3.3: Gráfica usando intercepciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Objetivos de aprendizaje
- Identificar y encontrarx - ey -intercepciones de una gráfica.
- Graficar una línea usandox - yy -intercepciones
Definición dex - yy -intercepciones
El x-intercept es el punto donde la gráfica de una línea intersecta elx eje.
El y-intercept es el punto donde la gráfica de una línea intersecta ely eje.
Estos puntos tienen la forma(x,0) y(0,y), respectivamente.
Figura3.3.1
Para encontrar lasy intercepcionesx - y -algebraicamente, use el hecho de que todas lasx -intercepciones tienen uny -valor de cero y todas lasy -intercepciones tienen unx -valor de cero. Para encontrar lay -intercepción, establezcax=0 y determine ely valor -correspondiente. De igual manera, para encontrar lax -intercepción, establecery=0 y determinar elx -valor correspondiente.
Ejemplo3.3.1
Encuentra lasx - yy -intercepciones:
−3x+2y=12.
Solución:
Para encontrar lax -intercepción, establecery=0.
Por lo tanto, lax -intercepción es(−4,0). Para encontrar lay -intercepción, establecerx=0.
−3x+2y=12Tofindthey−intercept,↓setx=0.−3(0)+2y=122y=12y=6
De ahí que lay -intercepción sea(0,6). Tenga en cuenta que esta ecuación lineal está graficada arriba.
Respuesta:
x-interceptar:(−4,0);y -interceptar:(0,6)
Ejemplo3.3.2
Encuentra lasx - yy -intercepciones:
y=−3x+9
Solución:
Comience por encontrar lax -intercepción.
y=−3x+9Sety=0.↓0=−3x+9Solveforx.3x=9x=3
Elx -intercepto es(3,0). A continuación, determinar lay -intercepción.
y=−3x+9Setx=0.
↓
y=−3(0)+9Solvefory.y=9
Ely -intercepto es(0,9).
Respuesta:
x-interceptar:(3,0);y -interceptar:(0,9)
Tenga en cuenta que las intercepciones son pares ordenados y no números. En otras palabras, lax -intercepción no esx=2 sino más bien(2,0). Además, no todas las gráficas necesariamente tienen ambas intercepciones: por ejemplo,
Figura3.3.2
La línea horizontal graficada arriba tiene unay -intercepción de(0,−2) y ningunax -intercepción.
Figura3.3.3
La línea vertical graficada arriba tiene unx -intercept(3,0) y noy -intercept.
Ejercicio3.3.1
Encuentra lasx - yy -intercepciones:
4x−y=2.
- Contestar
-
x-interceptar:(12,0);y -interceptar:(0,−2)
Graficar líneas mediante intercepciones
Dado que dos puntos determinan una línea, podemos usar lasy intercepcionesx - y -para graficar ecuaciones lineales. Acabamos de esbozar un método fácil para encontrar intercepciones; ahora delineamos los pasos para graficar líneas usando las intercepciones.
Ejemplo3.3.3
Gráfica usando intercepciones:
2x−3y=12.
Solución:
Paso 1: Encuentra las intercepcionesx - yy -intercepciones.
Tofindthex−intercept,sety=0._Tofindthey−intercept,setx=0._2x−3y=122x−3y=122x−3(0)=122(0)−3y=122x=12−3y=12x=6y=−4x−intercept:(6,0)y−intercept:(0,−4)
Paso 2: Traza las intercepciones y dibuja la línea a través de ellas. Usa una recta para crear una bonita línea recta. Agrega una flecha en cada extremo para indicar que la línea continúa indefinidamente en cualquier dirección.
Respuesta:
Figura3.3.4
Ejemplo3.3.4
Gráfica usando intercepciones:
y=−15x+3.
Solución:
Comience por determinar las intercepcionesx - y\ (y\ -.
x−intercept_y−intercept_y=−15x+3y=−15x+30=−15x+3y=−15(0)+315x=3y=35⋅15x=5⋅3y−intercept:(0,3)x=15x−intercept:(15,0)
A continuación, grafica los dos puntos y dibuja una línea a través de ellos con un borde recto.
Respuesta:
Figura3.3.5
Ejemplo3.3.5
Gráfica usando intercepciones:
y=−2x.
Solución:
x−intercept_y−intercept_y=−2xy=−2x0=−2xy=−2(0)0−2=−2x−2y=00=xy−intercept:(0,0)x−intercept:(0,0)
Aquí lasx - yy -intercepciones son en realidad el mismo punto, el origen. Vamos a necesitar al menos un punto más para que podamos graficar la línea. Elija cualquier valor parax y determine el valor correspondiente paray.
Figura3.3.6
Utilice las soluciones de par ordenadas(0,0),(−1,2), y(1,−2) para graficar la línea.
Respuesta:
Figura3.3.7
Para resumir, cualquier ecuación lineal se puede graficar encontrando dos puntos y conectándolos con una línea dibujada con una recta. Dos puntos importantes y útiles son losx - yy -interceptos; encontrar estos puntos sustituyendoy=0 yx=0, respectivamente. Este método para encontrar intercepciones será utilizado a lo largo de nuestro estudio del álgebra.
Ejercicio3.3.2
Gráfica usando intercepciones:
3x−5y=15.
- Contestar
-
x-interceptar:(5,0);y -interceptar:(0,−3)
Encontrar intercepciones dada la gráfica
Lasx - yy -intercepciones son puntos importantes en cualquier gráfica. Este capítulo se centrará en las gráficas de ecuaciones lineales. Sin embargo, en este punto, podemos usar estas ideas para determinar intercepciones de gráficas no lineales. Recuerde que las intercepciones son pares ordenados que indican dónde la gráfica intersecta los ejes.
Ejemplo3.3.6
Encuentra lasx - yy -intercepciones dadas la siguiente gráfica:
Figura3.3.8
Solución:
Vemos que la gráfica cruza elx eje -en dos lugares. Esta gráfica tiene dosx -intercepciones, a saber,(−4,0) y(2,0). Además, la gráfica cruza ely eje -en un solo lugar. El únicoy -intercepto es(0,−3).
Respuesta:
x-intercepta:(−4,0),(2,0);y -interceptar:(0,−3)
En nuestro estudio del álgebra, veremos que algunas gráficas tienen muchas intercepciones. Además, veremos que algunas gráficas no tienen ninguna.
Ejemplo3.3.7
Dada la siguiente gráfica, encuentre las intercepcionesx - yy -intercepciones:
Figura3.3.9
Solución:
Esta es una gráfica de un círculo; podemos ver que no se cruza con ninguno de los dos ejes. Por lo tanto, esta gráfica no tiene ninguna interceptación.
Respuesta:
Ninguno
Claves para llevar
- Dado que dos puntos determinan cualquier línea, podemos graficar líneas usando lasy intercepcionesx - y -.
- Para encontrar lax -intercepción, establecery=0 y resolver parax.
- Para encontrar lay -intercepción, establecerx=0 y resolver paray.
- Este método de encontrarx - yy -intercepciones se utilizará a lo largo de nuestro estudio del álgebra porque funciona para cualquier ecuación.
- Para graficar una línea, encuentra las intercepciones, si existen, y dibuja una línea recta a través de ellas. Use una recta para crear la línea e incluya flechas en cada extremo para indicar que la línea se extiende infinitamente en cualquier dirección.
- Las líneas horizontales y verticales no siempre tienen ambasx - yy -intercepciones.
Ejercicio3.3.3 Intercepts
Dada la gráfica, encuentra lasx - yy -intercepciones.
1.
Figura3.3.10
2.
Figura3.3.11
3.
Figura3.3.12
4.
Figura3.3.13
5.
Figura3.3.14
6.
Figura3.3.15
- Contestar
-
1. y-interceptar:(0,−3);x -interceptar:(4,0)
3. y-interceptar:(0,−3);x -interceptar: ninguno
5. y-interceptar:(0,0);x -interceptar:(0,0)
Ejercicio3.3.4 Intercepts
Encuentra lasx - yy -intercepciones.
- 5x−4y=20
- −2x+7y=−28
- x−y=3
- −x+y=0
- 3x−4y=1
- −2x+5y=3
- 14x−13y=1
- −25x+34y=2
- y=6
- y=−3
- x=2
- x=−1
- y=mx+b
- ax+by=c
- Contestar
-
1. x-interceptar:(4,0);y -interceptar:(0,−5)
3. x-interceptar:(3,0);y -interceptar:(0,−3)
5. x-interceptar:(13,0);y -interceptar:(0,−14)
7. x-interceptar:(4,0);y -interceptar:(0,−3)
9. x-interceptar: ninguno;y -interceptar:(0,6)
11. x-interceptar:(2,0);y -interceptar: ninguno
13. x-interceptar:(−bm,0);y -interceptar:(0,b)
Ejercicio3.3.5 Graph Using Intercepts
Encuentra las intercepciones y graficarlas.
- 3x+4y=12
- −2x+3y=6
- 5x−2y=10
- −4x−8y=16
- −12x+13y=1
- 34x−12y=−3
- 2x−52y=10
- 2x−73y=−14
- 4x−y=−8
- 6x−y=6
- –x+2y=1
- 3x+4y=6
- 2x+y=−1
- −2x+6y=3
- 15x+4y=−60
- −25x+3y=75
- 4x+2y=0
- 3x−y=0
- −12x+6y=−4
- 3x+12y=−4
- y=2x+4
- y=−x+3
- y=\frac{1}{2}x+1
- y=\frac{2}{3}x−3
- y=−\frac{2}{5}x+1
- y=−\frac{5}{8}x−\frac{5}{4}
- y=−\frac{7}{8}x−\frac{7}{2}
- y=−x+\frac{3}{2}
- y=3
- y=\frac{3}{2}
- x=5
- x=−2
- y=5x
- y=−x
- Contestar
-
1.
Figura\PageIndex{16}
3.
Figura\PageIndex{17}
5.
Figura\PageIndex{18}
7.
Figura\PageIndex{19}
9.
Figura\PageIndex{20}
11.
Figura\PageIndex{21}
13.
Figura\PageIndex{22}
15.
Figura\PageIndex{23}
17.
Figura\PageIndex{24}
19.
Figura\PageIndex{25}
21.
Figura\PageIndex{26}
23.
Figura\PageIndex{27}
25.
Figura\PageIndex{28}
27.
Figura\PageIndex{29}
29.
Figura\PageIndex{30}
31.
Figura\PageIndex{31}
33.
Figura\PageIndex{32}
Ejercicio\PageIndex{6} Intercepts of Nonlinear Graphs
Dada la gráfica encontrar lasx - yy -intercepciones.
1.
Figura\PageIndex{33}
2.
Figura\PageIndex{34}
3.
Figura\PageIndex{35}
4.
Figura\PageIndex{36}
5.
Figura\PageIndex{37}
6.
Figura\PageIndex{38}
7.
Figura\PageIndex{39}
8.
Figura\PageIndex{40}
9.
Figura\PageIndex{41}
10.
Figura\PageIndex{42}
- Contestar
-
1. x-intercepta:(−3, 0), (3, 0);y -interceptar:(0, −3)
3. x-intercepta:(−4, 0), (0, 0);y -interceptar:(0, 0)
5. x-intercepta:(−2, 0), (2, 0);y -interceptar:(0, −1)
7. x-intercepta:(−3, 0), (0, 0), (2, 0);y -interceptar:(0, 0)
9. x-intercepta:(−4, 0), (4, 0);y -intercepta:(0, −4), (0, 4)
Ejercicio\PageIndex{7} Discussion Board Topics
- ¿Cuáles son lasx -intercepciones de la líneay = 0?
- ¿Cuáles son lasy -intercepciones de la líneax = 0?
- ¿Todas las líneas tienen intercepciones?
- ¿Cuántas intercepciones puede tener un círculo? Dibuja círculos que muestren todos los números posibles de intercepciones.
- Investigar y publicar las definiciones de segmento de línea, rayo y línea. ¿Por qué son importantes las flechas?
- Contestar
-
1. Las respuestas pueden variar
3. Las respuestas pueden variar
5. Las respuestas pueden variar