3.6: Líneas paralelas y perpendiculares

Objetivos de aprendizaje

• Determinar las pendientes de líneas paralelas y perpendiculares.
• Encuentra ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares

Definición de Paralelo y perpendicular

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que nunca se cruzan. Dos líneas no verticales en un mismo plano, con pendientes$m_{1}$ y$m_{2}$, son paralelas si sus pendientes son iguales,$m_{1}=m_{2}$. Considera las siguientes dos líneas:

Considera sus gráficas correspondientes:

Figura$\PageIndex{1}$

Ambas líneas tienen pendiente$m=\frac{3}{4}$ y por lo tanto son paralelas.

Las líneas perpendiculares son líneas en el mismo plano que se cruzan en ángulos rectos ($90$grados). Dos líneas no verticales en un mismo plano, con pendientes$m_{1}$ y$m_{2}$, son perpendiculares si el producto de sus pendientes es$−1: m1⋅m2=−1$. Podemos resolver$m_{1}$ y obtener$m_{1}=\frac{−1}{m_{2}}$. De esta forma, vemos que las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas negativas, u recíprocas opuestas. Por ejemplo, si se le da una pendiente

$m=-\frac{5}{8}$

entonces la pendiente de una línea perpendicular es el recíproco opuesto:

$m_{\perp}=\frac{8}{5}$

La notación matemática$m_{⊥}$ dice “$m$perpendicular”. Podemos verificar que dos pendientes produzcan líneas perpendiculares si su producto es$−1$.

$m\cdot m_{\perp}=-\frac{5}{8}\cdot\frac{8}{5}=-\frac{40}{40}=-1\quad\color{Cerulean}{\checkmark}$

Geométricamente, observamos que si una línea tiene una pendiente positiva, entonces cualquier línea perpendicular tendrá una pendiente negativa. Además, se intercambian la subida y la carrera entre dos líneas perpendiculares.

Figura$\PageIndex{2}$

Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas opuestas, así que recuerda encontrar lo recíproco y cambiar el signo. En otras palabras,

Si$m=\frac{a}{b}$, entonces$m_{\perp}=-\frac{b}{a}$

Determinar la pendiente de una línea perpendicular se puede realizar mentalmente. Algunos ejemplos siguen

Mesa$\PageIndex{1}$

Pendiente dada	Pendiente de línea perpendicular
$m=\frac{1}{2}$	$m_{\perp}=-2$
$m=-\frac{3}{4}$	$m_{\perp}=\frac{4}{3}$
$m=3$	$m_{\perp}=-\frac{1}{3}$
$m=-4$	$m_{\perp}=\frac{1}{4}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Determinar la pendiente de una línea paralela a$y=−5x+3$.

Solución:

Dado que la línea dada está en forma de pendiente-intersección, podemos ver que su pendiente es$m=−5$. Así la pendiente de cualquier línea paralela a la línea dada debe ser la misma,$m_{∥}=−5$. La notación matemática$m_{∥}$ dice “$m$paralelo”.

Respuesta:

$m_{∥}=−5$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Determinar la pendiente de una línea perpendicular a$3x−7y=21$.

Solución:

Primero, resolver$y$ y expresar la línea en forma de pendiente-intercepción.

En esta forma, podemos ver que la pendiente de la línea dada es$m=\frac{3}{7}$, y así$m_{⊥}=−\frac{7}{3}$.

Respuesta:

$m_{⊥}=−\frac{7}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Encuentra la pendiente de la línea perpendicular a$15x+5y=20$.

Contestar

$m_{\perp}=\frac{1}{3}$

Encontrar ecuaciones de líneas paralelas y perpendiculares

Hemos visto que la gráfica de una línea está completamente determinada por dos puntos o un punto y su pendiente. A menudo se le pedirá que encuentre la ecuación de una línea dada alguna relación geométrica, por ejemplo, si la línea es paralela o perpendicular a otra línea.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra la ecuación de la línea que pasa a través$(6, −1)$ y paralela a$y=\frac{1}{2}x+2$

Solución

Aquí la línea dada tiene pendiente$m=\frac{1}{2}$, y la pendiente de una línea paralela es$m_{∥}=\frac{1}{2}$. Como se le da un punto y la pendiente, utilice la forma de punto-pendiente de una línea para determinar la ecuación.

$\begin{array}{cc}{\color{Cerulean}{Point}}&{\color{Cerulean}{Slope}}\\{(6,-1)}&{m_{\parallel}=\frac{1}{2}} \end{array}$

Respuesta:

$y=\frac{1}{2}x-4$

Es importante tener una comprensión geométrica de esta cuestión. Se nos pidió encontrar la ecuación de una línea paralela a otra línea que pasaba por cierto punto.

Figura$\PageIndex{3}$

A través del punto$(6, −1)$ encontramos una línea paralela,$y=\frac{1}{2}x−4$, mostrada discontinua. Observe que la pendiente es la misma que la línea dada, pero la$y$ -intercepción es diferente. Si tenemos en cuenta la interpretación geométrica, entonces será más fácil recordar el proceso necesario para resolver el problema.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra la ecuación de la línea que pasa a través$(−1, −5)$ y perpendicular a$y=−\frac{1}{4}x+2$.

Solución:

La línea dada tiene pendiente$m=−\frac{1}{4}$, y por lo tanto$m_{⊥}=+\frac{4}{1}=4$. Sustituya esta pendiente y el punto dado en forma de pendiente puntual.

$\begin{array}{cc} {\color{Cerulean}{Point}}&{\color{Cerulean}{Slope}}\\{(-1,-5)}&{m_{\perp}=4}\end{array}$

Respuesta:

$y=4x-1$

Geométricamente, vemos que la línea$y=4x−1$, que se muestra discontinua abajo, pasa a través$(−1, −5)$ y es perpendicular a la línea dada.

Figura$\PageIndex{4}$

No siempre ocurre que la línea dada esté en forma de pendiente-intercepción. Muchas veces hay que realizar pasos adicionales para determinar la pendiente. Los pasos generales para encontrar la ecuación de una línea se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Encuentra la ecuación de la línea que pasa a través$(8, −2)$ y perpendicular a$6x+3y=1$.

Solución:

Paso 1: Encuentra la pendiente$m$. Primero, encuentra la pendiente de la línea dada. Para ello, resuelva$y$ para cambiar forma estándar a forma pendiente-interceptar,$y=mx+b$.

$\begin{aligned} 6x+3y&=1 \\ 6x+3y\color{Cerulean}{-6x}&=1\color{Cerulean}{-6x} \\ 3y&=-6x+1 \\ \frac{3y}{\color{Cerulean}{3}}&=\frac{-6x+1}{\color{Cerulean}{3}} \\ y&=\frac{-6x}{3}+\frac{1}{3}\\y&=-2x+\frac{1}{3} \end{aligned}$

En esta forma, se puede ver que la pendiente es$m=−2=−\frac{2}{1}$, y así$m_{⊥}=\frac{−1}{−2}=+\frac{1}{2}$.

Paso 2: Sustituye la pendiente que encontraste y el punto dado en la forma de punto-pendiente de una ecuación por una línea. En este caso, la pendiente es$m_{⊥}=\frac{1}{2}$ y el punto dado es$(8, −2)$.

$\begin{aligned} y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \\ y-(-2)&=\frac{1}{2}(x-8) \end{aligned}$

Paso 3: Resolver para$y$.

Respuesta:

$y=\frac{1}{2}x−6$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Encuentra la ecuación de la línea que pasa a través$(\frac{7}{2}, 1)$ y paralela a$2x+14y=7$.

Solución:

Encuentra la pendiente$m$ resolviendo para$y$.

$\begin{aligned} 2x+14y&=7 \\ 2x+14y\color{Cerulean}{-2x}&=7\color{Cerulean}{-2x} \\ 14y&=-2x+7 \\ \frac{14y}{\color{Cerulean}{14}}&=\frac{-2x+7}{\color{Cerulean}{14}} \\ y&=\frac{-2x}{14}+\frac{7}{14} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2} \end{aligned}$

La línea dada tiene la pendiente$m=−\frac{1}{7}$, y así$m_{∥}=−\frac{1}{7}$. Utilizamos esto y el punto$(\frac{7}{2}, 1)$ en forma de punto-pendiente.

$\begin{aligned} y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \\ y-1&=-\frac{1}{7}\left(x-\frac{7}{2} \right) \\ y-1&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2} \\ y-1\color{Cerulean}{+1}&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2}\color{Cerulean}{+1} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{1}{2}+\color{Cerulean}{\frac{2}{2}} \\ y&=-\frac{1}{7}x+\frac{3}{2} \end{aligned}$

Respuesta:

$y=-\frac{1}{7}x+\frac{3}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Encuentra la ecuación de la línea perpendicular a$x−3y=9$ y que pasa por ella$(−\frac{1}{2}, 2)$.

Contestar

$y=-3x+\frac{1}{2}$

Al encontrar una ecuación de una línea perpendicular a una línea horizontal o vertical, lo mejor es considerar la interpretación geométrica.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Encuentra la ecuación de la línea que pasa a través$(−3, −2)$ y perpendicular a$y=4$.

Solución:

Reconocemos que$y=4$ es una línea horizontal y queremos encontrar una línea perpendicular que pase por ella$(−3, −2)$.

Figura$\PageIndex{5}$

Si dibujamos la línea perpendicular a la línea horizontal dada, el resultado es una línea vertical.

Figura$\PageIndex{6}$

Parecen ecuaciones de líneas verticales$x=k$. Ya que debe pasar$(−3, −2)$, concluimos que esa$x=−3$ es la ecuación. Todas las soluciones de pares ordenadas de una línea vertical deben compartir la misma$x$ coordenada.

Respuesta:

$x=−3$

Podemos reescribir la ecuación de cualquier línea horizontal,$y=k$, en forma pendiente-intercepción de la siguiente manera:

$y=0x+k$

Escrito en esta forma, vemos que la pendiente es$m=0=\frac{0}{1}$. Si tratamos de encontrar la pendiente de una línea perpendicular encontrando el recíproco opuesto, nos encontramos con un problema:$m_{⊥}=−\frac{1}{0}$, que no está definido. Es por ello que nos encargamos de restringir la definición a dos líneas no verticales. Recuerda que las líneas horizontales son perpendiculares a las verticales.

Claves para llevar

• Las líneas paralelas tienen la misma pendiente.
• Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas opuestas. En otras palabras, si$m=\frac{a}{b}$, entonces$m_{⊥}=−\frac{b}{a}$.
• Para encontrar una ecuación de una línea, primero use la información dada para determinar la pendiente. Luego usa la pendiente y un punto en la línea para encontrar la ecuación usando la forma de punto-pendiente.
• Las líneas horizontales y verticales son perpendiculares entre sí.

Ejercicio$\PageIndex{3}$ Parallel and Perpendicular Lines

Determinar la pendiente de líneas paralelas y perpendiculares.

1. $y=−\frac{3}{4}x+8$
2. $y=\frac{1}{2}x−3$
3. $y=4x+4$
4. $y=−3x+7$
5. $y=−\frac{5}{8}x−12$
6. $y=\frac{7}{3}x+\frac{3}{2}$
7. $y=9x−25$
8. $y=−10x+15$
9. $y=5$
10. $x=−12$
11. $x−y=0$
12. $x+y=0$
13. $4x+3y=0$
14. $3x−5y=10$
15. $−2x+7y=14$
16. $−x−y=\frac{1}{5}$
17. $\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=−1$
18. $−\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}y=8$
19. $2x−\frac{1}{5}y=\frac{1}{10}$
20. $−\frac{4}{5}x−2y=7$

Contestar

1. $m_{∥}=−\frac{3}{4}$y$m_{⊥}=\frac{4}{3}$

3. $m_{∥}=4$y$m_{⊥}=−\frac{1}{4}$

5. $m_{∥}=−\frac{5}{8}$y$m_{⊥}=\frac{8}{5}$

7. $m_{∥}=9$y$m_{⊥}=−\frac{1}{9}$

9. $m_{∥}=0$y$m_{⊥}$ undefined

11. $m_{∥}=1$y$m_{⊥}=−1$

13. $m_{∥}=−\frac{4}{3}$y$m_{⊥}=\frac{3}{4}$

15. $m_{∥}=\frac{2}{7}$y$m_{⊥}=−\frac{7}{2}$

17. $m_{∥}=\frac{3}{2}$y$m_{⊥}=−\frac{2}{3}$

19. $m_{∥}=10$y$m_{⊥}=−\frac{1}{10}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$ Parallel and Perpendicular Lines

Determina si las líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna.

1. $\left\{\begin{aligned}y&=\frac{2}{3}x+3\\y&=\frac{2}{3}x−3\end{aligned}\right.$
2. $\left\{\begin{aligned}y&=\frac{3}{4}x−1\\y&=\frac{4}{3}x+3\end{aligned}\right.$
3. $\left\{\begin{aligned}y&=−2x+1\\ y&=\frac{1}{2}x+8\end{aligned}\right.$
4. $\left\{\begin{aligned}y&=3x−\frac{1}{2}\\ y&=3x+2\end{aligned}\right.$
5. $\left\{\begin{aligned}y&=5\\x&=−2\end{aligned}\right.$
6. $\left\{\begin{aligned}y&=7\\y&=−\frac{1}{7}\end{aligned}\right.$
7. $\left\{\begin{aligned}3x−5y&=15\\ 5x+3y&=9\end{aligned}\right.$
8. $\left\{\begin{aligned}x−y&=7\\3x+3y&=2\end{aligned}\right.$
9. $\left\{\begin{aligned}2x−6y&=4\\−x+3y&=−2 \end{aligned}\right.$
10. $\left\{\begin{aligned}−4x+2y&=3\\6x−3y&=−3 \end{aligned}\right.$
11. $\left\{\begin{aligned}x+3y&=9\\2x+3y&=6 \end{aligned}\right.$
12. $\left\{\begin{aligned}y−10&=0\\x−10&=0 \end{aligned}\right.$
13. $\left\{\begin{aligned}y+2&=0\\2y−10&=0 \end{aligned}\right.$
14. $\left\{\begin{aligned}3x+2y&=6\\2x+3y&=6 \end{aligned}\right.$
15. $\left\{\begin{aligned}−5x+4y&=20\\10x−8y&=16 \end{aligned}\right.$
16. $\left\{\begin{aligned}\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y&=1\\\frac{1}{6}x+\frac{1}{4}y&=−2\end{aligned}\right.$

Contestar

1. Paralelo

3. perpendiculares

5. perpendiculares

7. perpendiculares

9. Paralelo

11. Tampoco

13. Paralelo

15. Paralelo

Ejercicio$\PageIndex{5}$ Equations in Point-Slope Form

Encuentra la ecuación de la línea

1. Paralelo$y=\frac{1}{2}x+2$ y de paso$(6, −1)$.
2. Paralelo$y=−\frac{3}{4}x−3$ y de paso$(−8, 2)$.
3. Perpendicular a$y=3x−1$ y de paso$(−3, 2)$.
4. Perpendicular a$y=−\frac{1}{3}x+2$ y de paso$(4, −3)$.
5. Perpendicular a$y=−2$ y de paso$(−1, 5)$.
6. Perpendicular a$x=\frac{1}{5}$ y de paso$(5, −3)$.
7. Paralelo$y=3$ y de paso$(2, 4)$.
8. Paralelo$x=2$ y pasando por (7, −3)\).
9. Perpendicular a$y=x$ y de paso$(7, −13)$.
10. Perpendicular a$y=2x+9$ y de paso$(3, −1)$.
11. Paralelo$y=\frac{1}{4}x−5$ y de paso$(−2, 1)$.
12. Paralelo$y=−\frac{3}{4}x+1$ y de paso$(4, \frac{1}{4})$.
13. Paralelo$2x−3y=6$ y de paso$(6, −2)$.
14. Paralelo$−x+y=4$ y de paso$(9, 7)$.
15. Perpendicular a$5x−3y=18$ y de paso$(−9, 10)$.
16. Perpendicular a$x−y=11$ y de paso$(6, −8)$.
17. Paralelo$\frac{1}{5}x−\frac{1}{3}y=2$ y de paso$(−15, 6)$.
18. Paralelo$−10x−\frac{5}{7}y=12$ y de paso$(−1, \frac{1}{2})$.
19. Perpendicular a$\frac{1}{2}x−\frac{1}{3}y=1$ y de paso$(−10, 3)$.
20. Perpendicular a$−5x+y=−1$ y de paso$(−4, 0)$.
21. Paralelo$x+4y=8$ y de paso$(−1, −2)$.
22. Paralelo$7x−5y=35$ y de paso$(2, −3)$.
23. Perpendicular a$6x+3y=1$ y de paso$(8, −2)$.
24. Perpendicular a$−4x−5y=1$ y de paso$(−1, −1)$.
25. Paralelo$−5x−2y=4$ y de paso$(\frac{1}{5}, −\frac{1}{4})$.
26. Paralelo$6x−\frac{3}{2}y=9$ y de paso$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$.
27. Perpendicular a$y−3=0$ y de paso$(−6, 12)$.
28. Perpendicular a$x+7=0$ y de paso$(5, −10)$.

Contestar

1. $y=\frac{1}{2}x−4$

3. $y=−\frac{1}{3}x+1$

5. $x=−1$

7. $y=4$

9. $y=−x−6$

11. $y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

13. $y=\frac{2}{3}x−6$

15. $y=−\frac{3}{5}x+\frac{23}{5}$

17. $y=\frac{3}{5}x+15$

19. $y=−\frac{2}{3}x−\frac{11}{3}$

21. $y=−\frac{1}{4}x−\frac{9}{4}$

23. $y=\frac{1}{2}x−6$

25. $y=−\frac{5}{2}x+\frac{1}{4}$

27. $x=−6$