5.1: Reglas de Exponentes

Objetivos de aprendizaje

• Simplifica las expresiones usando las reglas de los exponentes.
• Simplifica las expresiones que involucran paréntesis y exponentes.
• Simplificar expresiones que implican$0$ como exponente.

Producto, cociente y regla de potencia para exponentes

Si un factor se repite varias veces, entonces el producto se puede escribir en forma exponencial$x_{n}$. El exponente entero positivo$n$ indica el número de veces que la base$x$ se repite como factor

Por ejemplo,

$5^{4}=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$

Aquí está la base$5$ y el exponente está$4$. Los exponentes a veces se indican con el símbolo de signo de contacto (^) que se encuentra en el teclado:$5$ ^$4 = 5*5*5*5$.

A continuación considere el producto de$2^{3}$ y$2^{5}$,

Ampliar la expresión usando la definición produce múltiples factores de la base, lo cual es bastante engorroso, particularmente cuando$n$ es grande. Por ello, desarrollaremos algunas reglas útiles para ayudarnos a simplificar expresiones con exponentes. En este ejemplo, observe que podríamos obtener el mismo resultado sumando los exponentes.

$2^{3}\cdot 2^{5}=2^{3+5}=2^{8}$

En general, esto describe la regla del producto para exponentes. Si$m$ y$n$ son enteros positivos, entonces

$$x^{m}\cdot x^{n} = x^{m+n}$$

Es decir, al multiplicar dos expresiones con la misma base, sumar los exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Simplificar:$10^{5}\cdot 10^{18}$.

Solución:

$\begin{aligned} 10^{5}\cdot 10^{18}&=10^{5+18} \\ &=10^{23} \end{aligned}$

Respuesta:

$10^{23}$

En el ejemplo anterior, observe que no multiplicamos la base 10 veces en sí misma. Al aplicar la regla del producto, agrega los exponentes y deja la base sin cambios.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Simplificar:$x^{6}⋅x^{12}⋅x$.

Solución:

Recordemos que$x$ se supone que la variable tiene un exponente de$1: x=x^{1}$.

$\begin{aligned} x^{6}\cdot x^{12}\cdot x &=x^{6}\cdot x^{12}\cdot x^{1} \\ &=x^{6+12+1} \\ &=x^{19} \end{aligned}$

Respuesta:

$x^{19}$

La base podría ser cualquier expresión algebraica.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Simplificar:$(x+y)^{9} (x+y)^{13}$.

Solución:

Tratar la expresión$(x+y)$ como la base.

$\begin{aligned} (x+y)^{9}(x+y)^{13}&=(x+y)^{9+13} \\ &=(x+y)^{22} \end{aligned}$

Respuesta:

$(x+y)^{22}$

La propiedad conmutativa de la multiplicación nos permite utilizar la regla de producto para exponentes para simplificar factores de una expresión algebraica.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Simplificar:$2x^{8}y⋅3x^{4}y^{7}$.

Solución:

Multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de factores variables con la misma base.

$\begin{aligned} 2x^{8}y\cdot 3x^{4}y^{7}&=2\cdot 3\cdot x^{8}\cdot x^{4}\cdot y^{1}\cdot y^{7} &\color{Cerulean}{Commutative\:property} \\ &=6\cdot x^{8+4}\cdot y^{1+7} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:exponents} \\ &=6x^{12}y^{8} \end{aligned}$

Respuesta:

$6x^{12}y^{8}$

A continuación, desarrollaremos una regla para la división observando primero el cociente de$2^{7}$ y$2^{3}$.

Figura$\PageIndex{3}$

Aquí podemos cancelar factores después de aplicar la definición de exponentes. Observe que el mismo resultado se puede obtener restando los exponentes.

$$\frac{2^{7}}{2^{3}}=2^{7-3}=2^{4} \nonumber$$

Esto describe la regla del cociente para los exponentes. Si$m$ y$n$ son enteros positivos y$x≠0$, entonces

$$\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n} \nonumber$$

En otras palabras, cuando divides dos expresiones con la misma base, restas los exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Simplificar:$\frac{12y^{15}}{4y^{7}}$.

Solución:

Dividir los coeficientes y restar los exponentes de la variable$y$.

$\begin{aligned} \frac{12y^{15}}{4y^{7}}&=\frac{12}{4}\cdot y^{15-7}\\ &=3y^{8} \end{aligned}$

Respuesta:

$3y^{8}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Simplificar:$\frac{20x^{10}(x+5)^{6}}{10x^{9}(x+5)^{2}}$

Solución:

$\begin{aligned} \frac{20x^{10}(x+5)^{6}}{10x^{9}(x+5)^{2}}&=\frac{20}{10}\cdot x^{10-9}\cdot (x+5)^{6-2} \\ &=2x^{1}(x+5)^{4} \end{aligned}$

Respuesta:

$2x(x+5)^{4}$

Ahora elevar$2^{3}$ a la cuarta potencia de la siguiente manera:

Después de escribir la base$2^{3}$ como factor cuatro veces, ampliar para obtener$12$ factores de$2$. Podemos obtener el mismo resultado multiplicando los exponentes.

$(2^{3})^{^{4}} = 2^{3\cdot 4} = 2^{12}$

En general, esto describe la regla de potencia para exponentes. Dados enteros positivos$m$ y$n$, entonces

$$(x^{m})^{^{n}}=x^{m\cdot n}$$

Es decir, al elevar una potencia a una potencia, multiplicar los exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Simplificar:$(y^{6})^{^{7}}=y^{6\cdot 7}$

Solución:

$\begin{aligned} (y^{6})^{^{7}}&=y^{6\cdot 7} \\ &=y^{42} \end{aligned}$

Respuesta:

$y^{42}$

Para resumir, hemos desarrollado tres reglas muy útiles de exponentes que se utilizan ampliamente en álgebra. Si se dan enteros positivos$m$ y$n$, entonces

• Regla del producto: $$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$$
• Regla del cociente: $$\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}, x\neq 0$$
• Regla de potencia: $$(x^{m})^{^{n}} = x^{m\cdot n}$$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Simplificar:$y^{5}⋅(y^{4})^{^{6}}$.

Contestar

$y^{29}$

Reglas de poder para productos y cocientes

Ahora consideramos elevar los productos agrupados a una potencia. Por ejemplo,

$\begin{aligned} (xy)^{4} &= xy\cdot xy\cdot xy\cdot xy \\ &=x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\quad\color{Cerulean}{Commutative\:property} \\ &=x^{4}\cdot y^{4} \end{aligned}$

Después de expandirnos, tenemos cuatro factores del producto$xy$. Esto equivale a elevar cada uno de los factores originales a la cuarta potencia. En general, esto describe la regla de potencia para un producto. Si$n$ es un entero positivo, entonces

$$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Simplificar:$(2ab)^{7}=2^{7}a^{7}b^{7}$.

Solución:

Debemos aplicar el exponente$7$ a todos los factores, incluido el coeficiente,$2$.

$\begin{aligned} (2ab)^{7}&=2^{7}a^{7}b^{7} \\ &=128a^{7}b^{7} \end{aligned}$

Si un coeficiente se eleva a una potencia relativamente pequeña, entonces presentar el número real equivalente, como hicimos en este ejemplo:$2^{7}=128$.

Respuesta:

$128a^{7}b^{7}$

En muchos casos, el proceso de simplificación de expresiones que involucran exponentes requiere el uso de varias reglas de exponentes.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Simplificar:$(3xy^{3})^{^{4}}$.

Solución:

$\begin{aligned} (3xy^{3})^{^{4}}&=3^{4}\cdot x^{4}\cdot (y^{3})^{^{4}} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:products} \\ &=3^{4}x^{4}y^{3\cdot 4} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:exponents} \\ &=81x^{4}y^{12} \end{aligned}$

Respuesta:

$81x^{4}y^{12}$

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Simplificar:$(4x^{2}y^{5}z)^{^{3}}$.

Solución:

$\begin{aligned} (4x^{2}y^{5}z)^{^{3}}&=4^{3}\cdot(x^{2})^{^{3}}\cdot (y^{5})^{^{3}}\cdot z^{3} \\ &=64x^{6}y^{15}z^{3} \end{aligned}$

Respuesta:

$64x^{6}y^{15}z^{3}$

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Simplificar:$[5(x+y)^{3}]^{^{3}}$

Solución:

$\begin{aligned} [5(x+y)^{3}]^{^{3}} &=5^{3}\cdot (x+y)^{9} \\ &=125(x+y)^{9} \end{aligned}$

Respuesta:

$125(x+y)^{9}$

A continuación, consideremos un cociente elevado a una potencia.

$\begin{aligned} \left( \frac{x}{y} \right) ^{4} &= \frac{x}{y}\cdot \frac{x}{y}\cdot \frac{x}{y}\cdot \frac{x}{y} \\ &=\frac{x\cdot x\cdot x\cdot x}{y\cdot y\cdot y\cdot y} \\ &=\frac{x^{4}}{y^{4}} \end{aligned}$

Aquí obtenemos cuatro factores del cociente, lo que equivale al numerador y al denominador ambos elevados a la cuarta potencia. En general, esto describe la regla de poder para un cociente. Si$n$ es un número entero positivo y$y≠0$, entonces

$$\left( \frac{x}{y} \right) ^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}$$

Es decir, dada una fracción elevada a una potencia, podemos aplicar ese exponente al numerador y al denominador. Esta regla requiere que el denominador sea distinto de cero. Haremos esta suposición para el resto de la sección.

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Simplificar:$\left(\frac{3a}{b} \right) ^{3}$

Solución:

Primero, aplicar la regla de poder para un cociente y luego la regla de poder para un producto.

$\begin{aligned} \left(\frac{3a}{b} \right) ^{3}&=\frac{(3a)^{3}}{b^{3}} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:a\:quotient} \\ &=\frac{3^{3}\cdot a^{3}}{b^{3}} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:a\:product} \\ &=\frac{27a^{3}}{b^{3}} \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac{27a^{3}}{b^{3}}$

En la práctica, a menudo combinamos estos dos pasos aplicando el exponente a todos los factores en el numerador y el denominador.

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Simplificar:$\left( \frac{ab^{2}}{2c^{3}} \right)^{5}$

Solución:

Aplicar el exponente$5$ a todos los factores en el numerador y el denominador.

$\begin{aligned} \left( \frac{ab^{2}}{2c^{3}} \right)^{5}&=\frac{a^{5}(b^{2})^{^{5}}}{2^{5}(c^{3})^{^{5}}} \\ &=\frac{a^{5}b^{10}}{32c^{15}} \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac{a^{5}b^{10}}{32c^{15}}$

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Simplificar:$\left( \frac{5x^{5}(2x-1)^{4}}{3y^{7}} \right) ^{2}$

Solución:

$\begin{aligned} \left( \frac{5x^{5}(2x-1)^{4}}{3y^{7}} \right) ^{2} &=\frac{(5x^{5}(2x-1)^{4})^{2}}{(3y^{7})^{^{2}}} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:a\:quotient} \\ &=\frac{5^{2}\cdot (x^{5})^{^{2}}\cdot [(2x-1)^{4}]^{2}}{3^{2}\cdot (y^{7})^{^{2}}} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:products} \\ &=\frac{25x^{10}(2x-1)^{8}}{9y^{14}} &\color{Cerulean}{Power\:rule\:for\:exponents} \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac{25x^{10}(2x-1)^{8}}{9y^{14}}$

Es una buena práctica simplificar entre paréntesis antes de usar las reglas de poder; esto es consistente con el orden de las operaciones.

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Simplificar:$\left( \frac{-2x^{3}y^{4}z}{xy^{2}} \right)^{4}$

Solución:

$\begin{aligned} \left( \frac{-2x^{3}y^{4}z}{xy^{2}} \right)^{4}&=(-2\cdot x^{3-1}\cdot y^{4-2}\cdot z)^{4} &\color{Cerulean}{Simplify\:within\:the\:parentheses\:first.} \\ &=(-2\cdot x^{2}\cdot y^{2} \cdot z)^{4} &\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:a\:product.} \\ &=(-2)^{4}\cdot (x^{2})^{^{4}}\cdot (y^{2})^{^{4}}\cdot z^{4}&\color{Cerulean}{Apply\:the\:power\:rule\:for\:exponents.} \\ &=16x^{8}y^{8}z^{4} \end{aligned}$

Respuesta:

$16x^{8}y^{8}z^{4}$

Para resumir, hemos desarrollado dos nuevas reglas que son útiles cuando se utilizan símbolos de agrupación en conjunto con exponentes. Si se le da un entero positivo$n$, donde$y$ es un número distinto de cero, entonces

• Regla de potencia para un producto: $$(xy)^{n} = x^{n}y^{n}$$
• Regla de poder para un cociente: $$\left( \frac{x}{y} \right)^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}$$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Simplificar:$\left(\frac{4x^{2}(x-y)^{3}}{3yz^{5}} \right)^{3}$

Contestar

$\frac{64x^{6}(x-y)^{9}}{27y^{3}z^{15}}$

Cero como exponente

Usando la regla del cociente para exponentes, podemos definir lo que significa tener$0$ como exponente. Considera el siguiente cálculo:

\ (\ color {cerúleo} {1}\ color {negro} {=\ frac {8} {8} =\ frac {2^ {3}} {2^ {3}} =2^ {3-3} =}\ color {cerúleo} {2^ {0}}

Ocho dividido por$8$ es claramente igual a$1$, y cuando se aplica la regla del cociente para exponentes, vemos que resulta un$0$ exponente. Esto nos lleva a la definición de cero como exponente, donde$x≠0$:

$$x^{0}=1$$

Es importante señalar que no$0^{0}$ está definido. Si la base es negativa, entonces el resultado está quieto$+1$. En otras palabras, cualquier base distinta de cero elevada a la$0$ potencia se define como que sea$1$. En los siguientes ejemplos, supongamos que todas las variables son distintas de cero.

Ejemplo$\PageIndex{16}$

Simplificar:

1. $(-5)^{0}$
2. $-5^{0}$

Solución:

1. Cualquier cantidad distinta de cero elevada a la$0$ potencia es igual a$1$.

$(-5)^{0}=1$

B.En el ejemplo$−5^{0}$, la base es$5$, no$−5$.

Respuesta:

1. $1$
2. $-1$

Ejemplo$\PageIndex{17}$

Simplificar:

$(5x^{3}y^{0}z^{2})^{^{2}}$.

Solución:

Es una buena práctica simplificar primero entre paréntesis.

$\begin{aligned} (5x^{3}\color{Cerulean}{y^{0}}\color{black}{z^{2})^{^{2}}}&=(5x^{3}\cdot\color{Cerulean}{1}\color{black}{\cdot z^{2})^{2}} \\ &=(5x^{3}z^{2})^{2} \\ &=5^{2}x^{3\cdot 2}z^{2\cdot 2} \\ &=25x^{6}z^{4} \end{aligned}$

Respuesta:

$25x^{6}z^{4}$

Ejemplo$\PageIndex{18}$

Simplificar:

$\left( -\frac{8a^{10}b^{5}}{5c^{12}d^{14}} \right) ^{0}$.

Solución:

$\left( -\frac{8a^{10}b^{5}}{5c^{12}d^{14}} \right) ^{0} =1$

Respuesta:

$1$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Simplificar:

$5x^{0}$y$(5x)^{0}$

Contestar

$5x^{0}=5$y$(5x)^{0}=1$

Claves para llevar

• Las reglas de los exponentes permiten simplificar expresiones que involucran exponentes.
• Al multiplicar dos cantidades con la misma base, agregue exponentes:$x^{m}⋅x^{n}=x^{m+n}$.
• Al dividir dos cantidades con la misma base, restar exponentes:$\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m−n}$.
• Al elevar poderes a potencias, multiplicar exponentes:$(x^{m})^{^{n}}=x^{m⋅n}$.
• Cuando una cantidad agrupada que implica multiplicación y división se eleva a un poder, aplique ese poder a todos los factores en el numerador y el denominador:$(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$ y$(\frac{x}{y})^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}$.
• Cualquier cantidad distinta de cero elevada a la$0$ potencia se define para que sea igual a$1: x^{0}=1$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$ Product, Quotient, and Power Rule for Exponents

Escribe cada expresión usando forma exponencial.

1. $(2x)(2x)(2x)(2x)(2x)$
2. $(−3y)(−3y)(−3y)$
3. $−10⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a$
4. $12⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y⋅y⋅y⋅y$
5. $−6⋅(x−1)(x−1)(x−1)$
6. $(9ab)(9ab)(9ab)(a^{2}−b)(a^{2}−b)$

Contestar

1. $(2x)^{5}$

3. $-10a^{7}$

5. $-6(x-1)^{3}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$ Product, Quotient, and Power Rule for Exponents

Simplificar.

1. $2^{7}⋅2^{5}$
2. $3^{9}⋅3$
3. $−2^{4}$
4. $(−2)^{4}$
5. $−3^{3}$
6. $(−3)^{4}$
7. $10^{13}⋅10^{5}⋅10^{4}$
8. $10^{8}⋅10^{7}⋅10$
9. $\frac{5^{12}}{5^{2}}$
10. $\frac{10^{7}}{10^{10}}$
11. $\frac{10^{12}}{10^{9}}$
12. $(7^{3})^{^{5}}$
13. $(4^{8})^{^{4}}$
14. $10^{6}⋅(10^{5})^{^{4}}$

Contestar

1. $2^{12}$

3. $−16$

5. $−27$

7. $10^{22}$

9. $5^{10}$

11. $10^{3}$

13. $4^{32}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$ Product, Quotient, and Power Rule for Exponents

Simplificar.

1. $(−x)^{6}$
2. $a^{5}⋅(−a)^{2}$
3. $x^{3}⋅x^{5}⋅x$
4. $y^{5}⋅y^{4}⋅y^{2}$
5. $(a^{5})^{^{2}}⋅(a^{3})^{^{4}}⋅a$
6. $(x+1)^{4}(y^{5})^{^{4}}⋅y^{2}$
7. $(x+1)^{5}(x+1)^{8}$
8. $(2a−b)^{12}(2a−b)^{9}$
9. $\frac{(3x-1)^{5}}{(3x-1)^{2}}$
10. $\frac{(a-5)^{37}}{(a-5)^{13}}$
11. $xy^{2}⋅x^{2}y$
12. $3x^{2}y^{3}⋅7xy^{5}$
13. $−8a^{2}b⋅2ab$
14. $−3ab^{2}c^{3}⋅9a^{4}b^{5}c^{6}$
15. $2a^{2}b^{4}c (−3abc)$
16. $5a^{2}(b^{3})^{^{3}}c^{3}⋅(−2)2a^{3}(b^{2})^{^{4}}$
17. $2x^{2}(x+y)^{5}⋅3x^{5}(x+y)^{4}$
18. $−5xy^{6}(2x−1)^{6}⋅x^{5}y(2x−1)^{3}$
19. $x^{2}y⋅xy^{3}⋅x^{5}y^{5}$
20. $−2x^{10}y⋅3x^{2}y^{12}⋅5xy^{3}$
21. $3^{2}x^{4}y^{2}z⋅3xy^{4}z^{4}$
22. $(−x^{2})^{^{3}}(x^{3})^{^{2}}(x^{4})^{^{3}}$
23. $a^{10}⋅\frac{(a^{6})^{^{3}}}{a^{3}}$
24. $\frac{10x^{9}(x^{3})^{^{5}}}{2x^{5}}$
25. $\frac{a^{6}b^{3}}{a^{2}b^{2}}$
26. $\frac{m^{10}n^{7}}{m^{3}n^{4}}$
27. $\frac{20x^{5}y^{12}z^{3}}{10x^{2}y^{10}z}$
28. $\frac{-24a^{16}b^{12}c^{3}}{6a^{6}b^{11}c}$
29. $\frac{16x^{4}(x+2)^{3}}{4x(x+2)}$
30. $\frac{50y^{2}(x+y)^{20}}{10y(x+y)^{17}}$

Contestar

1. $x^{6}$

3. $x^{9}$

5. $a^{23}$

7. $(x+1)^{13}$

9. $(3x−1)^{3}$

11. $x^{3}y^{3}$

13. $−16a^{3}b^{2}$

15. $−6a^{3}b^{5}c^{2}$

17. $6x^{7}(x+y)^{9}$

19. $x^{8}y^{9}$

21. $27x^{5}y^{6}z^{5}$

23. $a^{25}$

25. $a^{4}b$

27. $2x^{3}y^{2}z^{2}$

29. $4x^{3}(x+2)^{2}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$ Power Rules for Products and Quotients

Simplificar.

1. $(2x)^{5}$
2. $(−3y)^{4}$
3. $(−xy)^{3}$
4. $(5xy)^{3}$
5. $(−4abc)^{2}$
6. $\left(\frac{7}{2x} \right)^{2}$
7. $-\left(\frac{5}{3y} \right)^{3}$
8. $(3abc)^{3}$
9. $\left(\frac{-2xy}{3z} \right)^{4}$
10. $\left(\frac{5y}{(2x-1)x}\right)^{3}$
11. $(3x^{2})^{^{3}}$
12. $(−2x^{3})^{^{2}}$
13. $(xy^{5})^{^{7}}$
14. $(x^{2}y^{10})^{^{2}}$
15. $\left(\frac{3x^{2}}{y} \right)^{3}$
16. $(2x^{2}y^{3}z^{4})^{^{5}}$
17. $\left(\frac{-7ab^{4}}{c^{2}} \right)^{2}$
18. $[x^{5}y^{4}(x+y)^{4}]^{5}$
19. $[2y(x+1)^{5}]^{3}$
20. $(ab^{3})^{^{3}}$
21. $\left(\frac{5a^{2}}{3b} \right)^{4}$
22. $\left(\frac{-2x^{3}}{3y^{2}} \right)^{2}$
23. $\left(\frac{-x^{2}}{y^{3}} \right)^{3}$
24. $\left(\frac{ab^{2}}{3c^{3}d^{2}} \right)^{4}$
25. $\left(\frac{2x^{7}y}{(x-1)^{3}z^{5}} \right)^{6}$
26. $(2x^{4})^{^{3}}⋅(x^{5})^{^{2}}$
27. $(x^{3}y)^{^{2}}⋅(xy^{4})^{^{3}}$
28. $(−2a^{2}b^{3})^{^{2}}⋅(2a^{5}b)^{^{4}}$
29. $(−a^{2}b)^{3}(3ab^{4})^{4}$
30. $(2x^{3}(x+y)^{4})^{5}⋅(2x^{4}(x+y)^{2})^{3}$
31. $\left(\frac{-3x^{5}y^{4}}{xy^{2}} \right)^{3}$
32. $\left(\frac{-3x^{5}y^{4}}{xy^{2}} \right)^{2}$
33. $\left(\frac{-25x^{10}y^{15}}{5x^{5}y^{10}} \right)^{3}$
34. $\left(\frac{10x^{3}y^{5}}{5xy^{2}} \right)^{2}$
35. $\left(\frac{-24ab^{3}}{6bc} \right)^{5}$
36. $\left(\frac{-2x^{3}y^{16}}{x^{2}y} \right)^{2}$
37. $\left(\frac{30ab^{3}}{3abc} \right)^{3}$
38. $\left(\frac{3s^{3}t^{2}}{2s^{2}t} \right)^{3}$
39. $\left(\frac{6xy^{5}(x+y)^{6}}{3y^{2}z(x+y)^{2}} \right)^{5}$
40. $\left(\frac{-64a^{5}b^{12}c^{2}(2ab-1)^{14}}{32a^{2}b^{10}c^{2}(2ab-1)^{7}} \right)^{4}$
41. La probabilidad de lanzar una moneda justa y obtener$n$ cabezas seguidas viene dada por la fórmula$P=(12)^{n}$. Determinar la probabilidad, como porcentaje, de arrojar$5$ cabezas seguidas.
42. La probabilidad de rodar un solo dado justo$n$ de seis lados y obtener las mismas caras hacia arriba en fila viene dada por la fórmula$P=(16)^{n}$. Determinar la probabilidad, como porcentaje, de obtener el mismo boca arriba dos veces seguidas.
43. Si cada lado de un cuadrado mide$2x^{3}$ unidades, entonces determina el área en términos de la variable$x$.
44. Si cada borde de un cubo mide$5x^{2}$ unidades, entonces determina el volumen en términos de la variable$x$.

Contestar

1. $32x^{5}$

3. $−x^{3}y^{3}$

5. $16a^{2}b^{2}c^{2}$

7. $−\frac{125}{27y^{3}}$

9. $\frac{16x^{4}y^{4}}{81z^{4}}$

11. $27x^{6}$

13. $x^{7}y^{35}$

15. $\frac{27x^{6}}{y^{3}}$

17. $\frac{49a^{2}b^{8}}{c^{4}}$

19. $8y^{3}(x+1)^{15}$

21. $\frac{625a^{8}}{81b^{4}}$

23. $−\frac{x^{6}}{y^{9}}$

25. $\frac{64x^{42}y^{6}}{(x−1)^{18}z^{30}}$

27. $x^{9}y^{14}$

29. $−81a^{10}b^{19}$

31. $−27x^{12}y^{6}$

33. $−125x^{15}y^{15}$

35. $\frac{−1024a^{5}b^{10}}{c^{5}}$

37. $\frac{1000b^{6}}{c^{3}}$

39. $\frac{32x^{5}y^{15}(x+y)^{20}}{z^{5}}$

41. $3 \frac{1}{8}$%

43. $A=4x^{6}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$ Zero Exponents

Simplificar. (Supongamos que las variables son distintas de cero.)

1. $7^{0}$
2. $(−7)^{0}$
3. $−10^{0}$
4. $−3^{0}⋅(−7)^{0}$
5. $8675309^{0}$
6. $5^{2}⋅3^{0}⋅2^{3}$
7. $−3^{0}⋅(−2)^{2}⋅(−3)^{0}$
8. $\frac{5x^{0}}{y^{2}}$
9. $(−3)^{2}x^{2}y^{0}z^{5}$
10. $−3^{2}(x^{3})^{2}y^{2}(z^{3})^{0}$
11. $2x^{3}y^{0}z⋅3x^{0}y^{3}z^{5}$
12. $−3ab^{2}c^{0}⋅3a^{2}(b^{3}c^{2})^{0}$
13. $(−8xy^{2})^{0}$
14. $(2x^{2}y^{3})^{0}$
15. $\frac{9x^{0}y^{4}}{3y^{3}}$

Contestar

1. $1$

3. $−1$

5. $1$

7. $−4$

9. $9x^{2}z^{5}$

11. $6x^{3}y^{3}z^{6}$

13. $1$

15. $3y$

Ejercicio$\PageIndex{9}$ Discussion Board Topics

1. René Descartes (1637) estableció el uso de la forma exponencial:$a^{2}, a^{3}$, y así sucesivamente. Antes de esto, ¿cómo se denotaban los exponentes?
2. Discutir los logros acreditados ante Al-Karismi.
3. ¿Por qué es$0^{0}$ undefined?
4. Explique a un estudiante principiante por qué$3^{4}⋅3^{2}≠9^{6}$.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar