos puntos; esta línea se llama su gráfica. Para ilustrar esto, graficar cinco soluciones de pares ordenados$\{(−2, 11), (−1, 8), (0, 5), (1, 2), (2, −1)\}$,, a la ecuación lineal$6x+2y=10$.

Figura$\PageIndex{2}$

Observe que los puntos son colineales; este será el caso de cualquier ecuación lineal. Dibuja una línea a través de los puntos con una recta, y agrega flechas en cada extremo para indicar que la gráfica se extiende indefinidamente.

Figura$\PageIndex{3}$

La línea resultante representa todas las soluciones a$6x+2y=10$, de las cuales hay infinitamente muchas. Los pasos para graficar líneas trazando puntos se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Encuentre cinco soluciones de pares ordenados y grafique:

$10x−5y=10$.

Solución:

S tep 1: Resolver para$y$.

Paso 2: Elija al menos dos$x$ -valores y encuentre los$y$ valores -correspondientes. En esta sección, elegiremos cinco números reales para usar como$x$ -valores. Es una buena práctica elegir$0$ y algunos números negativos, así como algunos números positivos.

Figura$\PageIndex{4}$

Cinco soluciones de pares ordenados son$\{(−2, −6), (−1, −4), (0, −2), (1, 0), (2, 2)\}$

Paso 3: Elige una escala apropiada, traza los puntos y dibuja una línea a través de ellos usando una recta. En este caso, elija una escala donde cada marca de verificación en el$y$ eje -represente$2$ unidades porque todos los$y$ valores -son múltiplos de$2$.

Respuesta:

Figura$\PageIndex{5}$

No siempre será el caso que se$y$ pueda resolver en términos de$x$ con coeficientes enteros. De hecho, los coeficientes a menudo resultan ser fracciones.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Encuentre cinco soluciones de pares ordenados y grafique:

$−5x+2y=10$.

Solución:

$\begin{aligned} -5x+2y&=10 \\ -5x+2y\color{Cerulean}{+5x}&=10\color{Cerulean}{+5x} \\ 2y&=5x+10 \\ frac{2y}{\color{Cerulean}{2}}&=\frac{5x+10}{\color{Cerulean}{2}} \\ y&=\frac{5x}{2}+\frac{10}{2} \\ y&=\frac{5}{2}x+5 \end{aligned}$

Recuerda que puedes elegir cualquier número real para la variable independiente$x$, así que elige sabiamente aquí. Dado que el denominador del coeficiente de la variable$x$ es$2$, se pueden evitar fracciones eligiendo múltiplos de$2$ para los$x$ -valores. En este caso, elija el conjunto de$x$ -valores$\{−6, −4, −2, 0, 2\}$ y encuentre los$y$ -valores correspondientes.

Figura$\PageIndex{6}$

Cinco soluciones son$\{(−6, −10), (−4, −5), (−2, 0), (0, 5), (2, 10)\}$. Aquí elegimos escalar el$x$ eje -con múltiplos de$2$ y el$y$ -eje con múltiplos de$5$.

Respuesta:

Figura$\PageIndex{7}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Encuentra cinco soluciones de pares ordenados y grafica:$x+2y=6$.

Responder

$\{(−2, 4), (0, 3), (2, 2), (4, 1), (6, 0)\}$

Figura$\PageIndex{8}$

Líneas horizontales y verticales

Necesitamos reconocer por inspección ecuaciones lineales que representan una línea vertical u horizontal.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Gráfica trazando cinco puntos:$y=−2$.

Solución:

Dado que la ecuación dada no tiene una variable$x$, podemos reescribirla con un$0$ coeficiente para$x$.

$y=0x-2$

Elija cinco valores cualesquiera para$x$ y vea que el$y$ -valor correspondiente es siempre$−2$.

Figura$\PageIndex{9}$

Ahora tenemos cinco soluciones de pares ordenadas para trazar$\{(−2, −2), (−1, −2), (0, −2), (1, −2), (2, −2)\}$.

Respuesta:

Figura$\PageIndex{10}$

Cuando el coeficiente para la variable$x$ es$0$, la gráfica es una línea horizontal. En general, la ecuación para una línea horizontal se puede escribir en la forma$y=k$, donde$k$ representa cualquier número real.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Gráfica trazando cinco puntos:$x = 3$.

Solución:

Dado que la ecuación dada no tiene una variable$y$, reescribirla con un$0$ coeficiente para$y$.

$x=0y+3$

Elija cinco valores cualesquiera para$y$ y vea que el$x$ -valor correspondiente es siempre$3$.

Figura$\PageIndex{11}$

Ahora tenemos cinco soluciones de pares ordenadas para trazar:$\{(3, −2), (3, −1), (3, 0), (3, 1), (3, 2)\}$.

Respuesta:

Figura$\PageIndex{12}$

Cuando el coeficiente para la variable$y$ es$0$, la gráfica es una línea vertical. En general, la ecuación para una línea vertical se puede escribir como$x=k$, donde$k$ representa cualquier número real.

Para resumir, si$k$ es un número real.

$$y=k\quad\color{Cerulean}{Horizontal\:line}$$

$$x=k\quad\color{Cerulean}{Vertical\:line}$$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Gráfica$y=5$ y$x=−2$ sobre el mismo conjunto de ejes y determina dónde se cruzan.

Responder

$(-2,5)$

Claves para llevar

• Las soluciones a ecuaciones lineales con dos variables$ax+by=c$ son pares ordenados$(x, y)$, donde las coordenadas, cuando se sustituyen en la ecuación, dan como resultado una declaración verdadera.
• Las ecuaciones lineales con dos variables tienen infinitamente muchas soluciones de pares ordenados. Cuando se grafican las soluciones, son colineales.
• Para encontrar soluciones de pares ordenados, elija valores para la variable independiente, generalmente$x$, y sustituirlos en la ecuación para encontrar los$y$ valores -correspondientes.
• Para graficar ecuaciones lineales, determine al menos dos soluciones de pares ordenados y dibuje una línea a través de ellas con una recta.
• Las líneas horizontales son descritas por$y = k$, donde$k$ está cualquier número real.
• Las líneas verticales se describen por$x = k$, donde$k$ está cualquier número real.

Ejercicio$\PageIndex{5}$ Solutions to Linear Systems

Determinar si el punto dado es una solución.

1. $5x−2y=4; (−1, 1)$
2. $3x−4y=10; (2, −1)$
3. $−3x+y=−6; (4, 6)$
4. $−8x−y=24; (−2, −3)$
5. $−x+y=−7; (5, −2)$
6. $9x−3y=6; (0, −2)$
7. $\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=−\frac{1}{6}; (1, −2)$
8. $\frac{3}{4}x−\frac{1}{2}y=−1; (2, 1)$
9. $4x−3y=1; (\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$
10. $−10x+2y=−\frac{9}{5}; (\frac{1}{5}, \frac{1}{10})$
11. $y=\frac{1}{3}x+3; (6, 3)$
12. $y=−4x+1; (−2, 9)$
13. $y=\frac{2}{3}x−3; (0, −3)$
14. $y=−\frac{5}{8}x+1; (8, −5)$
15. $y=−\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}; (−\frac{1}{2}, 1)$
16. $y=−\frac{1}{3}x−\frac{1}{2}; (\frac{1}{2}, −\frac{2}{3})$
17. $y=2; (−3, 2)$
18. $y=4; (4, −4)$
19. $x=3; (3, −3)$
20. $x=0; (1, 0)$

Responder

1. No

3. Sí

5. Sí

7. Sí

9. Sí

11. No

13. Sí

15. Sí

17. Sí

19. Sí

Ejercicio$\PageIndex{6}$ Solutions to Linear Systems

Encuentre las soluciones de pares ordenados dado el conjunto de$x$ -valores.

1. $y=−2x+4; \{−2, 0, 2\}$
2. $y=12x−3; \{−4, 0, 4\}$
3. $y=−\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}; \{−2, 0, 2\}$
4. $y=−3x+1; \{−\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\}$
5. $y=−4; \{−3, 0, 3\}$
6. $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}; \{−\frac{1}{4}, 0, \frac{1}{4}\}$
7. $2x−3y=1; \{0, 1, 2\}$
8. $3x−5y=−15; \{−5, 0, 5\}$
9. $–x+y=3; \{−5, −1, 0\}$
10. $\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=−4; \{−4, −2, 0\}$
11. $\frac{3}{5}x+\frac{1}{10}y=2; \{−15, −10, −5\}$
12. $x−y=0; \{10, 20, 30\}$

Responder

1. $\{(−2, 8), (0, 4), (2, 0)\}$

3. $\{(−2, 2), (0, 1/2), (2, −1)\}$

5. $\{(−3, −4), (0, −4), (3, −4)\}$

7. $\{(0, −\frac{1}{3}), (1, \frac{1}{3}), (2, 1)\}$

9. $\{(−5, −2), (−1, 2), (0, 3)\}$

11. $\{(−15, 110), (−10, 80), (−5, 50)\}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$ Solutions to Linear Systems

Encuentre las soluciones de pares ordenadas, dado el conjunto de$y$ -valores.

1. $y=\frac{1}{2}x−1; \{−5, 0, 5\}$
2. $y=−\frac{3}{4}x+2; \{0, 2, 4\}$
3. $3x−2y=6; \{−3, −1, 0\}$
4. $−x+3y=4; \{−4, −2, 0\}$
5. $\frac{1}{3}x−\frac{1}{2}y=−4; \{−1, 0, 1\}$
6. $\frac{3}{5}x+\frac{1}{10}y=2; \{−20, −10, −5\}$

Responder

1. $\{(−8, −5), (2, 0), (12, 5)\}$

3. $\{(0, −3), (\frac{4}{3}, −1), (2, 0)\}$

5. $\{(−\frac{27}{2}, −1), (−12, 0), (−\frac{21}{2}, 1)\}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$ Graphing Lines

Dado el conjunto de$x$ -valores$\{−2, −1, 0, 1, 2\}$, busque los$y$ valores -correspondientes y graficarlos.

1. $y=x+1$
2. $y=−x+1$
3. $y=2x−1$
4. $y=−3x+2$
5. $y=5x−10$
6. $5x+y=15$
7. $3x−y=9$
8. $6x−3y=9$
9. $y=−5$
10. $y=3$

Responder

1.

Figura$\PageIndex{13}$

3.

Figura$\PageIndex{14}$

5.

Figura$\PageIndex{15}$

7.

Figura$\PageIndex{16}$

9.

Figura$\PageIndex{17}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$ Graphing Lines

Encuentra al menos cinco soluciones de pares ordenados y grafica.

1. $y=2x−1$
2. $y=−5x+3$
3. $y=−4x+2$
4. $y=10x−20$
5. $y=−\frac{1}{2}x+2$
6. $y=\frac{1}{3}x−1$
7. $y=\frac{2}{3}x−6$
8. $y=−\frac{2}{3}x+2$
9. $y=x$
10. $y=−x$
11. $−2x+5y=−15$
12. $x+5y=5$
13. $6x−y=2$
14. $4x+y=12$
15. $−x+5y=0$
16. $x+2y=0$
17. $\frac{1}{10}x−y=3$
18. $\frac{3}{2}x+5y=30$

Responder

1.

Figura$\PageIndex{18}$

3.

Figura$\PageIndex{19}$

5.

Figura$\PageIndex{20}$

7.

Figura$\PageIndex{21}$

9.

Figura$\PageIndex{22}$

11.

Figura$\PageIndex{23}$

13.

Figura$\PageIndex{24}$

15.

Figura$\PageIndex{25}$

17.

Figura$\PageIndex{26}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$ Horizontal and Vertical Lines

Encuentre al menos cinco soluciones de pares ordenadas y gráfiquelas.

1. $y=4$
2. $y=−10$
3. $x=4$
4. $x=−1$
5. $y=0$
6. $x=0$
7. $y=\frac{3}{4}$
8. $x=−\frac{5}{4}$
9. Grafica las líneas$y=−4$ y$x=2$ en el mismo conjunto de ejes. ¿Dónde se cruzan?
10. Grafica las líneas$y=5$ y$x=−5$ en el mismo conjunto de ejes. ¿Dónde se cruzan?
11. ¿Cuál es la ecuación que describe el$x$ eje -eje?
12. ¿Cuál es la ecuación que describe el$y$ eje -eje?

Responder

1.

Figura$\PageIndex{27}$

3.

Figura$\PageIndex{28}$

5.

Figura$\PageIndex{29}$

7.

Figura$\PageIndex{30}$

9.

Figura$\PageIndex{31}$

11. $y=0$

Ejercicio$\PageIndex{11}$ Mixed Practice

Gráfica trazando puntos.

1. $y=−\frac{3}{5}x+6$
2. $y=\frac{3}{5}x−3$
3. $y=−3$
4. $x=−5$
5. $3x−2y=6$
6. $−2x+3y=−12$

Responder

1.

Figura$\PageIndex{32}$

3.

Figura$\PageIndex{33}$

5.

Figura$\PageIndex{34}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$ Discussion Board Topics

1. Discutir la importancia de la relación entre álgebra y geometría en la descripción de líneas.
2. Dar ejemplos del mundo real relacionados con dos incógnitas

Responder

1. Las respuestas pueden variar